Sistemas Dinâmicos Aplicados a Missões Espaciais - evfita
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V EVFITA – 8 a 10 de fevereiro de 2010<br />
ITA - São José dos Campos<br />
<strong>Sistemas</strong> <strong>Dinâmicos</strong> <strong>Aplicados</strong> a<br />
<strong>Missões</strong> <strong>Espaciais</strong><br />
Prof a Dr a Maisa de Oliveira Terra<br />
ITA - Instituto Tecnológico de Aeronáutica<br />
Departamento de Matemática<br />
São José dos Campos, SP<br />
maisa@ita.br
V Escola de Verão de Física do ITA<br />
8 a 10 de fevereiro de 2010<br />
<strong>Sistemas</strong> <strong>Dinâmicos</strong> <strong>Aplicados</strong> a<br />
<strong>Missões</strong> <strong>Espaciais</strong><br />
Prof a Dr a Maisa de Oliveira Terra<br />
ITA - Instituto Tecnológico de Aeronáutica<br />
Departamento de Matemática<br />
São José dos Campos, SP<br />
maisa@ita.br
Esboço do Curso I:<br />
1ª Aula:<br />
Introdução e Definições Gerais<br />
2ª Aula:<br />
Projeto de <strong>Missões</strong> no Contexto do PR3C<br />
Parte Teórica<br />
3ª Aula:<br />
Aplicações e Extensões a PR4C
Esboçoda1 a Aula:<br />
1. Motivação Geral: o caso de N corpos<br />
2. O Problema de 2 Corpos<br />
3. Análise de <strong>Missões</strong> Interplanetárias<br />
4. O Conceito de Esfera de Influência<br />
5. Tipos de Manobras Orbitais<br />
6. Métodos Impulsivos Mais Importantes<br />
Transferência de Hohmann<br />
Transferência Bi-Elíptica Tri-Impulsiva<br />
Método Patched Conic e Manobras de Swing-By<br />
7. Definições de Captura<br />
8. Conjuntos Invariantes de Interesse
Esboçoda2 a Aula:<br />
1. Objetivo e motivação<br />
2. O Problema de N=3 Corpos<br />
─ Caso Restrito Circular Planar<br />
◦ Pontos de Equilíbrio ou Lagrangeanos<br />
◦ Constante de Jacobi e Regiões de Hill<br />
◦ Órbitas Periódicas de Poincaré e Halo<br />
◦ Aplicações dos Pontos Lagrangeanos em <strong>Missões</strong><br />
3. Elementos <strong>Dinâmicos</strong> Relevantes do P3CRCP<br />
◦ Conjuntos Invariantes Associados<br />
◦ Contribuições de Conley – McGehee – Llibre, Martinez e<br />
Simó<br />
◦ Existência de Órbitas Trânsito e de Orbitas Homoclínicas<br />
4. Existência de Conecções Heteroclínicas<br />
5. Aproximação de “Patched-3B”
Esboçoda3 a Aula:<br />
1. Transferências Terra-Lua<br />
2. Proposta da Fronteira de Estabilidade<br />
Fraca de Ed. Belbruno<br />
3. Sistema Júpiter e suas 2 Luas<br />
4. Extensão ao PR4C<br />
5. Aplicações em outras Áreas
Motivação: Motivação O Problema de N Corpos<br />
Considere o Problema de N corpos, N ≥ 2.<br />
Seja o movimento de N pontos materiais P k<br />
de massa m k >0, k=1,2,…,N, em um espaço<br />
tridimensional sob ação da força gravitacional.<br />
Sabemos que teremos como Equações de Movimento:<br />
3N EDOs de 2a Ordem (descrição newtoniana)<br />
ou, alternativamente,<br />
6N EDOs de 1a Ordem (descrição hamiltoniana)<br />
Para N≥2, a partir das Leis Clássicas da Conservação da<br />
Quantidade de Movimento (6), da Energia (1) e do Momento<br />
Angular (3):Conjunto (3): de 10 integrais algébricas independentes<br />
(integrais primeiras de movimento) que podem ser usadas para<br />
reduzir a dimensão efetiva do espaço de fases ou do<br />
espaço de coordenadas.
Motivação: Motivação Alguns Casos de Interesse<br />
Vôo de uma sonda espacial da Terra para Marte<br />
4 Corpos: Sol, Terra, Marte, Sonda<br />
Duas possíveis abordagens preliminares:<br />
• Baseada em P2C:<br />
Missão pode ser dividida em 3 partes:<br />
1ª fase: Terra - Sonda (próximo a Terra)<br />
2ª fase: Sol - Sonda (vôo interplanetário)<br />
3ª fase: Marte - Sonda (próximo a Marte)<br />
• Baseada em P3C:<br />
Missão pode ser dividida em 2 partes:<br />
1ª fase: Sol - Terra - Sonda (próximo a Terra)<br />
2ª fase: Sol - Marte - Sonda (próximo a Marte)
Motivação: Motivação<br />
Vôo Direto de uma sonda espacial da Terra para Lua<br />
3 Corpos: Terra, Lua, Sonda<br />
• Possível abordagem preliminar baseada em P2C:<br />
Missão pode ser dividida em 2 partes:<br />
1ª fase: Terra - Sonda (próximo a Terra)<br />
2ª fase: Lua - Sonda (próximo a Lua)<br />
Vôo de uma sonda espacial da Terra para Lua com<br />
Assistência Gravitacional do Sol<br />
4 Corpos: Sol, Terra, Lua, Sonda<br />
• Possível abordagem preliminar baseada em P3C:<br />
Missão pode ser dividida em 2 partes:<br />
1ª fase: Sol - Terra - Sonda (próximo a Terra)<br />
2ª fase: Terra - Lua - Sonda (próximo a Lua)
Revisão Histórica – Macro da Mecânica Celeste<br />
Segundo Szebehely (Adventures in Celestial Mechanics) pode ser<br />
dividida em 4 partes:<br />
(1 a ) ~2000 anos: inicia com Aristóteles, inclui Ptolomeu, Copérnico,<br />
Brahe, Galileu e Kepler.<br />
(2 a ) Clássica (provavelmente a mais significante do ponto de vista científico):<br />
Newton, Descartes, Leibnitz, Euler, Clairaut, D’Alembert,<br />
Lagrange, Laplace, Legendre, Gauss, Poisson, Encke e Hamilton.<br />
(3 a ) Moderna (Século 19): Hill, Tisserand, Poincaré, Moulton, Whittaker,<br />
Birkhoff.<br />
(4 a ) Século 20: Arnould, Brouwer, Duboshin, Herget, Herrick,<br />
Kolmogorov, Moser,Siegel, Wintner e outros.
Papel importante em Astronáutica por três motivos:<br />
1. Único problema em astrodinâmica para o qual existe solução<br />
completa e geral (a exceção de casos particulares de PR3C).<br />
2. Grande variedade de problemas práticos podem ser tratados<br />
como P2C.<br />
3. O efeito de outros corpos, em muitos casos, pode ser tratado<br />
como uma perturbação desse sistema.<br />
Breve Histórico: Histórico<br />
Para os antigos astrônomos babilônicos, gregos e egípcios o maior interesse<br />
era prever as posições do Sol, da Lua e dos planetas na esfera celeste a fim<br />
de obter um calendário exato e previsão exata de datas de eclipses.<br />
Ptolomeu – (151-127 (151 127 a.C) a.C)<br />
– astronomia geocêntrica. geocêntrica A crença de mais de<br />
1500 anos foi transcrita por Ptolomeu em sua obra Almagest:<br />
Esfera de estrelas gira em torno da Terra, Terra que está no centro, e demais corpos estão<br />
movendo-se separadamente em círculos perfeitos em esferas distintas.<br />
distintas
Breve Histórico: Histórico<br />
Ptolomeu – (151-127 (151 127 a.C) a.C)<br />
– astronomia geocêntrica (por por 17 séc) séc<br />
Descrevia o movimento aparente dos astros (Sol, Terra, 5 planetas<br />
conhecidos e estrelas) estrelas)<br />
como órbitas epicíclicas (Obra Obra: : Almagest).<br />
1a Quebra de Paradigma: Paradigma mudança do centro do Universo da Terra p/ o Sol<br />
Nicolau Copérnico – (polonês polonês, , 1473-1543)<br />
1473 1543) – influenciado por<br />
filósofos gregos (Pitágoras Pitágoras, , Heráclides,<br />
Heráclides,<br />
Aristarco,…)<br />
Aristarco,…)<br />
propõe a<br />
teoria heliocêntrica,<br />
heliocêntrica,<br />
porém sem comprovação experimental.<br />
Evento contemporâneo a descoberta da América e o fim da escura<br />
Idade Média. Média<br />
Em 1609, Galileu Galilei (1564-1642)<br />
(1564 1642) construiu o 1 o telescópio. telescópio<br />
Dentre suas descobertas:<br />
descobertas:<br />
de que Júpiter pode ser considerado como<br />
o centro de um sistema planetário com seus 4 satélites<br />
(suporte suporte observacional a teoria heliocêntrica que passa a ser aceita); aceita);<br />
as fases de Vênus; Vênus;<br />
os anéis de Saturno; Saturno;<br />
crateras e montanhas na Lua.<br />
Lua
Tycho Brahé (1546-1601)<br />
(1546 1601) - astrônomo dinamarquês - observou<br />
por anos o movimento dos astros e obteve uma grande<br />
quantidade de dados acurados em relação a suas posições. posições<br />
Johannes Kepler – alemão (1571-1630)<br />
(1571 1630) – discípulo<br />
de Tycho Brahé. Brahé.<br />
De 1601 a 1603 procura reconciliar teoria existente<br />
com dados observacionais precisos sobre a<br />
posição de Marte. Marte.<br />
2a Grande Quebra de Paradigma:<br />
Paradigma<br />
Conclusão: Conclusão movimento em círculos divinamente perfeitos <br />
elípses el pses.<br />
Dois aspectos favoreceram suas descobertas:<br />
(i) dados observacionais cuidadosos e,<br />
(ii) a exceção de Mercúrio, órbita de Marte era a mais excêntrica.
