Sistemas Dinâmicos Aplicados a Missões Espaciais - evfita

V EVFITA – 8 a 10 de fevereiro de 2010
ITA - São José dos Campos
Sistemas Dinâmicos Aplicados a
Missões Espaciais
Prof a Dr a Maisa de Oliveira Terra
ITA - Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Departamento de Matemática
São José dos Campos, SP
maisa@ita.br

V Escola de Verão de Física do ITA
8 a 10 de fevereiro de 2010
Sistemas Dinâmicos Aplicados a
Missões Espaciais
Prof a Dr a Maisa de Oliveira Terra
ITA - Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Departamento de Matemática
São José dos Campos, SP
maisa@ita.br

Esboço do Curso I:
1ª Aula:
Introdução e Definições Gerais
2ª Aula:
Projeto de Missões no Contexto do PR3C
Parte Teórica
3ª Aula:
Aplicações e Extensões a PR4C

Esboçoda1 a Aula:
1. Motivação Geral: o caso de N corpos
2. O Problema de 2 Corpos
3. Análise de Missões Interplanetárias
4. O Conceito de Esfera de Influência
5. Tipos de Manobras Orbitais
6. Métodos Impulsivos Mais Importantes
Transferência de Hohmann
Transferência Bi-Elíptica Tri-Impulsiva
Método Patched Conic e Manobras de Swing-By
7. Definições de Captura
8. Conjuntos Invariantes de Interesse

Esboçoda2 a Aula:
1. Objetivo e motivação
2. O Problema de N=3 Corpos
─ Caso Restrito Circular Planar
◦ Pontos de Equilíbrio ou Lagrangeanos
◦ Constante de Jacobi e Regiões de Hill
◦ Órbitas Periódicas de Poincaré e Halo
◦ Aplicações dos Pontos Lagrangeanos em Missões
3. Elementos Dinâmicos Relevantes do P3CRCP
◦ Conjuntos Invariantes Associados
◦ Contribuições de Conley – McGehee – Llibre, Martinez e
Simó
◦ Existência de Órbitas Trânsito e de Orbitas Homoclínicas
4. Existência de Conecções Heteroclínicas
5. Aproximação de “Patched-3B”

Esboçoda3 a Aula:
1. Transferências Terra-Lua
2. Proposta da Fronteira de Estabilidade
Fraca de Ed. Belbruno
3. Sistema Júpiter e suas 2 Luas
4. Extensão ao PR4C
5. Aplicações em outras Áreas

Motivação: Motivação O Problema de N Corpos
Considere o Problema de N corpos, N ≥ 2.
Seja o movimento de N pontos materiais P k
de massa m k >0, k=1,2,…,N, em um espaço
tridimensional sob ação da força gravitacional.
Sabemos que teremos como Equações de Movimento:
3N EDOs de 2a Ordem (descrição newtoniana)
ou, alternativamente,
6N EDOs de 1a Ordem (descrição hamiltoniana)
Para N≥2, a partir das Leis Clássicas da Conservação da
Quantidade de Movimento (6), da Energia (1) e do Momento
Angular (3):Conjunto (3): de 10 integrais algébricas independentes
(integrais primeiras de movimento) que podem ser usadas para
reduzir a dimensão efetiva do espaço de fases ou do
espaço de coordenadas.

Motivação: Motivação Alguns Casos de Interesse
Vôo de uma sonda espacial da Terra para Marte
4 Corpos: Sol, Terra, Marte, Sonda
Duas possíveis abordagens preliminares:
• Baseada em P2C:
Missão pode ser dividida em 3 partes:
1ª fase: Terra - Sonda (próximo a Terra)
2ª fase: Sol - Sonda (vôo interplanetário)
3ª fase: Marte - Sonda (próximo a Marte)
• Baseada em P3C:
Missão pode ser dividida em 2 partes:
1ª fase: Sol - Terra - Sonda (próximo a Terra)
2ª fase: Sol - Marte - Sonda (próximo a Marte)

Motivação: Motivação
Vôo Direto de uma sonda espacial da Terra para Lua
3 Corpos: Terra, Lua, Sonda
• Possível abordagem preliminar baseada em P2C:
Missão pode ser dividida em 2 partes:
1ª fase: Terra - Sonda (próximo a Terra)
2ª fase: Lua - Sonda (próximo a Lua)
Vôo de uma sonda espacial da Terra para Lua com
Assistência Gravitacional do Sol
4 Corpos: Sol, Terra, Lua, Sonda
• Possível abordagem preliminar baseada em P3C:
Missão pode ser dividida em 2 partes:
1ª fase: Sol - Terra - Sonda (próximo a Terra)
2ª fase: Terra - Lua - Sonda (próximo a Lua)

Revisão Histórica – Macro da Mecânica Celeste
Segundo Szebehely (Adventures in Celestial Mechanics) pode ser
dividida em 4 partes:
(1 a ) ~2000 anos: inicia com Aristóteles, inclui Ptolomeu, Copérnico,
Brahe, Galileu e Kepler.
(2 a ) Clássica (provavelmente a mais significante do ponto de vista científico):
Newton, Descartes, Leibnitz, Euler, Clairaut, D’Alembert,
Lagrange, Laplace, Legendre, Gauss, Poisson, Encke e Hamilton.
(3 a ) Moderna (Século 19): Hill, Tisserand, Poincaré, Moulton, Whittaker,
Birkhoff.
(4 a ) Século 20: Arnould, Brouwer, Duboshin, Herget, Herrick,
Kolmogorov, Moser,Siegel, Wintner e outros.

Papel importante em Astronáutica por três motivos:
1. Único problema em astrodinâmica para o qual existe solução
completa e geral (a exceção de casos particulares de PR3C).
2. Grande variedade de problemas práticos podem ser tratados
como P2C.
3. O efeito de outros corpos, em muitos casos, pode ser tratado
como uma perturbação desse sistema.
Breve Histórico: Histórico
Para os antigos astrônomos babilônicos, gregos e egípcios o maior interesse
era prever as posições do Sol, da Lua e dos planetas na esfera celeste a fim
de obter um calendário exato e previsão exata de datas de eclipses.
Ptolomeu – (151-127 (151 127 a.C) a.C)
– astronomia geocêntrica. geocêntrica A crença de mais de
1500 anos foi transcrita por Ptolomeu em sua obra Almagest:
Esfera de estrelas gira em torno da Terra, Terra que está no centro, e demais corpos estão
movendo-se separadamente em círculos perfeitos em esferas distintas.
distintas

