Derivadas - UAPI
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Curso de Graduação em Administração a Distância 216 Derivada das funções trigonométricas, exponencial e logarítmica A seguir apresentaremos as fórmulas (sem demonstração) para o cálculo de derivadas de algumas funções trigonométricas, da exponencial e logarítmica. • • • • • Derivada da função seno Seja f (x) sen x , x ° , então f (x) sen x'cosx . Derivada da função cosseno Seja f (x) cosx , x ° , então f (x) cosx '=sen x . Derivada da função tangente Seja f (x) tg x , x ° , então f (x) tg x'sec 2 x . Derivada da função exponencial Seja f (x) a x , a ° e a 1, então f (x) (a x )' a x ln a . Em particular, quando a e , então f (x) e x f (x) e x . Derivada da função logarítmica Seja f (x) log a x , a ° e a 1, então Em particular, f (x) (log x)' a 1 x ln a . f (x) log x ln x f (x) e 1 x .
Vamos agora resolver alguns exemplos, calculando a derivada de algumas funções, utilizando as regras apresentadas. Exemplo 5.11 Calcular a derivada de f (x) 7x 3 3x 2 5x 6 . Resolução: Usando as regras (iv) e (i) do resumo, vem f '(x) 7x 3 3x 2 5x 6'7x 3 '3x 2 '5x'6', ou, f '(x) 7 3x 31 3 2x 21 5 x 11 0 21x 2 6x 5. Portanto, a derivada da função f (x) 7x 3 3x 2 5x 6 , é dada por f '(x) 21x 2 6x 5 . Exemplo 5.12 Calcular a derivada de f (x) x 4 2cosx sen x . Resolução: Usando as regras (iv) do resumo e 5.4.1, vem f '(x) x 4 2 cosx sen x' x 4 '2cosx 'sen x' 4x 41 2sen xcosx 4 x 5 2 sen x cosx . Portanto, a derivada de f (x) x 4 2 cosx sen x é a função f '(x) 4x 5 2senx cosx . Exemplo 5.13 Calcular a derivada de f (x) 2x 3 5x 2 3x 13x 2 2x 5. Resolução: Inicialmente, vamos considerar u(x) 2x 3 5x 2 3x 1ev(x) 3x 2 2x 5 . Assim, u'(x) 2x 3 5x 2 3x 1'6x 2 10x 3 0 6x 2 10x 3, Módulo 2 Preste atenção para em seguida aplicar seus 217
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Vamos agora resolver alguns exemplos, calculando a derivada de<br />
algumas funções, utilizando as regras apresentadas.<br />
Exemplo 5.11 Calcular a derivada de<br />
f (x) 7x 3 3x 2 5x 6 .<br />
Resolução: Usando as regras (iv) e (i) do resumo, vem<br />
f '(x) 7x 3 3x 2 5x 6'7x<br />
3 '3x 2 '5x'6', ou,<br />
f '(x) 7 3x 31 3 2x 21 5 x 11 0 21x 2 6x 5.<br />
Portanto, a derivada da função f (x) 7x 3 3x 2 5x 6 , é dada<br />
por<br />
f '(x) 21x 2 6x 5 .<br />
Exemplo 5.12 Calcular a derivada de<br />
f (x) x 4 2cosx sen x .<br />
Resolução: Usando as regras (iv) do resumo e 5.4.1, vem<br />
f '(x) x 4 2 cosx sen x'<br />
x 4 '2cosx 'sen x'<br />
4x 41 2sen xcosx<br />
4 x 5 2 sen x cosx .<br />
Portanto, a derivada de f (x) x 4 2 cosx sen x é a função<br />
f '(x) 4x 5 2senx cosx .<br />
Exemplo 5.13 Calcular a derivada de<br />
f (x) 2x 3 5x 2 3x 13x<br />
2 2x 5.<br />
Resolução: Inicialmente, vamos considerar<br />
u(x) 2x 3 5x 2 3x 1ev(x) 3x 2 2x 5 .<br />
Assim,<br />
u'(x) 2x 3 5x 2 3x 1'6x<br />
2 10x 3 0 6x 2 10x 3,<br />
Módulo 2<br />
Preste atenção para em<br />
seguida aplicar seus<br />
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