Descrição de Kepler do Movimento Planetário: Planetário<br />
Em 1609: ((Astronomia<br />
Astronomia Nova) Nova)<br />
1ª Lei: A órbita de cada planeta é uma elípse com o Sol em um<br />
dos focos. focos<br />
2ª Lei: (Lei das Áreas) Áreas O raio vetor que une o<br />
planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais. iguais<br />
Em 1619:<br />
3ª Lei: (Lei Harmônica) Harmônica O quadrado do período de<br />
revolução de um planeta é proporcional ao cubo de<br />
sua distância média ao Sol.<br />
O Pôrque: Pôrque:<br />
Isaac Newton (1642-1727)<br />
(1642 1727) – no livro Principia<br />
(3 leis de movimento + LGU)<br />
Lei da Gravitação Gravita ão Universal: 2 corpos quaisquer se atraem<br />
mutuamente com uma força for proporcional ao produto de suas<br />
massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância<br />
que os separa. separa<br />
GMm<br />
r<br />
− 29 3 2<br />
F = − , G = 6,<br />
673 x10<br />
m /kg.s<br />
2<br />
r r
Solução do Problema de 2 Corpos: Corpos<br />
Hipóteses simplificadoras:<br />
simplificadoras<br />
• corpos perfeitamente esféricos → massas puntuais (pontos materiais)<br />
• única força do sistema é atração gravitacional mútua entre os 2C.<br />
Sejam: - o sistema inercial de referência Oxyz e<br />
- os pontos materiais P1 e P2 com massas M e m e posições<br />
Assim, definindo r =<br />
r2<br />
− r1,<br />
temos um Sistema de 6 EDOs de 2 a Ordem (2 corpos x 3 GL):<br />
&<br />
Gm r GM r<br />
= , &r<br />
&<br />
2<br />
2 = −<br />
r r r r<br />
r1 2<br />
cuja solução envolve 12 constantes arbitrárias de integração.<br />
Espaço de fases: fases 2x3x2 dimensões<br />
Sistema Integrável: Integrável devido às constantes de movimento<br />
r<br />
1<br />
e r<br />
2
Integrais de Movimento ou Integrais Primeiras do P2C<br />
Seja o centro de massa do sistema, cuja posição é<br />
r<br />
CM<br />
tal que Mr 1 + mr2<br />
= at<br />
+ b<br />
Mr1<br />
+ mr2<br />
=<br />
M + m<br />
a e b representam 6 constantes de movimento.<br />
CM em MRU com velocidade<br />
e posição inicial<br />
a ( M + m)<br />
b ( M + m)<br />
Podemos associar ao CM um sistema inercial de referência<br />
// ao sistema Oxyz , se deslocando com velocidade constante,<br />
obtendo-se 6 EDOs desacopladas. Novas posições: r ' e r '.<br />
−1<br />
−1<br />
1<br />
2
Integrais de Movimento ou Integrais Primeiras do P2C<br />
• Integral de Energia (energia energia mecânica específica):<br />
específica):<br />
<br />
1 2 μ<br />
ε = υ − , onde υ é a magnitude do vetor velocidade e μ = GM.<br />
2 r<br />
• Integral do Momentum Angular: Angular<br />
h = r × r&<br />
r ⋅h = r&<br />
⋅h<br />
= 0 → h é perpendicular<br />
ao plano definido pelos vetores r e r&<br />
.<br />
Como h é constante → movimento restrito ao plano orbital.<br />
Segunda Lei de Kepler<br />
• Vetor de Laplace-Runge<br />
Laplace Runge-Lenz Lenz:<br />
r<br />
B = r&<br />
× h − μ<br />
r<br />
<br />
B ⋅h<br />
= 0 → B está no plano da órbita, definindo uma direção.<br />
ε , h correspondem<br />
a 4 constantes e → 5 Integrais de Movimento<br />
B a apenas 1constante<br />
Independentes<br />
Obs.: Existe outra relação entre B e h.
Def 1.: Quando duas ou mais integrais de movimentos I 1 , I 2<br />
existem para um sistema de equações diferenciais ordinárias,<br />
estas são chamadas independentes se os vetores gradientes<br />
( ∂ , K,<br />
∂ , ∂ , K,<br />
∂ ∂ )<br />
∂ ≡<br />
,<br />
r, r&<br />
,<br />
r&<br />
t r1<br />
rN<br />
r&<br />
1<br />
N<br />
de I 1 e I 2 são independentes. Isto implica que o posto da matriz<br />
de ordem 2x(6N+1)<br />
é em geral 2.<br />
∂<br />
∂(<br />
I ) 1,<br />
I2<br />
r , K,<br />
r , r&<br />
, K,<br />
r&<br />
, t<br />
( )<br />
1<br />
N<br />
1<br />
N<br />
t
Equação de Trajetória<br />
r<br />
=<br />
1+<br />
2<br />
h μ<br />
( B / μ)<br />
cos<br />
f , denominado anomalia verdadeira,<br />
é o ângulo entre r e B<br />
Equação geral de uma seção cônica em coordenadas polares com a<br />
origem localizada em um dos focos e ângulo f corresponde ao ângulo<br />
entre o raio vetor r e a direção associada ao ponto da curva mais<br />
próximo do foco.<br />
r<br />
=<br />
1+<br />
p<br />
ecos<br />
Tipo de seção cônica:<br />
• Círculo: e=0<br />
• Elipse: 0
Em 3 dimensões, precisamos de 6 Elementos Orbitais para<br />
representar a dinâmica, que são as seguintes variáveis do:<br />
Tipo ação:<br />
1. Semi-eixo maior a,<br />
2. Excentricidade da órbita e,<br />
3. Inclinação i (do plano orbital, com<br />
relação a um sistema inercial.<br />
Tipo ângulo:<br />
4. Longitude do nodo ascendente Ω<br />
5. Argumento do periapsis<br />
(ou pericentro ou periélio) ω<br />
6. Anomalia verdadeira v.<br />
Obs: Movimento no Sistema Solar não está confinado a um único plano orbital.
Neste diagrama, o plano orbital (amarelo) intersepta<br />
um plano de referência (cinza).<br />
Para satélites orbitando a Terra, o plano<br />
de referência é geralmente o Equador da<br />
Terra, e para satélites em órbitas solares<br />
é plano de revolução da Terra em redor<br />
do Sol, chamado plano eclíptico.<br />
Direção do Equinócio Vernal (♈): linha<br />
de referência a partir do Sol a um ponto<br />
fixo na esfera celeste.<br />
Corresponde ao 1 o dia de primavera no<br />
hemisfério Norte, apontando à constelação de<br />
Áries.<br />
A intersecção é chamada a linha dos nodos, uma vez que conecta o centro de<br />
massa com o nodo ascendente (ponto onde a órbita intersecta o plano de referência)<br />
e o nodo descendente.<br />
O ângulo entre a linha de referência até o nodo ascendente é a Longitude do Nodo<br />
Ascendente Ω.<br />
Este plano, junto com o Ponto Vernal, (♈), estabelece o sistema de referência.
Análise de <strong>Missões</strong> <strong>Espaciais</strong> Interplanetárias:<br />
Interplanetárias:<br />
Método “Patched Conic”:<br />
Análise de uma missão complexa, envolvendo uma EN e vários corpos<br />
celestes como uma seqüência de P2C, no qual um dos corpos é sempre<br />
a EN.<br />
Justificativa: EN é suficientemente próxima a um corpo celeste, tal como<br />
da Terra, de modo que a força de atração gravitacional dos outros corpos<br />
(Sol, Lua e outros planetas) pode ser desprezada.<br />
Então trata-se do P2C Terra-EN.<br />
Def.: A região dentro da qual esta aproximação é válida é chamada<br />
Esfera de Influência (SOI) da Terra.<br />
Cada corpo celeste tem uma Esfera de Influência.<br />
No sistema solar, se um corpo está fora da SOI de planetas e lua,<br />
considera-se a órbita em torno do Sol.<br />
Com a aproximação de missão complexa como uma seqüência de P2C,<br />
usa-se órbitas cônicas para descrever as várias fases da missão.
Trajetórias “Planetary Flyby” ou “Gravity-Assist”:<br />
“Gravity Assist”:<br />
Encontros ocorrem dentro da SOI do Planeta de Flyby.<br />
Flyby planetário tem sido usado extensivamente por EN interplanetárias.<br />
Exs:<br />
• Voyager 1 voando de Júpiter a Saturno;<br />
• Voyager 2 voando por Júpiter, Saturno, Urano e Netuno em 1989;<br />
• ICE (Interplanetary Cometary Explorer) flyby pela Lua em direção<br />
ao Cometa Giacobinni-Zinner em 1984; e<br />
• Galileu, usou uma trajetória VEEGA: Venus-Earth-Earth Gravity-Assist,<br />
explorando um flyby de Venus seguido de 2 flybys da Terra,<br />
antes de atingir Júpiter, em 1995.<br />
Obs: Missão Galileu foi finalizada em Set 21, 2003 (14 anos de<br />
duração explorando Júpiter e arredores (9 Luas e anel).