Breve Histórico: Histórico
Ptolomeu – (151-127 (151 127 a.C) a.C)
– astronomia geocêntrica (por por 17 séc) séc
Descrevia o movimento aparente dos astros (Sol, Terra, 5 planetas
conhecidos e estrelas) estrelas)
como órbitas epicíclicas (Obra Obra: : Almagest).
1a Quebra de Paradigma: Paradigma mudança do centro do Universo da Terra p/ o Sol
Nicolau Copérnico – (polonês polonês, , 1473-1543)
1473 1543) – influenciado por
filósofos gregos (Pitágoras Pitágoras, , Heráclides,
Heráclides,
Aristarco,…)
Aristarco,…)
propõe a
teoria heliocêntrica,
heliocêntrica,
porém sem comprovação experimental.
Evento contemporâneo a descoberta da América e o fim da escura
Idade Média. Média
Em 1609, Galileu Galilei (1564-1642)
(1564 1642) construiu o 1 o telescópio. telescópio
Dentre suas descobertas:
descobertas:
de que Júpiter pode ser considerado como
o centro de um sistema planetário com seus 4 satélites
(suporte suporte observacional a teoria heliocêntrica que passa a ser aceita); aceita);
as fases de Vênus; Vênus;
os anéis de Saturno; Saturno;
crateras e montanhas na Lua.
Lua

Tycho Brahé (1546-1601)
(1546 1601) - astrônomo dinamarquês - observou
por anos o movimento dos astros e obteve uma grande
quantidade de dados acurados em relação a suas posições. posições
Johannes Kepler – alemão (1571-1630)
(1571 1630) – discípulo
de Tycho Brahé. Brahé.
De 1601 a 1603 procura reconciliar teoria existente
com dados observacionais precisos sobre a
posição de Marte. Marte.
2a Grande Quebra de Paradigma:
Paradigma
Conclusão: Conclusão movimento em círculos divinamente perfeitos
elípses el pses.
Dois aspectos favoreceram suas descobertas:
(i) dados observacionais cuidadosos e,
(ii) a exceção de Mercúrio, órbita de Marte era a mais excêntrica.

Descrição de Kepler do Movimento Planetário: Planetário
Em 1609: ((Astronomia
Astronomia Nova) Nova)
1ª Lei: A órbita de cada planeta é uma elípse com o Sol em um
dos focos. focos
2ª Lei: (Lei das Áreas) Áreas O raio vetor que une o
planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais. iguais
Em 1619:
3ª Lei: (Lei Harmônica) Harmônica O quadrado do período de
revolução de um planeta é proporcional ao cubo de
sua distância média ao Sol.
O Pôrque: Pôrque:
Isaac Newton (1642-1727)
(1642 1727) – no livro Principia
(3 leis de movimento + LGU)
Lei da Gravitação Gravita ão Universal: 2 corpos quaisquer se atraem
mutuamente com uma força for proporcional ao produto de suas
massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância
que os separa. separa
GMm
r
− 29 3 2
F = − , G = 6,
673 x10
m /kg.s
2
r r

Solução do Problema de 2 Corpos: Corpos
Hipóteses simplificadoras:
simplificadoras
• corpos perfeitamente esféricos → massas puntuais (pontos materiais)
• única força do sistema é atração gravitacional mútua entre os 2C.
Sejam: - o sistema inercial de referência Oxyz e
- os pontos materiais P1 e P2 com massas M e m e posições
Assim, definindo r =
r2
− r1,
temos um Sistema de 6 EDOs de 2 a Ordem (2 corpos x 3 GL):
&
Gm r GM r
= , &r
&
2
2 = −
r r r r
r1 2
cuja solução envolve 12 constantes arbitrárias de integração.
Espaço de fases: fases 2x3x2 dimensões
Sistema Integrável: Integrável devido às constantes de movimento
r
1
e r
2

Integrais de Movimento ou Integrais Primeiras do P2C
Seja o centro de massa do sistema, cuja posição é
r
CM
tal que Mr 1 + mr2
= at
+ b
Mr1
+ mr2
=
M + m
a e b representam 6 constantes de movimento.
CM em MRU com velocidade
e posição inicial
a ( M + m)
b ( M + m)
Podemos associar ao CM um sistema inercial de referência
// ao sistema Oxyz , se deslocando com velocidade constante,
obtendo-se 6 EDOs desacopladas. Novas posições: r ' e r '.
−1
−1
1
2

Integrais de Movimento ou Integrais Primeiras do P2C
• Integral de Energia (energia energia mecânica específica):
específica):
1 2 μ
ε = υ − , onde υ é a magnitude do vetor velocidade e μ = GM.
2 r
• Integral do Momentum Angular: Angular
h = r × r&
r ⋅h = r&
⋅h
= 0 → h é perpendicular
ao plano definido pelos vetores r e r&
.
Como h é constante → movimento restrito ao plano orbital.
Segunda Lei de Kepler
• Vetor de Laplace-Runge
Laplace Runge-Lenz Lenz:
r
B = r&
× h − μ
r
B ⋅h
= 0 → B está no plano da órbita, definindo uma direção.
ε , h correspondem
a 4 constantes e → 5 Integrais de Movimento
B a apenas 1constante
Independentes
Obs.: Existe outra relação entre B e h.

Def 1.: Quando duas ou mais integrais de movimentos I 1 , I 2
existem para um sistema de equações diferenciais ordinárias,
estas são chamadas independentes se os vetores gradientes
( ∂ , K,
∂ , ∂ , K,
∂ ∂ )
∂ ≡
,
r, r&
,
r&
t r1
rN
r&
1
N
de I 1 e I 2 são independentes. Isto implica que o posto da matriz
de ordem 2x(6N+1)
é em geral 2.
∂
∂(
I ) 1,
I2
r , K,
r , r&
, K,
r&
, t
( )
1
N
1
N
t

Equação de Trajetória
r
=
1+
2
h μ
( B / μ)
cos
f , denominado anomalia verdadeira,
é o ângulo entre r e B
Equação geral de uma seção cônica em coordenadas polares com a
origem localizada em um dos focos e ângulo f corresponde ao ângulo
entre o raio vetor r e a direção associada ao ponto da curva mais
próximo do foco.
r
=
1+
p
ecos
Tipo de seção cônica:
• Círculo: e=0
• Elipse: 0

Em 3 dimensões, precisamos de 6 Elementos Orbitais para
representar a dinâmica, que são as seguintes variáveis do:
Tipo ação:
1. Semi-eixo maior a,
2. Excentricidade da órbita e,
3. Inclinação i (do plano orbital, com
relação a um sistema inercial.
Tipo ângulo:
4. Longitude do nodo ascendente Ω
5. Argumento do periapsis
(ou pericentro ou periélio) ω
6. Anomalia verdadeira v.
Obs: Movimento no Sistema Solar não está confinado a um único plano orbital.

Neste diagrama, o plano orbital (amarelo) intersepta
um plano de referência (cinza).
Para satélites orbitando a Terra, o plano
de referência é geralmente o Equador da
Terra, e para satélites em órbitas solares
é plano de revolução da Terra em redor
do Sol, chamado plano eclíptico.
Direção do Equinócio Vernal (♈): linha
de referência a partir do Sol a um ponto
fixo na esfera celeste.
Corresponde ao 1 o dia de primavera no
hemisfério Norte, apontando à constelação de
Áries.
A intersecção é chamada a linha dos nodos, uma vez que conecta o centro de
massa com o nodo ascendente (ponto onde a órbita intersecta o plano de referência)
e o nodo descendente.
O ângulo entre a linha de referência até o nodo ascendente é a Longitude do Nodo
Ascendente Ω.
Este plano, junto com o Ponto Vernal, (♈), estabelece o sistema de referência.

Análise de Missões Espaciais Interplanetárias:
Interplanetárias:
Método “Patched Conic”:
Análise de uma missão complexa, envolvendo uma EN e vários corpos
celestes como uma seqüência de P2C, no qual um dos corpos é sempre
a EN.
Justificativa: EN é suficientemente próxima a um corpo celeste, tal como
da Terra, de modo que a força de atração gravitacional dos outros corpos
(Sol, Lua e outros planetas) pode ser desprezada.
Então trata-se do P2C Terra-EN.
Def.: A região dentro da qual esta aproximação é válida é chamada
Esfera de Influência (SOI) da Terra.
Cada corpo celeste tem uma Esfera de Influência.
No sistema solar, se um corpo está fora da SOI de planetas e lua,
considera-se a órbita em torno do Sol.
Com a aproximação de missão complexa como uma seqüência de P2C,
usa-se órbitas cônicas para descrever as várias fases da missão.

Trajetórias “Planetary Flyby” ou “Gravity-Assist”:
“Gravity Assist”:
Encontros ocorrem dentro da SOI do Planeta de Flyby.
Flyby planetário tem sido usado extensivamente por EN interplanetárias.
Exs:
• Voyager 1 voando de Júpiter a Saturno;
• Voyager 2 voando por Júpiter, Saturno, Urano e Netuno em 1989;
• ICE (Interplanetary Cometary Explorer) flyby pela Lua em direção
ao Cometa Giacobinni-Zinner em 1984; e
• Galileu, usou uma trajetória VEEGA: Venus-Earth-Earth Gravity-Assist,
explorando um flyby de Venus seguido de 2 flybys da Terra,
antes de atingir Júpiter, em 1995.
Obs: Missão Galileu foi finalizada em Set 21, 2003 (14 anos de
duração explorando Júpiter e arredores (9 Luas e anel).

SOI da Terra: região dentro da qual, pode-se como uma aproximação
desprezar as forças gravitacionais na EN devido ao Sol, Lua e outros
planetas e analisar o Problema como um P2C Terra-EN.
Buscando uma definição correta:
Uma Definição Simplísta de SOI: a forçanaEN devidoàTerraé maior
que a força na EN devido ao Sol. A superfície ao longo da qual as
2 forças são iguais seria a Esfera de Influência (SOI).
Gm
r
1/
2
emv Gmsm
⎛
v m ⎞ e
> ⇒ rev
< r
2
2
sv
ev rsv
ms
Se supomos que EN está entre a Terra e o Sol, então:
8
r + r = 1au
≈1,5×
10 km ⇒ r = 1−
ev
sv
⎜
⎝
⎟
⎠
sv
r
ev
s → Sol
e → Terra
v → veículo

me
ms
m
5
5
⇒ r <
au, e
ev
≈ 3×
10 ⇒ rev
≅ 2,
5×
10 km
⎛ m ⎞ ms
⎜1+
e ⎟
⎝ ms
⎠
≅ 42 raios da Terra
Lua fora da SOI da Terra: Lua deveria estar orbitando em torno do Sol
como um asteróide
Definição Incorreta
Definição Correta de SOI: Devida a Laplace no Séc. 18.
Considera a EN como um satélite de um corpo, calculando a perturbação
da aceleração deste movimento devido a atração do outro corpo.
Fazendo isto para cada corpo, é possível determinar a esfera de
influência, comparando a razão entre as acelerações.
Vejamos:
Escrevendo Eq. de Mov de cada um dos corpos e subtraindo-as duas a duas obtemos:

Seja o sistema de 3C: Sol (s) – planeta (p) – EN (v) (de veículo)
•Movimento da EN relativa ao planeta, perturbado pelo Sol:
2
d r
dt
pv
2
G
( m + m )
2
p v
rsv
sp
pv
+ rpv
= −Gms
− ⇒
3
3 3 ⎥
2
rpv
rsv
rsp
dt
⎡
⎢
⎣
r
⎤
⎦
d
r
− A
onde A p representa a aceleração gravitacional devido ao planeta
e P s é a perturbação devida ao Sol.
•Movimento da EN relativa ao Sol, perturbado pelo planeta:
2
d r
dt
sv
2
G
( m + m )
⎡r
+ s
3
rsv
v rsv
pv sp
= −Gmp
⎢ − ⎥ ⇒
3 3
rpv
rsp
2
sv
2
dt
⎣
r
⎤
⎦
d
r
− A
onde A s representa a aceleração gravitacional devido ao Sol
e P p é a perturbação devida ao planeta.
Ainda que m s >>m p +m v , se veículo está muito próximo ao planeta, P s

Definição Correta da SOI: superfície ao longo da qual as magnitudes
das acelerações satisfazem:
P p
=
A
s
Ps
A
p
Se o lado esquerdo > lado direito, então EN está dentro da SOI do planeta.
Contrasta com definição incorreta para a qual interior da SOI é dada por
P
P
A
A
Para Terra, s ≅ 0,15.
p
p
s
Ap
Ps
> 1 , para a correta >

Raios da Esfera de Influência de Planetas e da Lua
Corpo
Celeste
Mercúrio
Venus
Terra
Marte
Júpiter
Netuno
Lua
Raio Equatorial
(km)
2487
6187
6378
3380
71370
22320
1738
Raio da SOI
(km)
1,13 x 10 5
6,17 x 10 5
9,24 x 10 5
5,74 x 10 5
4,83 x 10 7
8,67 x 10 7
6,61 x 10 4
Obs.1: Para a Lua, SOI relativa a perturbações da Terra.
Raio da SOI
(raio do corpo)
45
100
145
170
677
3886
Obs.2: Note que raio da SOI da Terra = 145 raios da Terra e não 42,
como na definição incorreta. A Lua, como está a 60 raios da Terra,
está bem dentro da SOI da Terra (raio da SOI da Terra=6x10 -3 u.a.
Quase um ponto no Sistema Solar) .
38

Definindo a Terminologia de Manobras Orbitais: Orbitais
Manobras Manobras Impulsivas Impulsivas
São as que envolvem uma única mudança de velocidade “quaseinstantânea”.
Baseados no modelo de propulsão com empuxo infinito.
Em fases de projeto preliminares os projetistas de missões
consideram as mudanças de manobras desejadas como manobras
impulsivas, pois isto reduz a complexidade de encontrar as transições
orbitais corretas. As mudanças instantâneas em velocidade são referidas
como ΔV.
Manobras Manobras Não--Impulsivas
Não Impulsivas
Corresponde à aplicação de baixo impulso por períodos de tempo maiores.
São consideradas menos eficientes, porém podem ser a única opção
quando baixos pesos de lançamento são desejados.