SOI da Terra: região dentro da qual, pode-se como uma aproximação<br />
desprezar as forças gravitacionais na EN devido ao Sol, Lua e outros<br />
planetas e analisar o Problema como um P2C Terra-EN.<br />
Buscando uma definição correta:<br />
Uma Definição Simplísta de SOI: a forçanaEN devidoàTerraé maior<br />
que a força na EN devido ao Sol. A superfície ao longo da qual as<br />
2 forças são iguais seria a Esfera de Influência (SOI).<br />
Gm<br />
r<br />
1/<br />
2<br />
emv Gmsm<br />
⎛<br />
v m ⎞ e<br />
> ⇒ rev<br />
< r<br />
2<br />
2<br />
sv<br />
ev rsv<br />
ms<br />
Se supomos que EN está entre a Terra e o Sol, então:<br />
8<br />
r + r = 1au<br />
≈1,5×<br />
10 km ⇒ r = 1−<br />
ev<br />
sv<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎟<br />
⎠<br />
sv<br />
r<br />
ev<br />
s → Sol<br />
e → Terra<br />
v → veículo
me<br />
ms<br />
m<br />
5<br />
5<br />
⇒ r <<br />
au, e<br />
ev<br />
≈ 3×<br />
10 ⇒ rev<br />
≅ 2,<br />
5×<br />
10 km<br />
⎛ m ⎞ ms<br />
⎜1+<br />
e ⎟<br />
⎝ ms<br />
⎠<br />
≅ 42 raios da Terra<br />
Lua fora da SOI da Terra: Lua deveria estar orbitando em torno do Sol<br />
como um asteróide<br />
Definição Incorreta<br />
Definição Correta de SOI: Devida a Laplace no Séc. 18.<br />
Considera a EN como um satélite de um corpo, calculando a perturbação<br />
da aceleração deste movimento devido a atração do outro corpo.<br />
Fazendo isto para cada corpo, é possível determinar a esfera de<br />
influência, comparando a razão entre as acelerações.<br />
Vejamos:<br />
Escrevendo Eq. de Mov de cada um dos corpos e subtraindo-as duas a duas obtemos:
Seja o sistema de 3C: Sol (s) – planeta (p) – EN (v) (de veículo)<br />
•Movimento da EN relativa ao planeta, perturbado pelo Sol:<br />
2<br />
d r<br />
dt<br />
pv<br />
2<br />
G<br />
( m + m )<br />
2<br />
p v<br />
rsv<br />
sp<br />
pv<br />
+ rpv<br />
= −Gms<br />
− ⇒<br />
3<br />
3 3 ⎥<br />
2<br />
rpv<br />
rsv<br />
rsp<br />
dt<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
r<br />
⎤<br />
⎦<br />
d<br />
r<br />
− A<br />
onde A p representa a aceleração gravitacional devido ao planeta<br />
e P s é a perturbação devida ao Sol.<br />
•Movimento da EN relativa ao Sol, perturbado pelo planeta:<br />
2<br />
d r<br />
dt<br />
sv<br />
2<br />
G<br />
( m + m )<br />
⎡r<br />
+ s<br />
3<br />
rsv<br />
v rsv<br />
pv sp<br />
= −Gmp<br />
⎢ − ⎥ ⇒<br />
3 3<br />
rpv<br />
rsp<br />
2<br />
sv<br />
2<br />
dt<br />
⎣<br />
r<br />
⎤<br />
⎦<br />
d<br />
r<br />
− A<br />
onde A s representa a aceleração gravitacional devido ao Sol<br />
e P p é a perturbação devida ao planeta.<br />
Ainda que m s >>m p +m v , se veículo está muito próximo ao planeta, P s
Definição Correta da SOI: superfície ao longo da qual as magnitudes<br />
das acelerações satisfazem:<br />
P p<br />
=<br />
A<br />
s<br />
Ps<br />
A<br />
p<br />
Se o lado esquerdo > lado direito, então EN está dentro da SOI do planeta.<br />
Contrasta com definição incorreta para a qual interior da SOI é dada por<br />
P<br />
P<br />
A<br />
A<br />
Para Terra, s ≅ 0,15.<br />
p<br />
p<br />
s<br />
Ap<br />
Ps<br />
> 1 , para a correta >
Raios da Esfera de Influência de Planetas e da Lua<br />
Corpo<br />
Celeste<br />
Mercúrio<br />
Venus<br />
Terra<br />
Marte<br />
Júpiter<br />
Netuno<br />
Lua<br />
Raio Equatorial<br />
(km)<br />
2487<br />
6187<br />
6378<br />
3380<br />
71370<br />
22320<br />
1738<br />
Raio da SOI<br />
(km)<br />
1,13 x 10 5<br />
6,17 x 10 5<br />
9,24 x 10 5<br />
5,74 x 10 5<br />
4,83 x 10 7<br />
8,67 x 10 7<br />
6,61 x 10 4<br />
Obs.1: Para a Lua, SOI relativa a perturbações da Terra.<br />
Raio da SOI<br />
(raio do corpo)<br />
45<br />
100<br />
145<br />
170<br />
677<br />
3886<br />
Obs.2: Note que raio da SOI da Terra = 145 raios da Terra e não 42,<br />
como na definição incorreta. A Lua, como está a 60 raios da Terra,<br />
está bem dentro da SOI da Terra (raio da SOI da Terra=6x10 -3 u.a.<br />
Quase um ponto no Sistema Solar) .<br />
38
Definindo a Terminologia de Manobras Orbitais: Orbitais<br />
Manobras Manobras Impulsivas Impulsivas<br />
São as que envolvem uma única mudança de velocidade “quaseinstantânea”.<br />
Baseados no modelo de propulsão com empuxo infinito.<br />
Em fases de projeto preliminares os projetistas de missões<br />
consideram as mudanças de manobras desejadas como manobras<br />
impulsivas, pois isto reduz a complexidade de encontrar as transições<br />
orbitais corretas. As mudanças instantâneas em velocidade são referidas<br />
como ΔV.<br />
Manobras Manobras Não--Impulsivas<br />
Não Impulsivas<br />
Corresponde à aplicação de baixo impulso por períodos de tempo maiores.<br />
São consideradas menos eficientes, porém podem ser a única opção<br />
quando baixos pesos de lançamento são desejados.
Manobras Orbitais: Orbitais Métodos Impulsivos Mais Importantes<br />
Transferência de Hohmann<br />
É a solução bi-impulsiva ótima para a transferência entre 2 órbitas circulares<br />
coplanares de mesmo sentido. Foi criada por Walter Hohmann (Alemanha,1925).<br />
É o resultado mais usado em manobras espaciais.<br />
Solução: Órbita elíptica tangente a ambas órbitas circulares.<br />
⎛ ⎛r<br />
f ⎞ ⎞<br />
Segue os seguintes passos:<br />
⎜ 2⎜<br />
⎟ ⎟<br />
(i) Na órbita inicial, um impulso de magnitude ⎜ ⎝ r0<br />
ΔV ⎠<br />
− ⎟<br />
0 = V0<br />
1<br />
⎜ ⎛r<br />
f ⎞ ⎟<br />
⎜ ⎜ ⎟ + 1 ⎟<br />
⎝ ⎝ r0<br />
⎠ ⎠<br />
(onde r0 (rf ) é o raio da órbita inicial (final) e V0 é a velocidade do veículo em sua<br />
órbita inicial) é aplicado tangencialmente ao movimento. Com este impulso, o<br />
veículo entra em uma órbita elíptica com periapsis rf e apoapsis r0 .<br />
(ii) O 2 o impulso é aplicado quando o veículo está no apoapsis, com magnitude<br />
2<br />
Δ r<br />
V f = V0<br />
1−<br />
f ( rf<br />
/ r0<br />
) + 1<br />
− 1<br />
( r / ) 2<br />
0<br />
E esse impulso circulariza a órbita<br />
no raio final desejado.
Duração da manobra: ½ do período da<br />
órbita elíptica de transferência<br />
t<br />
=<br />
1 ⎧ 1+<br />
rf<br />
⎨<br />
2 ⎩ 2<br />
3/<br />
2<br />
É a abordagem tradicional para<br />
transferência de uma EN da Terra para<br />
a Lua.<br />
Para sua construção usa-se dinâmica<br />
de 2C para Terra-EN apenas e uma<br />
semi-elipse kepleriana conectando a<br />
Órbita estacionária em torno da Terra<br />
com umaÓrbitaestacionáriaemtorno<br />
da Lua.<br />
Obs.: Dinâmica Lua-EN não incluída.<br />
r<br />
0<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
onde T 0 é o período da órbita inicial.<br />
Custo da transf. é geralmente alto e outras tentativas para minimizálo<br />
têm sido feitas.<br />
T<br />
0
Generalizações daTransferência de Hohmann<br />
Após trabalho fundamental de Hohmann surgiram várias generalizações<br />
para outros casos de transferências coplanares. Alguns exemplos:<br />
— Para uma transf. entre uma órbita circular de raio r 0 e uma elíptica<br />
externa com periapsis r p e apoapsis r a (r 0
A Transferência Bi-Elíptica Bi Elíptica Tri-Impulsiva<br />
Tri Impulsiva<br />
A transferência bi-elíptica consiste de 2 órbitas em semi-elipses.<br />
Essa transferência possui os seguintes passos:<br />
(i) O 1 o impulso ΔV 0 é aplicado à órbita inicial para colocar a EN (ponto1)<br />
em uma órbita de transf. com periapsis r 0 e apoapsis r i (r i>r f) (*) ,<br />
(ii) Quando EN está no apoapsis (ponto 2), 2 o impulso ΔV i é aplicado para<br />
aumentar a altura do periapsis para r f ; (Esperto: longe do centro de atração!)<br />
(iii) Um 3 o impulso é aplicado, agora contrário a direção do movimento,<br />
quando EN está no periapsis (ponto 3); esse impulso circulariza a EN<br />
em uma órbita final desejada.<br />
(*) Caso contrário, Holmann seria mais eficiente.<br />
Uma transferência bi-elíptica de uma<br />
órbita inicial menor (azul escuro),<br />
para uma órbita circular maior<br />
(vermelha).