Manobras Orbitais: Orbitais Métodos Impulsivos Mais Importantes
Transferência de Hohmann
É a solução bi-impulsiva ótima para a transferência entre 2 órbitas circulares
coplanares de mesmo sentido. Foi criada por Walter Hohmann (Alemanha,1925).
É o resultado mais usado em manobras espaciais.
Solução: Órbita elíptica tangente a ambas órbitas circulares.
⎛ ⎛r
f ⎞ ⎞
Segue os seguintes passos:
⎜ 2⎜
⎟ ⎟
(i) Na órbita inicial, um impulso de magnitude ⎜ ⎝ r0
ΔV ⎠
− ⎟
0 = V0
1
⎜ ⎛r
f ⎞ ⎟
⎜ ⎜ ⎟ + 1 ⎟
⎝ ⎝ r0
⎠ ⎠
(onde r0 (rf ) é o raio da órbita inicial (final) e V0 é a velocidade do veículo em sua
órbita inicial) é aplicado tangencialmente ao movimento. Com este impulso, o
veículo entra em uma órbita elíptica com periapsis rf e apoapsis r0 .
(ii) O 2 o impulso é aplicado quando o veículo está no apoapsis, com magnitude
2
Δ r
V f = V0
1−
f ( rf
/ r0
) + 1
− 1
( r / ) 2
0
E esse impulso circulariza a órbita
no raio final desejado.

Duração da manobra: ½ do período da
órbita elíptica de transferência
t
=
1 ⎧ 1+
rf
⎨
2 ⎩ 2
3/
2
É a abordagem tradicional para
transferência de uma EN da Terra para
a Lua.
Para sua construção usa-se dinâmica
de 2C para Terra-EN apenas e uma
semi-elipse kepleriana conectando a
Órbita estacionária em torno da Terra
com umaÓrbitaestacionáriaemtorno
da Lua.
Obs.: Dinâmica Lua-EN não incluída.
r
0
⎫
⎬
⎭
onde T 0 é o período da órbita inicial.
Custo da transf. é geralmente alto e outras tentativas para minimizálo
têm sido feitas.
T
0

Generalizações daTransferência de Hohmann
Após trabalho fundamental de Hohmann surgiram várias generalizações
para outros casos de transferências coplanares. Alguns exemplos:
— Para uma transf. entre uma órbita circular de raio r 0 e uma elíptica
externa com periapsis r p e apoapsis r a (r 0

A Transferência Bi-Elíptica Bi Elíptica Tri-Impulsiva
Tri Impulsiva
A transferência bi-elíptica consiste de 2 órbitas em semi-elipses.
Essa transferência possui os seguintes passos:
(i) O 1 o impulso ΔV 0 é aplicado à órbita inicial para colocar a EN (ponto1)
em uma órbita de transf. com periapsis r 0 e apoapsis r i (r i>r f) (*) ,
(ii) Quando EN está no apoapsis (ponto 2), 2 o impulso ΔV i é aplicado para
aumentar a altura do periapsis para r f ; (Esperto: longe do centro de atração!)
(iii) Um 3 o impulso é aplicado, agora contrário a direção do movimento,
quando EN está no periapsis (ponto 3); esse impulso circulariza a EN
em uma órbita final desejada.
(*) Caso contrário, Holmann seria mais eficiente.
Uma transferência bi-elíptica de uma
órbita inicial menor (azul escuro),
para uma órbita circular maior
(vermelha).

Hoelker e Silber (1959) mostraram que:
a Transferência de Hohman é a transferência ótima entre 2 órbitas
circulares e coplanares apenas quando rf / r0< 11,93876,
caso contrário
a Transferência Bi-Elíptica Bi Elíptica com 3 impulsos pode apresentar menor Δv.
O impulso total gasto nessa transferência diminui quando r i aumenta.
O mínimo ocorre quando r i=∞, a transferência bi-parabólica
(2 órbitas passam a ser parabólicas).
Sabe-se que para r f /r o >15,58178, a transferência bi-eliptica é sempre
superior a de Holmann (para qualquer valor de ri>rf)
e
no intervalo 11,93876 < r f / r 0 < 15,58178 existe um valor limite de r i para
o qual a bi-elíptica deve ser mais eficiente do que a de Hohmann.

Outras Manobras Bi-Impulsivas
Bi Impulsivas
Gobetz e Doll (1969) detalharam que:
Existem transferências derivadas da bi-elíptica para os casos de
transferência:
— entre uma órbita circular e uma elíptica e
— entre órbitas elípticas coaxiais.
De forma geral, sabe-se que para uma transferência entre 2
órbitas coplanares existem duas possibilidades para uma
manobra ótima do ponto de vista de consumo mínimo de
combustível:
— Bi-impulsiva do tipo Hohmann ou
— Tri-impulsiva passando pelo infinito.
Sendo que o acréscimo de mais impulsos finitos não pode reduzir
ainda mais o consumo de combustível (Ting, 1960).

Existem muitas outras variantes de manobras do tipo impulsiva na
literatura: as que utilizam de uma série de manobras nos apsides
para compensar uma eventual falta de capacidade dos propulsores
em fornecer o impulso necessário ; a transf. com 2 impulsos de
magnitude fixa; transf. de um corpo de volta ao mesmo corpo, etc.
Os casos particulares mencionados já foram estendidos ao caso
mais geral de transf. não-coplanares.

“Patched Conic”
As manobras anteriores não levam em conta a fase de inserção
da órbita em torno de um 2 o corpo, como por exemplo a Lua em
uma manobra Terra-Lua. O Método “Patched Conic” resolve este
problema quebrando a manobra total em duas partes. Ilustrando
com uma manobra Terra-Marte:
i) A 1 a parte despreza os efeitos de Marte e utiliza um dos métodos
para levar a EN da órbita inicial a uma órbita que cruze com a
trajetória da Marte.
ii) Quando EN penetra a SOI de Marte, os efeitos da Terra são
desprezados e a órbita é considerada kepleriana em torno de Marte.
Obs.: Para as missões Voyager e Galileo, a abordagem patch-conic funcionou muito bem,
mas outras abordagens se tornaram necessárias à medida que novos desafios são
formulados: por exemplo, as trajetórias da Gênesis e de EN que orbita várias luas de Júpiter
(múltiplas manobras usando assistência gravitacional foram utilizadas para gerar uma TBE)
são mais parecidas a soluções do problemas restritos de 3 e 4C do que das soluções de
P2C. Fundamentalmente, são soluções do Problema restrito de N corpos não-keplerianas.