Hoelker e Silber (1959) mostraram que:<br />
a Transferência de Hohman é a transferência ótima entre 2 órbitas<br />
circulares e coplanares apenas quando rf / r0< 11,93876,<br />
caso contrário<br />
a Transferência Bi-Elíptica Bi Elíptica com 3 impulsos pode apresentar menor Δv.<br />
O impulso total gasto nessa transferência diminui quando r i aumenta.<br />
O mínimo ocorre quando r i=∞, a transferência bi-parabólica<br />
(2 órbitas passam a ser parabólicas).<br />
Sabe-se que para r f /r o >15,58178, a transferência bi-eliptica é sempre<br />
superior a de Holmann (para qualquer valor de ri>rf)<br />
e<br />
no intervalo 11,93876 < r f / r 0 < 15,58178 existe um valor limite de r i para<br />
o qual a bi-elíptica deve ser mais eficiente do que a de Hohmann.
Outras Manobras Bi-Impulsivas<br />
Bi Impulsivas<br />
Gobetz e Doll (1969) detalharam que:<br />
Existem transferências derivadas da bi-elíptica para os casos de<br />
transferência:<br />
— entre uma órbita circular e uma elíptica e<br />
— entre órbitas elípticas coaxiais.<br />
De forma geral, sabe-se que para uma transferência entre 2<br />
órbitas coplanares existem duas possibilidades para uma<br />
manobra ótima do ponto de vista de consumo mínimo de<br />
combustível:<br />
— Bi-impulsiva do tipo Hohmann ou<br />
— Tri-impulsiva passando pelo infinito.<br />
Sendo que o acréscimo de mais impulsos finitos não pode reduzir<br />
ainda mais o consumo de combustível (Ting, 1960).
Existem muitas outras variantes de manobras do tipo impulsiva na<br />
literatura: as que utilizam de uma série de manobras nos apsides<br />
para compensar uma eventual falta de capacidade dos propulsores<br />
em fornecer o impulso necessário ; a transf. com 2 impulsos de<br />
magnitude fixa; transf. de um corpo de volta ao mesmo corpo, etc.<br />
Os casos particulares mencionados já foram estendidos ao caso<br />
mais geral de transf. não-coplanares.
“Patched Conic”<br />
As manobras anteriores não levam em conta a fase de inserção<br />
da órbita em torno de um 2 o corpo, como por exemplo a Lua em<br />
uma manobra Terra-Lua. O Método “Patched Conic” resolve este<br />
problema quebrando a manobra total em duas partes. Ilustrando<br />
com uma manobra Terra-Marte:<br />
i) A 1 a parte despreza os efeitos de Marte e utiliza um dos métodos<br />
para levar a EN da órbita inicial a uma órbita que cruze com a<br />
trajetória da Marte.<br />
ii) Quando EN penetra a SOI de Marte, os efeitos da Terra são<br />
desprezados e a órbita é considerada kepleriana em torno de Marte.<br />
Obs.: Para as missões Voyager e Galileo, a abordagem patch-conic funcionou muito bem,<br />
mas outras abordagens se tornaram necessárias à medida que novos desafios são<br />
formulados: por exemplo, as trajetórias da Gênesis e de EN que orbita várias luas de Júpiter<br />
(múltiplas manobras usando assistência gravitacional foram utilizadas para gerar uma TBE)<br />
são mais parecidas a soluções do problemas restritos de 3 e 4C do que das soluções de<br />
P2C. Fundamentalmente, são soluções do Problema restrito de N corpos não-keplerianas.
Métodos Modernos<br />
Estão baseados em 2 conceitos de mecânica celeste:<br />
• O de captura gravitacional,<br />
• O de manobras assistidas por gravidade.<br />
1. Idéia da captura gravitacional: gravitacional uma órbita levemente hiperbólica<br />
(energia residual positiva) em torno de um corpo (por ex., a Lua) pode<br />
ser transformada em uma órbita levemente elíptica (energia residual<br />
negativa) devido a perturbações de outros corpos celestes<br />
(por ex., a Terra e o Sol, no caso de captura da Lua).<br />
Essa captura em geral, é temporária, mas um impulso pode ser aplicado<br />
para completar uma captura definitiva. A manobra realizada neste<br />
momento representa uma economia de combustível em relação a uma<br />
manobra realizada antes da captura.<br />
2. Conceito de manobras assistidas por gravidade (Swing-By):<br />
(Swing By): manobra<br />
em que a EN se utiliza de uma passagem próxima a um corpo celeste<br />
para ganhar ou perder velocidade.
Linhas gerais do Método Swing-By: Swing By:<br />
Problema pode ser estudado supondo um sistema formado por 3 corpos: corpos<br />
•Um Um primário, primário que domina o sistema (Terra, no sistema Terra-Lua-EN),<br />
•Um Um secundário de massa finita, finita que permanece em torno do primário (Lua)<br />
•Uma Uma partícula de massa desprezível (EN) que permanece em torno do<br />
primário e faz uma passagem próxima ao secundário.<br />
Essa passagem tem o efeito de alterar a velocidade, energia e momento<br />
angular da EN em relação ao primário entre os instantes imediatamente<br />
anterior e posterior a essa passagem próxima (suposta como instantânea).<br />
É possível escolher a geometria e velocidade dessa passagem para<br />
definir a magnitude e o sinal (aumento ou diminuição) dessas variações,<br />
dentro de certos limites, o que abre um largo espectro de possibilidades<br />
para pesquisas. Manobras coplanares e em 3D são possibilidades,<br />
conforme o objetivo da missão.<br />
Esta variação de velocidade (sem propelente) é fornecida pelo campo<br />
gravitacional do secundário.
Assim, Assim,<br />
essa manobra pode ser usada para: para<br />
• Para diminuir o ΔV de uma missão, o que diminui o combustível<br />
necessário, possibilitando o envio de uma carga útil maior.<br />
• Durante uma transferência de retorno a Terra, para diminuir a<br />
velocidade de reentrada na atmosfera da Terra.<br />
• Redução de consumo de combustível em missões que requerem<br />
escape da Terra (viagens interplanetárias ou interestelares). Nesse<br />
Caso EN parte da Terra com energia para entrar em uma órbita<br />
elíptica que cruze com a órbita da Lua em algum ponto. Nesse ponto<br />
ocorre um Swing-By com a Lua, transformando a órbita da EN em<br />
hiperbólica com relação a Terra.<br />
• Obter uma imagem próxima do planeta ou satélite.<br />
Swing-Bys Sucessivos: Vejamos um excelente exemplo:
Programa Voyager NASA-JPL<br />
Grand Tour pelos Planetas Gasosos
Programa Voyager da NASA-JPL (Jet Propulsion Lab)<br />
Grand Tour pelos Planetas Gasosos<br />
Constituído por duas missões: Voyager 1 e Voyager 2.<br />
Lançadas em 1977: Oportunidade de uma nave viajando em direção ao<br />
exterior do Sistema Solar, podendo passar pelos 4 planetas gasosos<br />
gigantes sem ter que alterar sua trajetória (oportunidade que só<br />
ocorreria novamente em 176 anos): Júpiter, Saturno, Urano e Netuno.<br />
10.000 trajetórias foram estudadas para a escolha das 2 trajetórias<br />
que poderiam se aproximar mais de Júpiter e sua lua gigante Io,<br />
Saturno e sua lua grande Titan. Órbita escolhida para Voyager 2<br />
permitiu ainda continuação para Urano e Netuno.<br />
Voyager 2 lançada antes de Voyager 1, mas Voyager 1 foi lançada<br />
numa órbita mais curta e mais rápida.
Voyager 1: Flyby por Júpiter e Saturno<br />
Lançada em Set 5, 1977 (32 anos e 152 dias atrás !!!)<br />
Duração da missão: indefinida (previsão de perder<br />
comunicação com a Terra em 2020).<br />
Mar 5, 1979 Júpiter<br />
Nov 12, 1980 Saturno<br />
Após Titan, anéis de Saturno,..., espaço interestelar.<br />
Ago 05, 2006 100 U.A. a partir do Sol<br />
Ago 28, 2009: 110.94 U.A. a partir do Sol<br />
estudando região da heliopausa.<br />
Júpiter pela Voyager 1<br />
Obs: Missão Galileu,<br />
lançada em 1989, chega a<br />
Júpiter em 1995.<br />
Obs: 1 U.A (unidade<br />
astronômica) = distância<br />
Sol-Terra.
Voyager 2: Flyby por Júpiter, Saturno,Urano, Netuno (!!!)<br />
Lançada em Ago 20, 1977 (16 dias antes da Voyager 1)<br />
Duração da missão: indefinida.<br />
Jul 9, 1979 Júpiter<br />
Ago 25, 1981 Saturno<br />
Jan 24, 1986 Urano<br />
Ago 25, 1989 Netuno, 4º Artefato humano a ultrapassar<br />
órbita de Plutão, iniciando saída do Sist.Solar<br />
Dados extraídos da Página do JPL atualizada em Fev,04, 2010.<br />
http://voyager.jpl.nasa.gov
LimitesPráticosPara UsodasManobrasde Swing-By:<br />
- Planetas e corpos celestes envolvidos não estão sempre nos<br />
lugares certos para que se obtenha o destino final desejado da EN;<br />
- Atmosfera dos Planetas: quanto mais próximo dos Planetas, maior<br />
efeito que se tem com a manobra. Entretanto se aproximação da<br />
atmosfera é grande, perda com atrito pode ser maior que o ganho.
Vamos considerar o P3C, com as partículas P1 , P2 , P3 .<br />
3<br />
Seja o vetor posição de P3 : Q = ( Q1,<br />
Q2,<br />
Q3<br />
) ∈ℜ<br />
Pode-se falar de captura de P3 por uma ou pelas duas partículas.<br />
Definição de Captura Permanente ou Total:<br />
P 3 é permanentemente capturado pelo sistema P 1 ,P 2 em<br />
evolução temporal direta, se para t → ∞, |Q| é limitado e<br />
para t → -∞, |Q| →∞.<br />
P3 é permanentemente capturado pelo sistema P1,P2 em<br />
evolução temporal retrógrada, se para t → -∞, |Q| é limitado e<br />
para t → ∞, |Q| →∞.<br />
Mais genericamente, esta definição pode ser estendida no Problema de<br />
N corpos em 3D.<br />
Para N=3, temos que:<br />
Teorema (Chazy,1918,1922): O conjunto de órbitas que levam a captura<br />
permanente no problema geral de 3C possui medida nula.<br />
(não garante existência desse conjunto!)
A questão de existência da Captura Permanente foi resolvido pela<br />
1a vez por Sitnikov (1960), na versão particular do P3C 3D, agora<br />
chamado Problema de Sitnikov.<br />
Alekseev (1960) provou isto por métodos mais sofisticados. Provou<br />
também que movimento do sistema é caótico (existência de um<br />
Conjunto Invariante Hiperbólico). Prova de Moser (1973) mais clara.<br />
Órbitas Parabólicas são definidas como órbitas críticas de escape,<br />
i.e., tal que:<br />
.<br />
quando t<br />
3<br />
3<br />
→ ±∞,<br />
Q ( t)<br />
= ∞,<br />
e Q ( t)<br />
Assim, as órbitas parabólicas separam o espaço de órbitas em<br />
.<br />
órbitas que escapam para infinito, tal que<br />
limt → ∞ Q3<br />
→ 0.<br />
Representam a fronteira entre órbitas hiperbólicas e órbitas limitadas.<br />
Esta região pode dar origem á órbitas fortemente sensíveis que podem<br />
realizar movimentos complicados.<br />
e órbitas que permanecem limitadas para todo tempo.<br />
( t)<br />
><br />
0
Def.: Uma órbita parabólica para o problema restrito elíptico satisfaz:<br />
lim Q(<br />
t)<br />
= ∞,<br />
lim Q(<br />
t)<br />
= 0.<br />
t→±∞<br />
t→±∞<br />
O caso para t→∞ define as órbitas ω-parabólicas<br />
e t→-∞ define as órbitas α-parabólicas.<br />
Def.: P 3 é ejetado, ou alternativamente escapa do sistema P 1,P 2<br />
no Prob. Restrito elíptico em evolução temporal direta se<br />
lim<br />
t→∞<br />
Q( t)<br />
= ∞.<br />
Este é referido como escape ilimitado. Se P 3 vai além de uma dada<br />
distância ρ no instante t, |Q(t)|> ρ, então P 3 tem um escape limitado.<br />
Def.: P 3 tem captura temporária em t=t 0, |t 0|< ∞, se<br />
Q( t ) < ∞,<br />
e lim Q(t)<br />
= ∞.<br />
0<br />
t→±∞<br />
.
Captura Definida Analiticamente (Captura Balística)<br />
Distinguindo-se das capturas definidas geometricamente, nesta<br />
definição, monitora-se o sinal da Energia de Kepler de P 3 com<br />
respeito ao primário P 2.<br />
Def.: A energia kepleriana de 2 corpos de P 3 com respeito a P 2<br />
em coordenadas inerciais centradas em P 2, é dada por<br />
E<br />
onde r 23 =|X|, 0≤μ
Conjuntos de Dimensão Inteira:<br />
Pontos fixos,<br />
Órbitas Periódicas,<br />
Órbitas Quasi-Periódicas,<br />
Conjuntos Invariantes associados a OP,…<br />
Conjuntos de Dimensão Fractal:<br />
Atratores Caóticos e Selas Caóticas.<br />
Atratores (Selas) Caótico são conjuntos invariantes atrativos<br />
(não-atrativos) caóticos que contém infinitas órbitas periódicas<br />
instáveis.
Mapa de Poincaré<br />
Seja Σ uma seção de superfície de co-dimensão 1.<br />
Esta hipersuperfície deve ser escolhida de forma que<br />
todas as trajetórias que cruzam Σ satisfaçam duas<br />
condições:<br />
(i) As trajetórias interseptem Σ transversalmente,<br />
(ii) Cruzem Σ na mesma direção.<br />
Fig. Seção de Poincaré gerada pela intersecção de trajetórias com<br />
uma superfície de Poincaré.
Obrigada pela atenção!!
V Escola de Verão de Física do ITA<br />
8 a 10 de fevereiro de 2010<br />
<strong>Sistemas</strong> <strong>Dinâmicos</strong> <strong>Aplicados</strong> a<br />
<strong>Missões</strong> <strong>Espaciais</strong><br />
Prof a Dr a Maisa de Oliveira Terra<br />
ITA - Instituto Tecnológico de Aeronáutica<br />
Departamento de Matemática<br />
São José dos Campos, SP<br />
maisa@ita.br
Esboçoda2 a Aula:<br />
1. Objetivo e motivação<br />
2. O Problema de N=3 Corpos<br />
─ Caso Restrito Circular Planar<br />
◦ Pontos de Equilíbrio ou Lagrangeanos<br />
◦ Constante de Jacobi e Regiões de Hill<br />
◦ Órbitas Periódicas de Poincaré e Halo<br />
◦ Aplicações dos Pontos Lagrangeanos em <strong>Missões</strong><br />
3. Elementos <strong>Dinâmicos</strong> Relevantes do P3CRCP<br />
◦ Conjuntos Invariantes Associados<br />
◦ Contribuições de Conley – McGehee – Llibre, Martinez e<br />
Simó<br />
Existência de Órbitas Trânsito e de Orbitas Homoclínicas<br />
4. Existência de Conecções Heteroclínicas<br />
5. Aproximação de “Patched-3B”
Objetivo de Hoje: Hoje<br />
Como utilizar a teoria de sistemas dinâmicos aplicada ao<br />
Problema de 3 Corpos Restrito no Projeto de <strong>Missões</strong> <strong>Espaciais</strong><br />
de Baixa Energia.<br />
Uma Motivação Prática: Prática Missão Genesis<br />
Missão: coletar amostras do<br />
vento solar a partir de uma<br />
órbita Halo do ponto L 1 e<br />
retornar a Terra.<br />
Órbita Halo, trajetórias de<br />
transferência e de retorno em<br />
um sistema girante.<br />
Projetada usando Teoria de<br />
<strong>Sistemas</strong> <strong>Dinâmicos</strong> (Barden,<br />
Howell, Lo).<br />
Segue a dinâmica natural, usando pouca propulsão após lançamento.<br />
Porção de retorno a Terra utiliza dinâmica heteroclínica.
Formulação Matemática do Problema de N Corpos<br />
O Problema Geral de N Corpos da Mecânica Celeste consiste de um<br />
problema de valor inicial para EDOs.<br />
Dados os valores dos<br />
parâmetros do sistema: massas m k, k=1,…, N e das<br />
condições iniciais: posições q k(0) e velocidades iniciais dq k/dt(0) das N part.<br />
queremos encontrar as 2N funções vetoriais tridimensionais do tempo –<br />
6N variáveis, soluções das equações:<br />
m jmk<br />
( qk<br />
− q j )<br />
m j q& & j = G ∑ , j = 1,...,<br />
N<br />
3<br />
k≠<br />
j q − q<br />
Dadas as 10 Integrais Algébricas Independentes, temos que a<br />
dinâmica efetiva no espaço de fase é de (6N-10) dimensões.<br />
k<br />
j
No Problema Restrito de 3C Circular (PR3CC) temos 2 primários de<br />
massas m 1 e m 2 que movem-se em círculos, em torno de seu centro<br />
de massa; o menor (3 o corpo) move-se na presença do campo<br />
gravitacional dos primários (sem afetá-los, dado que m 3
Normaliza-se a velocidade de angular do sistema girante a unidade<br />
e, também, a distância entre os primários a unidade de modo que<br />
estes se localizem no eixo x em (-μ,0) e (1- μ,0),<br />
onde<br />
m2<br />
μ = , m1<br />
> m2.<br />
m + m<br />
1<br />
Seja (x,y) a posiçao do 3 o corpo no sistema baricêntrico sinódico.<br />
As equações de movimento são dadas por:<br />
2 2<br />
&x<br />
&−<br />
2 y = Ω<br />
x + y 1−<br />
μ μ μ<br />
&<br />
( 1−<br />
μ)<br />
x<br />
Ω = + + + ,<br />
onde<br />
2 r1<br />
r2<br />
2<br />
&y<br />
& + 2x&<br />
= Ω y<br />
2<br />
2 2 2<br />
2 2<br />
r = ( x − μ)<br />
+ y , r = ( x + 1−<br />
μ)<br />
+ y ,<br />
A Integral de movimento J define uma variedade invariante 3D:<br />
1<br />
4<br />
( , C)<br />
= ( x,<br />
y,<br />
x&<br />
, y&<br />
) ∈R<br />
| J ( x,<br />
y,<br />
x&<br />
, y&<br />
) =<br />
2 2<br />
J(<br />
x,<br />
y,<br />
x&<br />
, y&<br />
) = 2Ω( x,<br />
y)<br />
− ( x&<br />
+ y&<br />
) = C.<br />
M μ<br />
2<br />
{ constante}<br />
C é associada à energia do 3 o corpo e é a chamada constante de Jacobi.<br />
(M restringe o movimento no espaço de fase 4D a uma variedade invariante 3D)<br />
2<br />
,
Pontos Lagrangeanos<br />
Este sistema dinâmico possui 5 pontos de equilíbrio, definidos por :<br />
∂J<br />
= Ω<br />
∂x<br />
x<br />
∂J<br />
∂J<br />
∂J<br />
= 0 , = Ω y = 0,<br />
= 0 ⇒ x&<br />
= 0,<br />
= 0 ⇒ y&<br />
= 0.<br />
∂y<br />
∂x&<br />
∂y&<br />
Estes pontos são chamados Lagrangeanos, sendo:<br />
• 3 colineares:<br />
L 1, L 2 e L 3 localizados ao longo<br />
do eixo-x (pontos sela-centro);<br />
• 2 triângulares:<br />
L 4 e L 5 estão nos vértices de<br />
triângulos equiláteros, (estáveis,<br />
se m 1 /m 2 >24,96).<br />
O valor da constante de Jacobi<br />
nestes pontos é denotada por C k,<br />
k=1,2,3,4,5.<br />
Fig.: Sistema Sol-Júpiter-Cometa
A projeção da superfície M no espaço de posições é chamada<br />
Região de Hill (*) , M(μ,C)={(x,y)|Ω(x,y)≥C/2} e constitue a região<br />
acessível às trajetórias para um dado valor de C.<br />
Pois:<br />
( x y)<br />
− ≥ 0<br />
2 2<br />
x & + y&<br />
= 2Ω<br />
, C<br />
Uma Região de Hill<br />
é limitada pela curva<br />
de velocidade zero,<br />
denominada<br />
Curva de Hill.<br />
P/ o Sistema Terra-Lua:<br />
C<br />
C<br />
C<br />
C<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
≈ 3,<br />
20034<br />
≈ 3,<br />
18416<br />
≈ 3,<br />
02415<br />
= C<br />
5<br />
= 3<br />
(*) Devido a George William Hill (1838-1914).<br />
5 Possibilidades de Regiões de Hill<br />
Caso 5: C
Ref.: Chaos and Stability in Planetary Sytems, R.Dvorak, F.Freistetter, J.Kurths (Eds.),<br />
Lecture Notes in Physics 683, Springer, 2005.