Métodos Modernos
Estão baseados em 2 conceitos de mecânica celeste:
• O de captura gravitacional,
• O de manobras assistidas por gravidade.
1. Idéia da captura gravitacional: gravitacional uma órbita levemente hiperbólica
(energia residual positiva) em torno de um corpo (por ex., a Lua) pode
ser transformada em uma órbita levemente elíptica (energia residual
negativa) devido a perturbações de outros corpos celestes
(por ex., a Terra e o Sol, no caso de captura da Lua).
Essa captura em geral, é temporária, mas um impulso pode ser aplicado
para completar uma captura definitiva. A manobra realizada neste
momento representa uma economia de combustível em relação a uma
manobra realizada antes da captura.
2. Conceito de manobras assistidas por gravidade (Swing-By):
(Swing By): manobra
em que a EN se utiliza de uma passagem próxima a um corpo celeste
para ganhar ou perder velocidade.

Linhas gerais do Método Swing-By: Swing By:
Problema pode ser estudado supondo um sistema formado por 3 corpos: corpos
•Um Um primário, primário que domina o sistema (Terra, no sistema Terra-Lua-EN),
•Um Um secundário de massa finita, finita que permanece em torno do primário (Lua)
•Uma Uma partícula de massa desprezível (EN) que permanece em torno do
primário e faz uma passagem próxima ao secundário.
Essa passagem tem o efeito de alterar a velocidade, energia e momento
angular da EN em relação ao primário entre os instantes imediatamente
anterior e posterior a essa passagem próxima (suposta como instantânea).
É possível escolher a geometria e velocidade dessa passagem para
definir a magnitude e o sinal (aumento ou diminuição) dessas variações,
dentro de certos limites, o que abre um largo espectro de possibilidades
para pesquisas. Manobras coplanares e em 3D são possibilidades,
conforme o objetivo da missão.
Esta variação de velocidade (sem propelente) é fornecida pelo campo
gravitacional do secundário.

Assim, Assim,
essa manobra pode ser usada para: para
• Para diminuir o ΔV de uma missão, o que diminui o combustível
necessário, possibilitando o envio de uma carga útil maior.
• Durante uma transferência de retorno a Terra, para diminuir a
velocidade de reentrada na atmosfera da Terra.
• Redução de consumo de combustível em missões que requerem
escape da Terra (viagens interplanetárias ou interestelares). Nesse
Caso EN parte da Terra com energia para entrar em uma órbita
elíptica que cruze com a órbita da Lua em algum ponto. Nesse ponto
ocorre um Swing-By com a Lua, transformando a órbita da EN em
hiperbólica com relação a Terra.
• Obter uma imagem próxima do planeta ou satélite.
Swing-Bys Sucessivos: Vejamos um excelente exemplo:

Programa Voyager NASA-JPL
Grand Tour pelos Planetas Gasosos

Programa Voyager da NASA-JPL (Jet Propulsion Lab)
Grand Tour pelos Planetas Gasosos
Constituído por duas missões: Voyager 1 e Voyager 2.
Lançadas em 1977: Oportunidade de uma nave viajando em direção ao
exterior do Sistema Solar, podendo passar pelos 4 planetas gasosos
gigantes sem ter que alterar sua trajetória (oportunidade que só
ocorreria novamente em 176 anos): Júpiter, Saturno, Urano e Netuno.
10.000 trajetórias foram estudadas para a escolha das 2 trajetórias
que poderiam se aproximar mais de Júpiter e sua lua gigante Io,
Saturno e sua lua grande Titan. Órbita escolhida para Voyager 2
permitiu ainda continuação para Urano e Netuno.
Voyager 2 lançada antes de Voyager 1, mas Voyager 1 foi lançada
numa órbita mais curta e mais rápida.

Voyager 1: Flyby por Júpiter e Saturno
Lançada em Set 5, 1977 (32 anos e 152 dias atrás !!!)
Duração da missão: indefinida (previsão de perder
comunicação com a Terra em 2020).
Mar 5, 1979 Júpiter
Nov 12, 1980 Saturno
Após Titan, anéis de Saturno,..., espaço interestelar.
Ago 05, 2006 100 U.A. a partir do Sol
Ago 28, 2009: 110.94 U.A. a partir do Sol
estudando região da heliopausa.
Júpiter pela Voyager 1
Obs: Missão Galileu,
lançada em 1989, chega a
Júpiter em 1995.
Obs: 1 U.A (unidade
astronômica) = distância
Sol-Terra.

Voyager 2: Flyby por Júpiter, Saturno,Urano, Netuno (!!!)
Lançada em Ago 20, 1977 (16 dias antes da Voyager 1)
Duração da missão: indefinida.
Jul 9, 1979 Júpiter
Ago 25, 1981 Saturno
Jan 24, 1986 Urano
Ago 25, 1989 Netuno, 4º Artefato humano a ultrapassar
órbita de Plutão, iniciando saída do Sist.Solar
Dados extraídos da Página do JPL atualizada em Fev,04, 2010.
http://voyager.jpl.nasa.gov

LimitesPráticosPara UsodasManobrasde Swing-By:
- Planetas e corpos celestes envolvidos não estão sempre nos
lugares certos para que se obtenha o destino final desejado da EN;
- Atmosfera dos Planetas: quanto mais próximo dos Planetas, maior
efeito que se tem com a manobra. Entretanto se aproximação da
atmosfera é grande, perda com atrito pode ser maior que o ganho.

Vamos considerar o P3C, com as partículas P1 , P2 , P3 .
3
Seja o vetor posição de P3 : Q = ( Q1,
Q2,
Q3
) ∈ℜ
Pode-se falar de captura de P3 por uma ou pelas duas partículas.
Definição de Captura Permanente ou Total:
P 3 é permanentemente capturado pelo sistema P 1 ,P 2 em
evolução temporal direta, se para t → ∞, |Q| é limitado e
para t → -∞, |Q| →∞.
P3 é permanentemente capturado pelo sistema P1,P2 em
evolução temporal retrógrada, se para t → -∞, |Q| é limitado e
para t → ∞, |Q| →∞.
Mais genericamente, esta definição pode ser estendida no Problema de
N corpos em 3D.
Para N=3, temos que:
Teorema (Chazy,1918,1922): O conjunto de órbitas que levam a captura
permanente no problema geral de 3C possui medida nula.
(não garante existência desse conjunto!)

A questão de existência da Captura Permanente foi resolvido pela
1a vez por Sitnikov (1960), na versão particular do P3C 3D, agora
chamado Problema de Sitnikov.
Alekseev (1960) provou isto por métodos mais sofisticados. Provou
também que movimento do sistema é caótico (existência de um
Conjunto Invariante Hiperbólico). Prova de Moser (1973) mais clara.
Órbitas Parabólicas são definidas como órbitas críticas de escape,
i.e., tal que:
.
quando t
3
3
→ ±∞,
Q ( t)
= ∞,
e Q ( t)
Assim, as órbitas parabólicas separam o espaço de órbitas em
.
órbitas que escapam para infinito, tal que
limt → ∞ Q3
→ 0.
Representam a fronteira entre órbitas hiperbólicas e órbitas limitadas.
Esta região pode dar origem á órbitas fortemente sensíveis que podem
realizar movimentos complicados.
e órbitas que permanecem limitadas para todo tempo.
( t)
>
0

Def.: Uma órbita parabólica para o problema restrito elíptico satisfaz:
lim Q(
t)
= ∞,
lim Q(
t)
= 0.
t→±∞
t→±∞
O caso para t→∞ define as órbitas ω-parabólicas
e t→-∞ define as órbitas α-parabólicas.
Def.: P 3 é ejetado, ou alternativamente escapa do sistema P 1,P 2
no Prob. Restrito elíptico em evolução temporal direta se
lim
t→∞
Q( t)
= ∞.
Este é referido como escape ilimitado. Se P 3 vai além de uma dada
distância ρ no instante t, |Q(t)|> ρ, então P 3 tem um escape limitado.
Def.: P 3 tem captura temporária em t=t 0, |t 0|< ∞, se
Q( t ) < ∞,
e lim Q(t)
= ∞.
0
t→±∞
.