L 1 ,L 2 ,L 3 selas<br />
L 4 ,L 5 máximos<br />
globais<br />
Potencial Efetivo do Sistema Terra-Lua<br />
U(<br />
x,<br />
y)<br />
= −Ω<br />
+ μ( 1− μ)<br />
2<br />
Pontos Lagrangeanos<br />
no Sist. Terra-Lua<br />
Possibilidade de uma EN orbitar um dos Pontos<br />
Lagrangeanos<br />
Valores do Parâmetro para o Sistema:<br />
Terra-Lua μ=0,01211506683<br />
Sol-Júpiter μ=0,0009537<br />
Sol-Terra μ=0,000003
Fig.: Valores de C k=-2E k para os<br />
5 pontos Lagrangeanos em função de μ.<br />
Estes valores separam os 5 casos de<br />
Regiões de Hill.
Se m 2
Do Ponto L 1 :<br />
O Ponto L 1 do Sol-Terra é ideal para realizar observações do Sol.<br />
Objetos ali nunca são sombreados pela Terra ou pela Lua.<br />
A SOHO (Solar and Heliospheric Observatory)(Esa-Nasa) foi estacionada<br />
em uma Órbita Halo em L 1, e a<br />
ACE (Advanced Composition Explorer) em uma Órbita Lissajous em L 1.<br />
(Nasa) (óbita quase-periódica)<br />
Outras <strong>Missões</strong> ali: WIND (Nasa), Genesis (Nasa,finalizada), International<br />
Sun/Earth Explorer 3 (ISEE-3, Nasa, já deixou L1), Deep Space Climate<br />
Observatory (Nasa), Solar-C (Japan Aerospace Exploration Agency,<br />
possível para após 2010).<br />
O L 1 do Terra -Lu a permite fácil acesso a órbitas lunares e terrestres,<br />
com variação mínima de velocidade e seria ideal a uma estação espacial<br />
localizada no meio do percurso, dedicada a auxiliar no transporte de cargas<br />
e pessoas, para a ida e volta da Lua.
Do Ponto L 2 :<br />
O Ponto L 2 do Sol-Terra é um ponto ideal um bom local para<br />
observatórios espaciais, pois um objeto em torno de L 2 manterá<br />
a mesma orientação com relação ao Sol e a Terra, tornando a<br />
calibração e manutenção muito mais simples.<br />
A Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (Nasa) já está em órbita em<br />
torno do L 2 do Sol-Terra . Os futuros Planck satellite (ESA, primavera de<br />
2009), Herschel Space Observatory (ESA, primavera de 2009 c/Planck),<br />
Gaia probe e James Webb Space Telescope (Nasa,ESA,Canadian Space<br />
Agency, Junho de 2013 ou após) serão colocados no L 2 do Sol-Terra .<br />
O L 2 do Terra -Lu a seria uma boa localização para um satélite de<br />
comunicação cobrindo o lado mais distante da Lua.<br />
Do Ponto L 3 :<br />
O L 3 do Sol-Terra é altamente instável, devido às forças gravitacionais<br />
dos demais planetas mais importantes que a Terra (Venus, por ex.,<br />
aproxima-se dentro de 0,3 UA de L3 a cada 20 meses).
Dos Pontos L 4 e L 5 :<br />
•Os L 4 e L 5 do Sol-Jú piter estão ocupados por muitos milhares de<br />
asteróides, os chamados Asteróides Troianos;<br />
•Os L 4 e L 5 do Sol-Terra contêm poeira interplanetária;<br />
•Os L 4 e L 5 do Terra -Lu a contêm poeira interplanetária, chamadas<br />
Nuvens de Kordylewski.<br />
• Netuno tem objetos do Cinturão de Kuiper nos seus pontos L 4 e L 5.<br />
• A Lu a d e Sa tu rn o Teth ys tem 2 satélites muito menores nos seus<br />
pontos L 4 e L 5 chamados Telesto and Calypso, respectivamente.<br />
•As Lu a d e Sa tu rn o D ion e tem Luas muito menores Helene e<br />
Polydeuces nos seus pontos L 4 e L 5, respectivamente.
Estabilização em uma Órbita Halo: Uma possibilidade é usar<br />
controle ótimo para o direcionar traj. à variedade estável de órbita<br />
halo de L 1.
Uma Ilustração sobre Estabilidade de Pontos de Equilíbrio<br />
Em <strong>Sistemas</strong> Conservativos<br />
O Pêndulo Simples<br />
θ<br />
θ=0<br />
l<br />
m=1
Soluções Locais próximo a Orb.Lyapunov:<br />
λt<br />
−λt<br />
i<br />
x(<br />
t)<br />
= α v e + α v e + 2Re(<br />
βe<br />
Variedades Invariantes locais W u (instáveis) e W s (instáveis)<br />
para uma órbita de Lyapunov.<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
νt<br />
w)
Def.: Órbitas com α 1α 2
A região R é topologicamente equivalente a uma região R NL que está no<br />
gargalo da Região de Hill do Problema Restrito não-linearizado (PRNL).<br />
Seja G o subconjunto de J-1 (C) que se projeta em RNL NL.<br />
Conley provou, analisando a Hamiltoniana linearizada do Prob.Rest. que:<br />
G é topologicamente equivalente ao produto cartesiano de uma esfera<br />
bidimensional e um intervalo aberto: aberto<br />
G homeomórfico a S 2xI xI<br />
Tem-se portanto uma esfera bidimensional correspondendo a l1 e outra<br />
a l2 no PRNL em J-1 (C), que são as chamadas esferas limites S 2<br />
1 e S2<br />
2 .
As variedades invariantes estáveis e instáveis das órbitas de Lyapunov são<br />
as separatrizes entre as órbitas trânsito e as não-trânsito não trânsito. .<br />
Def.: Órbitas com α 1 α 2 >0 são chamadas de órbitas não-trânsito.<br />
Órbitas com α 1 α 2 =0 são chamadas de órbitas assintóticas.<br />
Órbitas com α 1 α 2
Variedades Invariantes como Separatrizes<br />
Órb. Trânsito:<br />
Internas aos tubos<br />
Órb. Não Trânsito:<br />
Externas aos tubos<br />
Órbitas Assintóticas:<br />
formam tubos de<br />
variedades invariantes<br />
2D sobre a superfícies<br />
de energia 3D.<br />
Esses tubos invariantes particionam a variedade de energia e funcionam<br />
como separatrizes do fluxo através da região de equilíbrio:<br />
aquelas dentro dos tubos são orb. trânsito, as de fora são não-trânsito.
Distiguimos 9 classes de órbitas agrupadas em 4 categorias: categorias<br />
1. O ponto ξ=η=0 corresponde a uma órbita periódica em R<br />
(órbita de Lyapunov) (ponto preto do centro).<br />
2. As 4 semi-eixos ηξ=0 (verdes)<br />
(ou equivalentemente |ς| 2 =ρ*, onde ρ*=2ε/ν),<br />
correspondem a 4 cilindros de órbitas assintóticas a essas<br />
órbitas periódicas, ou quando o tempo cresce (ξ=0)<br />
ou quando o tempo decresce (η=0).<br />
3. Os segmentos hiperbólicos dados por ηξ=constante>0<br />
(ou |ς| 2 0, a esfera é n 1, percurso do sul<br />
para o norte. Se ξ
Representação de McGehee. McGehee [1969], a partir do trabalho de<br />
Conley [1968], propôs uma representação que facilita a visualização da<br />
região R. Lembrando que R é homeomórfico a S 2 x I .<br />
McGehee a representou por um anel esférico, como mostra Fig.2.2(b).<br />
Fig.2.2: (a) A seção do fluxo da região R da superfície de energia.<br />
(b) A representação de McGehee do fluxo na região R.<br />
Ref.: Conley [1968], C.C. Conley, SIAM J. Appl. Math. 16, 732-746.<br />
McGehee [1969], R.P. McGehee, “Some homoclinic Orbits for the R3BP”, Ph. D. Thesis,<br />
University of Wisconsin, 1969.
Caso 3:<br />
Para C menor e próximo a C2 a Região de Hill possui um<br />
gargalo próximo a L1 e L2.<br />
Tem-se 4 tipos de órbitas: periódica, periódica,<br />
assintótica,<br />
assintótica,<br />
trânsito e não-trânsito<br />
não trânsito. .<br />
As variedades estáveis e instáveis das órbitas de Lyapunov próximas a<br />
L1 e L2 separam 2 tipos de movimento: órbitas trânsito e não-trânsito<br />
não trânsito.
Por ex., no Sistema Terra-Lua , para uma EN transitar de fora da órbita<br />
da Lua para a região de captura da Lua, é possível somente através do<br />
tubo da variedade estável da órbita periódica de L 2 .<br />
Trajetórias dentro do tubo da variedade<br />
estável transitarão da região externa<br />
da órbita da Lua para a região de captura<br />
da Lua.<br />
Trajetória<br />
que começa<br />
dentro do<br />
tubo.
Os tubos invariantes estáveis e instáveis associados às órbitas<br />
periódicas em torno de L 1 e L 2 são os condutores do espaço de<br />
fase, transportando de material entre os domínios em um único<br />
sistema de 3 corpos, assim como, entre primários de sistemas<br />
de 3C separados.Esses tubos são fundamentais para se entender<br />
transporte tanto no sistema solar quanto em sistemas moleculares.<br />
É notório como técnicas das duas áreas – Mecânica Celeste e<br />
<strong>Sistemas</strong> Moleculares – podem ser intercambiadas entre si.<br />
Tubos em sistemas moleculares: Noscontextosatômicose<br />
moleculares, tubos de controle, por exemplo, o espalhamento<br />
de elétrons por átomos de Rydberg.
Existência de Órbitas Homoclínicas e de Conecções Heteroclínicas<br />
Como vimos, as estruturas locais próximas a pontos de libração: (i) OP,<br />
(ii) partes de variedades estáveis e instáveis destas OP, (iii) órbitas trânsito<br />
e (iv) não-trânsito.<br />
Importa agora saber como estas estruturas locais são conectadas globalmente.<br />
globalmente<br />
Objetivamos mostrar como órbitas homoclínicas na região interior são<br />
conectadas a órbitas homoclínicas na região exterior por um ciclo heteroclínico<br />
na região de Júpiter, no sistema Sol-Júpiter.<br />
A união destas 3 estruturas é chamada uma cadeia. cadeia<br />
Obs.: Uma Região de Hill do Caso 3 pode ser particionada em domínios.<br />
Por exemplo, para um cometa no Sistema Sol-Júpiter teremos 5 deles:<br />
domínio próximo ao Sol (S)<br />
domínio próximo a Júpiter (J)<br />
domínio externo (X)<br />
domínio próximo L 1 (R 1 )<br />
domínio próximo L 2 (R 2 )<br />
Domínio interior é associada ao<br />
complementar do externo.
Existência de Órbitas Homoclínicas a O.P.:<br />
Conley [1968] e McGehee [1969] provaram a existência de órbitas homoclínicas<br />
tanto para o domínio interior e exterior e<br />
Llibre, Martinez e Simó [LMS,1985] mostraram analiticamente a existência<br />
das órbitas homoclínicas transversais (1,1) no domínio interior sob certas condições<br />
apropriadas.<br />
Def.: Uma órbita homoclínica relacionada a uma OP m é uma órbita que tende<br />
a m quando t→±∞. Portanto, ela está na variedade invariante instável e<br />
estável de m.<br />
Elaéditaumaórbita homoclínica transversal se em algum ponto da órbita os<br />
espaços tangentes às variedades estáveis e instáveis naquele ponto geram<br />
o espaço tangente completo a M(μ,e) naquele mesmo ponto.<br />
Em nosso problema ou uma órbita homoclínica transversal existe ou<br />
“degenerescência total” ocorre.<br />
Degenerescência total é o caso quando toda órbita assintótica à órbita periódica<br />
instável em uma extremidade é também assintótica a mesma OP na outra<br />
extremidade, portanto é uma órbita homoclínica. Ou seja, a situação de<br />
degenerescência total ocorre, quando as variedades estáveis e instáveis da órbita<br />
de Lyapunov coincidem-se.<br />
Em qualquer um dos casos conclui-se pela existência de uma órbita homoclínica.
Fig.: Uma seção de Poincaré no domínio exterior do Sistema<br />
de 3C Sol-Júpiter-EN.
O prefixo (1,1) refere-se a 1 a intersecção com a seção de Poincaré - definida<br />
pelo plano y=0, x
O prefixo (1,1) refere-se a 1 a intersecção com a seção de Poincaré - definida<br />
pelo plano y=0, x
Ref.: Koon, Lo, Marsden e Ross [2000], Chaos 10, 427.<br />
Existência de Conecções Heteroclínicas<br />
• Encontraram conecções heteroclínicas entre pares de O.P.<br />
Construção de uma conecção heteroclínica entre órbitas de Lyapunov de L 1 e L 2 , buscando uma<br />
intersecção de suas respectivas variedades Invariantes na região J.<br />
• Encontraram uma grande classe de órbitas próximas a esta cadeia homo/heteroclínicas.<br />
• Cometas podem seguir estes canais em rápida transição.
Existência de Órbitas de Transição<br />
• Sequência simbólica usada para rotular itinerário de cada órbita de cometa.<br />
• Teorema Principal: Para cada itinerário admissível, por ex., (…,X,J,S,J,X,…)<br />
existe uma órbita cujo caminho corresponde a este itinerário.<br />
•Pode-se ainda especificar o número de revoluções que o cometa realiza em<br />
torno do Sol & Júpiter (além L 1 & L 2 ).
Construção Numérica de Órbitas<br />
• Procedimento realizado para construir órbita com itinerário prescrito.<br />
• Exemplo: Uma órbita com itinerário (X,J,S,J,X).
Surfando no Sistema Solar:<br />
Variedades Invariantes e a Dinâmica do Sistema Solar.<br />
Com os elementos dinâmicos apresentados é assim possível<br />
desenvolver técnicas e projetar <strong>Missões</strong> espacias interplanetárias,<br />
dentre outras.<br />
Report do JPL de 1997 de Lo e Ross.
V Escola de Verão de Física do ITA<br />
8 a 10 de fevereiro de 2010<br />
<strong>Sistemas</strong> <strong>Dinâmicos</strong> <strong>Aplicados</strong> a<br />
<strong>Missões</strong> <strong>Espaciais</strong><br />
Prof a Dr a Maisa de Oliveira Terra<br />
ITA - Instituto Tecnológico de Aeronáutica<br />
Departamento de Matemática<br />
São José dos Campos, SP<br />
maisa@ita.br
Esboçoda3 a Aula:<br />
1. Transferências Terra-Lua<br />
<strong>Sistemas</strong> de 3 Corpos Acoplados<br />
Aproximação de “Patched-3B”<br />
Refinamentos Finais do Projeto de Transferências TL.<br />
2. Missão Discovery Gênesis<br />
3. Observações de <strong>Sistemas</strong> Naturais que envolvem<br />
P3CRCP<br />
4. Petit Grand Tour das Luas de Júpiter<br />
Caso Planar<br />
Extensão Espacial
Transferências Terra--Lua Terra Lua<br />
• Abordagem tradicional para construir uma trajetória de Transferência<br />
para a Lua a partir da Terra é através da Transferência<br />
de Hohmann.<br />
Usa apenas dinâmica de 2C. Determina-se uma<br />
elipse kepleriana de 2C partindo de uma órbita<br />
em torno da Terra para uma órbita da Lua.<br />
Esse tipo de Transf. requer um grande ΔV para<br />
EN ser capturada pela Lua.<br />
Os dois corpos envolvidos são Terra-EN.<br />
• Em 1991, a missão japonesa Muses-A falha, não tendo propente<br />
suficiente para uma transferência para a Lua por método usual, é<br />
recuperada através de um método inovador,baseado no trabalho de<br />
Belbruno & Miller [1993]. A missão passa a ser chamada por Hiten.
Essa transf. usa uma TBE com assistência gravitacional do Sol e<br />
captura balística na Lua. Essa transf. requer menos combustível<br />
do que a transf. Hohmann.<br />
Trajetória de TBE no sistema<br />
referencial geocêntrico<br />
Mesma trajetória no sistema<br />
referencial Sol-Terra
Aplicação das técnicas de <strong>Sistemas</strong> Sinâmicos para produzir: produzir<br />
1. Petit Grand Tour das luas de Júpiter [Koon,2000].<br />
2. Reproduzir o tipo da Missão Hiten: Hiten transferência de baixa<br />
Energia (TBE) com uma captura balística na Lua baseado no<br />
trabalho de Belbruno e Miller [2] sobre a Teoria de Fronteira de<br />
Estabilidade Fraca (WSB).<br />
Os 3 elementos chaves para produzir essa Transferência a Lua são:<br />
1. Tratar o Problema de 4 C Sol-Terra-Lua-EN como 2 P3CRC<br />
acoplados: <strong>Sistemas</strong> Sol-Terra e Terra-Lua (& EN, óbvio);<br />
2. Usar as variedades invariantes instáveis de OP em torno dos<br />
pontos Lagrangeanos do Sol-Terra Sol Terra para fornecer TBE da<br />
Terra às variedades estáveis de OP em torno de pontos<br />
Lagrangeanos do Terra-Lua Terra Lua;<br />
3. Usar variedades estáveis de OP em torno de pontos<br />
Lagrangeanos do Terra-Lua para produzir capturas balísticas<br />
em torno da Lua.<br />
[2] E. Belbruno, J. miller, Sun-Perturbed Earth-to Moon Transfers with Ballistic Capture, Journal of<br />
Guidance, Control and Dynamics 16 (1993) 770-775.