Captura Definida Analiticamente (Captura Balística)
Distinguindo-se das capturas definidas geometricamente, nesta
definição, monitora-se o sinal da Energia de Kepler de P 3 com
respeito ao primário P 2.
Def.: A energia kepleriana de 2 corpos de P 3 com respeito a P 2
em coordenadas inerciais centradas em P 2, é dada por
E
onde r 23 =|X|, 0≤μ

Conjuntos de Dimensão Inteira:
Pontos fixos,
Órbitas Periódicas,
Órbitas Quasi-Periódicas,
Conjuntos Invariantes associados a OP,…
Conjuntos de Dimensão Fractal:
Atratores Caóticos e Selas Caóticas.
Atratores (Selas) Caótico são conjuntos invariantes atrativos
(não-atrativos) caóticos que contém infinitas órbitas periódicas
instáveis.

Mapa de Poincaré
Seja Σ uma seção de superfície de co-dimensão 1.
Esta hipersuperfície deve ser escolhida de forma que
todas as trajetórias que cruzam Σ satisfaçam duas
condições:
(i) As trajetórias interseptem Σ transversalmente,
(ii) Cruzem Σ na mesma direção.
Fig. Seção de Poincaré gerada pela intersecção de trajetórias com
uma superfície de Poincaré.

Obrigada pela atenção!!

V Escola de Verão de Física do ITA
8 a 10 de fevereiro de 2010
Sistemas Dinâmicos Aplicados a
Missões Espaciais
Prof a Dr a Maisa de Oliveira Terra
ITA - Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Departamento de Matemática
São José dos Campos, SP
maisa@ita.br

Esboçoda2 a Aula:
1. Objetivo e motivação
2. O Problema de N=3 Corpos
─ Caso Restrito Circular Planar
◦ Pontos de Equilíbrio ou Lagrangeanos
◦ Constante de Jacobi e Regiões de Hill
◦ Órbitas Periódicas de Poincaré e Halo
◦ Aplicações dos Pontos Lagrangeanos em Missões
3. Elementos Dinâmicos Relevantes do P3CRCP
◦ Conjuntos Invariantes Associados
◦ Contribuições de Conley – McGehee – Llibre, Martinez e
Simó
Existência de Órbitas Trânsito e de Orbitas Homoclínicas
4. Existência de Conecções Heteroclínicas
5. Aproximação de “Patched-3B”

Objetivo de Hoje: Hoje
Como utilizar a teoria de sistemas dinâmicos aplicada ao
Problema de 3 Corpos Restrito no Projeto de Missões Espaciais
de Baixa Energia.
Uma Motivação Prática: Prática Missão Genesis
Missão: coletar amostras do
vento solar a partir de uma
órbita Halo do ponto L 1 e
retornar a Terra.
Órbita Halo, trajetórias de
transferência e de retorno em
um sistema girante.
Projetada usando Teoria de
Sistemas Dinâmicos (Barden,
Howell, Lo).
Segue a dinâmica natural, usando pouca propulsão após lançamento.
Porção de retorno a Terra utiliza dinâmica heteroclínica.

Formulação Matemática do Problema de N Corpos
O Problema Geral de N Corpos da Mecânica Celeste consiste de um
problema de valor inicial para EDOs.
Dados os valores dos
parâmetros do sistema: massas m k, k=1,…, N e das
condições iniciais: posições q k(0) e velocidades iniciais dq k/dt(0) das N part.
queremos encontrar as 2N funções vetoriais tridimensionais do tempo –
6N variáveis, soluções das equações:
m jmk
( qk
− q j )
m j q& & j = G ∑ , j = 1,...,
N
3
k≠
j q − q
Dadas as 10 Integrais Algébricas Independentes, temos que a
dinâmica efetiva no espaço de fase é de (6N-10) dimensões.
k
j

No Problema Restrito de 3C Circular (PR3CC) temos 2 primários de
massas m 1 e m 2 que movem-se em círculos, em torno de seu centro
de massa; o menor (3 o corpo) move-se na presença do campo
gravitacional dos primários (sem afetá-los, dado que m 3

Normaliza-se a velocidade de angular do sistema girante a unidade
e, também, a distância entre os primários a unidade de modo que
estes se localizem no eixo x em (-μ,0) e (1- μ,0),
onde
m2
μ = , m1
> m2.
m + m
1
Seja (x,y) a posiçao do 3 o corpo no sistema baricêntrico sinódico.
As equações de movimento são dadas por:
2 2
&x
&−
2 y = Ω
x + y 1−
μ μ μ
&
( 1−
μ)
x
Ω = + + + ,
onde
2 r1
r2
2
&y
& + 2x&
= Ω y
2
2 2 2
2 2
r = ( x − μ)
+ y , r = ( x + 1−
μ)
+ y ,
A Integral de movimento J define uma variedade invariante 3D:
1
4
( , C)
= ( x,
y,
x&
, y&
) ∈R
| J ( x,
y,
x&
, y&
) =
2 2
J(
x,
y,
x&
, y&
) = 2Ω( x,
y)
− ( x&
+ y&
) = C.
M μ
2
{ constante}
C é associada à energia do 3 o corpo e é a chamada constante de Jacobi.
(M restringe o movimento no espaço de fase 4D a uma variedade invariante 3D)
2
,

Pontos Lagrangeanos
Este sistema dinâmico possui 5 pontos de equilíbrio, definidos por :
∂J
= Ω
∂x
x
∂J
∂J
∂J
= 0 , = Ω y = 0,
= 0 ⇒ x&
= 0,
= 0 ⇒ y&
= 0.
∂y
∂x&
∂y&
Estes pontos são chamados Lagrangeanos, sendo:
• 3 colineares:
L 1, L 2 e L 3 localizados ao longo
do eixo-x (pontos sela-centro);
• 2 triângulares:
L 4 e L 5 estão nos vértices de
triângulos equiláteros, (estáveis,
se m 1 /m 2 >24,96).
O valor da constante de Jacobi
nestes pontos é denotada por C k,
k=1,2,3,4,5.
Fig.: Sistema Sol-Júpiter-Cometa

A projeção da superfície M no espaço de posições é chamada
Região de Hill (*) , M(μ,C)={(x,y)|Ω(x,y)≥C/2} e constitue a região
acessível às trajetórias para um dado valor de C.
Pois:
( x y)
− ≥ 0
2 2
x & + y&
= 2Ω
, C
Uma Região de Hill
é limitada pela curva
de velocidade zero,
denominada
Curva de Hill.
P/ o Sistema Terra-Lua:
C
C
C
C
1
2
3
4
≈ 3,
20034
≈ 3,
18416
≈ 3,
02415
= C
5
= 3
(*) Devido a George William Hill (1838-1914).
5 Possibilidades de Regiões de Hill
Caso 5: C

Ref.: Chaos and Stability in Planetary Sytems, R.Dvorak, F.Freistetter, J.Kurths (Eds.),
Lecture Notes in Physics 683, Springer, 2005.

L 1 ,L 2 ,L 3 selas
L 4 ,L 5 máximos
globais
Potencial Efetivo do Sistema Terra-Lua
U(
x,
y)
= −Ω
+ μ( 1− μ)
2
Pontos Lagrangeanos
no Sist. Terra-Lua
Possibilidade de uma EN orbitar um dos Pontos
Lagrangeanos
Valores do Parâmetro para o Sistema:
Terra-Lua μ=0,01211506683
Sol-Júpiter μ=0,0009537
Sol-Terra μ=0,000003

Fig.: Valores de C k=-2E k para os
5 pontos Lagrangeanos em função de μ.
Estes valores separam os 5 casos de
Regiões de Hill.

Se m 2

Do Ponto L 1 :
O Ponto L 1 do Sol-Terra é ideal para realizar observações do Sol.
Objetos ali nunca são sombreados pela Terra ou pela Lua.
A SOHO (Solar and Heliospheric Observatory)(Esa-Nasa) foi estacionada
em uma Órbita Halo em L 1, e a
ACE (Advanced Composition Explorer) em uma Órbita Lissajous em L 1.
(Nasa) (óbita quase-periódica)
Outras Missões ali: WIND (Nasa), Genesis (Nasa,finalizada), International
Sun/Earth Explorer 3 (ISEE-3, Nasa, já deixou L1), Deep Space Climate
Observatory (Nasa), Solar-C (Japan Aerospace Exploration Agency,
possível para após 2010).
O L 1 do Terra -Lu a permite fácil acesso a órbitas lunares e terrestres,
com variação mínima de velocidade e seria ideal a uma estação espacial
localizada no meio do percurso, dedicada a auxiliar no transporte de cargas
e pessoas, para a ida e volta da Lua.

Do Ponto L 2 :
O Ponto L 2 do Sol-Terra é um ponto ideal um bom local para
observatórios espaciais, pois um objeto em torno de L 2 manterá
a mesma orientação com relação ao Sol e a Terra, tornando a
calibração e manutenção muito mais simples.
A Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (Nasa) já está em órbita em
torno do L 2 do Sol-Terra . Os futuros Planck satellite (ESA, primavera de
2009), Herschel Space Observatory (ESA, primavera de 2009 c/Planck),
Gaia probe e James Webb Space Telescope (Nasa,ESA,Canadian Space
Agency, Junho de 2013 ou após) serão colocados no L 2 do Sol-Terra .
O L 2 do Terra -Lu a seria uma boa localização para um satélite de
comunicação cobrindo o lado mais distante da Lua.
Do Ponto L 3 :
O L 3 do Sol-Terra é altamente instável, devido às forças gravitacionais
dos demais planetas mais importantes que a Terra (Venus, por ex.,
aproxima-se dentro de 0,3 UA de L3 a cada 20 meses).

Dos Pontos L 4 e L 5 :
•Os L 4 e L 5 do Sol-Jú piter estão ocupados por muitos milhares de
asteróides, os chamados Asteróides Troianos;
•Os L 4 e L 5 do Sol-Terra contêm poeira interplanetária;
•Os L 4 e L 5 do Terra -Lu a contêm poeira interplanetária, chamadas
Nuvens de Kordylewski.
• Netuno tem objetos do Cinturão de Kuiper nos seus pontos L 4 e L 5.
• A Lu a d e Sa tu rn o Teth ys tem 2 satélites muito menores nos seus
pontos L 4 e L 5 chamados Telesto and Calypso, respectivamente.
•As Lu a d e Sa tu rn o D ion e tem Luas muito menores Helene e
Polydeuces nos seus pontos L 4 e L 5, respectivamente.

Estabilização em uma Órbita Halo: Uma possibilidade é usar
controle ótimo para o direcionar traj. à variedade estável de órbita
halo de L 1.

Uma Ilustração sobre Estabilidade de Pontos de Equilíbrio
Em Sistemas Conservativos
O Pêndulo Simples
θ
θ=0
l
m=1

Soluções Locais próximo a Orb.Lyapunov:
λt
−λt
i
x(
t)
= α v e + α v e + 2Re(
βe
Variedades Invariantes locais W u (instáveis) e W s (instáveis)
para uma órbita de Lyapunov.
1
1
2
2
νt
w)

Def.: Órbitas com α 1α 2

A região R é topologicamente equivalente a uma região R NL que está no
gargalo da Região de Hill do Problema Restrito não-linearizado (PRNL).
Seja G o subconjunto de J-1 (C) que se projeta em RNL NL.
Conley provou, analisando a Hamiltoniana linearizada do Prob.Rest. que:
G é topologicamente equivalente ao produto cartesiano de uma esfera
bidimensional e um intervalo aberto: aberto
G homeomórfico a S 2xI xI
Tem-se portanto uma esfera bidimensional correspondendo a l1 e outra
a l2 no PRNL em J-1 (C), que são as chamadas esferas limites S 2
1 e S2
2 .

As variedades invariantes estáveis e instáveis das órbitas de Lyapunov são
as separatrizes entre as órbitas trânsito e as não-trânsito não trânsito. .
Def.: Órbitas com α 1 α 2 >0 são chamadas de órbitas não-trânsito.
Órbitas com α 1 α 2 =0 são chamadas de órbitas assintóticas.
Órbitas com α 1 α 2

Variedades Invariantes como Separatrizes
Órb. Trânsito:
Internas aos tubos
Órb. Não Trânsito:
Externas aos tubos
Órbitas Assintóticas:
formam tubos de
variedades invariantes
2D sobre a superfícies
de energia 3D.
Esses tubos invariantes particionam a variedade de energia e funcionam
como separatrizes do fluxo através da região de equilíbrio:
aquelas dentro dos tubos são orb. trânsito, as de fora são não-trânsito.