<strong>Sistemas</strong> de 3 Corpos Acoplados<br />
O estudo de transferências como da EN Hiten requer 4C:<br />
Sol, Terra, Lua e EN.<br />
Contudo, o P4C é muito mais complexo e menos compreendido que<br />
o P3C. Decompondo o P4C em 2 P3C, todo o aparato da teoria de<br />
variedades invariantes torna-se disponível.<br />
Usualmente o Sistema Solar é visto como um todo, mas quando se<br />
deseja usar as Órbitas Halo, a decomposição do sistema solar como<br />
P3C é natural. Isto é que foi feito para projetar a Petit Grand Tour<br />
de Koon et al.<br />
Contudo o sucesso dessa abordagem depende grandemente dos<br />
particulares 4C. A fim de que TBE sejam possíveis é necessário que<br />
as estruturas de variedades invariantes dos 2 sistemas de 3C se<br />
interceptem dentro de um período razoável, caso contrário a transf.<br />
pode requerer um tempo de duração impraticavelmente longo.<br />
Para o caso Sol-Terra-Lua-EN, este não é um problema.
As estruturas das variedades invariantes do L 2 do Terra-Lua<br />
crescem muito rapidamente (da ordem de 1 mês) para a região<br />
circular em torno da Terra com um raio de 1.000.000 km.<br />
Similarmente as estruturas invariantes do L 1 e L 2 do Sol-Terra<br />
também se estendem com a mesma ordem de tempo à mesma<br />
região circular.<br />
A so b repo siçã o d esta s estru tu ra s fo rn ece a TBE en tre<br />
Terra e Lu a .<br />
Isto explica porque muitas das técnicas baseadas na Teoria WSB<br />
sempre envolvem esta região de 1.000.000 km em torno da Terra<br />
como ponto de partida para a construção da trajetória.
Argumentos favoráveis a 2 Modelos de 3C acoplados: acoplados<br />
Fora da SOI da Lua (60.000 km):<br />
• pode-se desprezar a perturbação da Lua no Sistema de 3C<br />
Sol-Terra-EN.<br />
Entrando-se na SOI da Terra (900.000 km):<br />
• realiza-se ΔV de meio do curso,<br />
• pode-se desprezar a perturbação do Sol no Sistema de 3C<br />
Terra-Lua-EN,<br />
• pode-se usar a estrutura das variedades so Terra-Lua para captura.<br />
No sistema Solar real: excentricidade da Lua é 0,055,<br />
excentricidade da Terra é 0,017 e<br />
a órbita da Lua é inclinada com relação a órbita da Terra por 5 0 .<br />
(Justifica uso de modelo coplanar circular)
Aproximação de “Patched-3B”<br />
Projetando Transferência Terra-Lua Terra Lua com Assistência do Sol<br />
A partir da secão de Poincaré definida pelo segmento vertical que passa pela Terra:<br />
• Integra-se diretamente, EN guiada pela variedade estável do L 2 do Sistema<br />
Terra-Lua de modo a ser capturada pela Lua;<br />
• Integrando retrogradamente, EN restrita pela variedade estável do L 2 do Sistema<br />
Sol-Terra, realiza uma volta e retorna.
Porção da Captura Balística Lunar<br />
Tubo da variedade estável da OP em torno de L 2 fornece mecanismo de<br />
captura temporária pelo 2 o primário.<br />
Definição de Captura Balística pela Lua: uma órbita que sob dinâmica natural entra na<br />
SOI da Lua (20.000 km) e realiza ao menos uma volta em torno da Lua.<br />
Nesse estado, pequeno ΔV resultará em captura estável (fechando gargalo em L 1 ou L 2 ).
Porção do Ponto de Libração do Sol-Terra Sol Terra<br />
Escolhe-se CI no exterior do corte de Poincaré do tubo invariante instável de<br />
L2 do Sol-Terra, integrando-se retrogradamente para produzir a trajetória:<br />
Essa trajetória retrógrada passa pela região de L 2 com um twist<br />
twist, restrita pela<br />
variedade instável e chega à Terra, restrita pela variedade estável de L 2 .
Conectando as 2 porções: obtemos a solução do P4C<br />
Sol-Terra-Lua-EN como 2 sistemas de 3C acoplados
Refinamentos Finais do Projeto de Transf. Transf.<br />
Terra-Lua Terra Lua:<br />
i. A trajetória final, começando na Terra e terminando em captura<br />
Lunar é integrada no Problema 4C Bicircular, onde ambos Lua e<br />
Terra são supostos mover em órbitas circulares na eclíptica,e EN<br />
é uma massa que não afeta a dinâmica dos demais corpos.<br />
Fig.: Sistema de ref. girante do<br />
Modelo Bicircular, onde Terra e<br />
Lua são fixas no eixo-x e Sol<br />
gira em sentido horário em torno<br />
do baricentro do Terra-Lua (origem)<br />
com freq. angular ω s .<br />
ii. A solução final do Bicircular é diferencialmente corrigida para<br />
que se obtenha uma trajetória integrada completamente usando-se<br />
as efemérides do JPL (Jet Propulsion Lab).<br />
Disponível em: http://ssd.jpl.nasa.gov/eph_info.html
Com pequenas modificações (um ΔV de 34 m/s no ponto de colagem)<br />
produz-se uma solução no problema de 4 corpos bicircular ,<br />
Dado que captura na Lua ocorra de modo natural (ΔV nulo)<br />
quantidade necessária de combustível é reduzida (em torno de 20%).
Missão Discovery Genesis<br />
Objetivo: coletar dados sobre o vento solar a partir de uma órbita<br />
Halo de L 1 por 2 anos. Retorno de amostras à Terra em 2003<br />
para análise.<br />
Órbita Halo, de transferência e de retorno no referencial girante.<br />
EN retorna a Terra por uma conecção heteroclínica.
Observações de <strong>Sistemas</strong> Naturais que envolvem P3CRCP<br />
(a) Projeções no espaço de configuração das variedades estável (curva<br />
tracejada) e instável (curva curva sólida) sólida de L1 e L2 no referencial girante de<br />
Sol-Júpiter. As variedades de L1 são as verdes, enquanto que as<br />
variedades de L 2 são pretas.<br />
(b) A órbita do cometa Oterma (AD 1915-1980) no referencial girante com<br />
baricentro de Sol-Júpiter (vermelho) segue proximamente as variedades<br />
invariantes de L 1 e L 2 . Distâncias estão em unidades astronômicas (AU).
Petit Grand Tour das Luas de Júpiter (Modelo Modelo Planar)<br />
4 Luas de Júpiter,<br />
chamadas Luas de Galileu:<br />
Contrução de uma trajetória de baixa energia que visite várias luas de Júpiter<br />
em uma única missão.<br />
Em lugar de flybys, pode-se orbitar cada lua por qualquer duração.<br />
Io,<br />
Europa,<br />
Ganimedes,<br />
Calisto.
Petit Grand Tour das Luas de Júpiter (Modelo Modelo Planar)<br />
• Sistema de 4C Júpiter-Ganimede-Europa-SC pode ser aproximado por<br />
2 <strong>Sistemas</strong> acoplados de 3C. 3C<br />
• Tubos de variedades invariantes de 2 sistemas de 3C são conectados<br />
na ordem correta para construir órbita com itinerário desejado.<br />
• Solução inicial refinada pelo modelo de 4C.<br />
• Soluções de 3 corpos oferecem uma grande<br />
classe de TBE.<br />
Variedade instável da OP de L1<br />
de Ganimede<br />
Variedade estável da OP de L2<br />
de Europa
Petit Grand Tour das Luas de Júpiter (Modelo Modelo Planar)<br />
Usou variedades invariantes para construir trajetórias com<br />
características interessantes:<br />
• 1 volta em torno de Ganimede, 4 órbitas em torno de Europa.<br />
•um ΔV leva EN do sistema Júpiter-Ganimede para o<br />
Sistema Júpiter-Europa.<br />
Em lugar de flybys, EN pode orbitar várias luas por qualquer duração.
Detalhes Técnicos: Ilustrando uma Conecção Heteroclínica<br />
Encontra-se uma intersecção das variedades estável/instável,<br />
através de uma escolha apropriada da seção de Poincaré.<br />
Pontos de intersecção devem ser integrados para produzir<br />
Conecções Heteroclínicas.
Construção de uma órbita (X,J,S) do Sistema Sol-Júpiter:<br />
Qualquer ponto na intersecção de Δ J é uma órbita (X,J,S).
Construção de uma órbita (J, X; J, S, J)
Extensão do Modelo Planar ao Modelo Espacial
Espacial: Espacial:<br />
Variedades Invariantes como Separatrizes<br />
Dinâmica próxima aos pontos de equilíbrio colineares:<br />
Sela x Centro x Centro<br />
•Órbitas limitadas (periódicas ou quasi-periódicas): S 3 (3-esfera);<br />
(Normally Hyperbolic Invariant Manifolds - NHIM)<br />
• Órbitas assintóticas a NHIM formam tubos de variedades<br />
invariantes 4D (S 3 x R) em uma superfície de energia 5D.<br />
Eles separam órbitas trânsito (as de dentro dos tubos) de<br />
não-trânsito (de fora dos tubos).<br />
• Órbitas trânsito e não-trânsito