Distiguimos 9 classes de órbitas agrupadas em 4 categorias: categorias
1. O ponto ξ=η=0 corresponde a uma órbita periódica em R
(órbita de Lyapunov) (ponto preto do centro).
2. As 4 semi-eixos ηξ=0 (verdes)
(ou equivalentemente |ς| 2 =ρ*, onde ρ*=2ε/ν),
correspondem a 4 cilindros de órbitas assintóticas a essas
órbitas periódicas, ou quando o tempo cresce (ξ=0)
ou quando o tempo decresce (η=0).
3. Os segmentos hiperbólicos dados por ηξ=constante>0
(ou |ς| 2 0, a esfera é n 1, percurso do sul
para o norte. Se ξ

Representação de McGehee. McGehee [1969], a partir do trabalho de
Conley [1968], propôs uma representação que facilita a visualização da
região R. Lembrando que R é homeomórfico a S 2 x I .
McGehee a representou por um anel esférico, como mostra Fig.2.2(b).
Fig.2.2: (a) A seção do fluxo da região R da superfície de energia.
(b) A representação de McGehee do fluxo na região R.
Ref.: Conley [1968], C.C. Conley, SIAM J. Appl. Math. 16, 732-746.
McGehee [1969], R.P. McGehee, “Some homoclinic Orbits for the R3BP”, Ph. D. Thesis,
University of Wisconsin, 1969.

Caso 3:
Para C menor e próximo a C2 a Região de Hill possui um
gargalo próximo a L1 e L2.
Tem-se 4 tipos de órbitas: periódica, periódica,
assintótica,
assintótica,
trânsito e não-trânsito
não trânsito. .
As variedades estáveis e instáveis das órbitas de Lyapunov próximas a
L1 e L2 separam 2 tipos de movimento: órbitas trânsito e não-trânsito
não trânsito.

Por ex., no Sistema Terra-Lua , para uma EN transitar de fora da órbita
da Lua para a região de captura da Lua, é possível somente através do
tubo da variedade estável da órbita periódica de L 2 .
Trajetórias dentro do tubo da variedade
estável transitarão da região externa
da órbita da Lua para a região de captura
da Lua.
Trajetória
que começa
dentro do
tubo.

Os tubos invariantes estáveis e instáveis associados às órbitas
periódicas em torno de L 1 e L 2 são os condutores do espaço de
fase, transportando de material entre os domínios em um único
sistema de 3 corpos, assim como, entre primários de sistemas
de 3C separados.Esses tubos são fundamentais para se entender
transporte tanto no sistema solar quanto em sistemas moleculares.
É notório como técnicas das duas áreas – Mecânica Celeste e
Sistemas Moleculares – podem ser intercambiadas entre si.
Tubos em sistemas moleculares: Noscontextosatômicose
moleculares, tubos de controle, por exemplo, o espalhamento
de elétrons por átomos de Rydberg.

Existência de Órbitas Homoclínicas e de Conecções Heteroclínicas
Como vimos, as estruturas locais próximas a pontos de libração: (i) OP,
(ii) partes de variedades estáveis e instáveis destas OP, (iii) órbitas trânsito
e (iv) não-trânsito.
Importa agora saber como estas estruturas locais são conectadas globalmente.
globalmente
Objetivamos mostrar como órbitas homoclínicas na região interior são
conectadas a órbitas homoclínicas na região exterior por um ciclo heteroclínico
na região de Júpiter, no sistema Sol-Júpiter.
A união destas 3 estruturas é chamada uma cadeia. cadeia
Obs.: Uma Região de Hill do Caso 3 pode ser particionada em domínios.
Por exemplo, para um cometa no Sistema Sol-Júpiter teremos 5 deles:
domínio próximo ao Sol (S)
domínio próximo a Júpiter (J)
domínio externo (X)
domínio próximo L 1 (R 1 )
domínio próximo L 2 (R 2 )
Domínio interior é associada ao
complementar do externo.

Existência de Órbitas Homoclínicas a O.P.:
Conley [1968] e McGehee [1969] provaram a existência de órbitas homoclínicas
tanto para o domínio interior e exterior e
Llibre, Martinez e Simó [LMS,1985] mostraram analiticamente a existência
das órbitas homoclínicas transversais (1,1) no domínio interior sob certas condições
apropriadas.
Def.: Uma órbita homoclínica relacionada a uma OP m é uma órbita que tende
a m quando t→±∞. Portanto, ela está na variedade invariante instável e
estável de m.
Elaéditaumaórbita homoclínica transversal se em algum ponto da órbita os
espaços tangentes às variedades estáveis e instáveis naquele ponto geram
o espaço tangente completo a M(μ,e) naquele mesmo ponto.
Em nosso problema ou uma órbita homoclínica transversal existe ou
“degenerescência total” ocorre.
Degenerescência total é o caso quando toda órbita assintótica à órbita periódica
instável em uma extremidade é também assintótica a mesma OP na outra
extremidade, portanto é uma órbita homoclínica. Ou seja, a situação de
degenerescência total ocorre, quando as variedades estáveis e instáveis da órbita
de Lyapunov coincidem-se.
Em qualquer um dos casos conclui-se pela existência de uma órbita homoclínica.

Fig.: Uma seção de Poincaré no domínio exterior do Sistema
de 3C Sol-Júpiter-EN.

O prefixo (1,1) refere-se a 1 a intersecção com a seção de Poincaré - definida
pelo plano y=0, x

O prefixo (1,1) refere-se a 1 a intersecção com a seção de Poincaré - definida
pelo plano y=0, x

Ref.: Koon, Lo, Marsden e Ross [2000], Chaos 10, 427.
Existência de Conecções Heteroclínicas
• Encontraram conecções heteroclínicas entre pares de O.P.
Construção de uma conecção heteroclínica entre órbitas de Lyapunov de L 1 e L 2 , buscando uma
intersecção de suas respectivas variedades Invariantes na região J.
• Encontraram uma grande classe de órbitas próximas a esta cadeia homo/heteroclínicas.
• Cometas podem seguir estes canais em rápida transição.

Existência de Órbitas de Transição
• Sequência simbólica usada para rotular itinerário de cada órbita de cometa.
• Teorema Principal: Para cada itinerário admissível, por ex., (…,X,J,S,J,X,…)
existe uma órbita cujo caminho corresponde a este itinerário.
•Pode-se ainda especificar o número de revoluções que o cometa realiza em
torno do Sol & Júpiter (além L 1 & L 2 ).

Construção Numérica de Órbitas
• Procedimento realizado para construir órbita com itinerário prescrito.
• Exemplo: Uma órbita com itinerário (X,J,S,J,X).

Surfando no Sistema Solar:
Variedades Invariantes e a Dinâmica do Sistema Solar.
Com os elementos dinâmicos apresentados é assim possível
desenvolver técnicas e projetar Missões espacias interplanetárias,
dentre outras.
Report do JPL de 1997 de Lo e Ross.

V Escola de Verão de Física do ITA
8 a 10 de fevereiro de 2010
Sistemas Dinâmicos Aplicados a
Missões Espaciais
Prof a Dr a Maisa de Oliveira Terra
ITA - Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Departamento de Matemática
São José dos Campos, SP
maisa@ita.br

Esboçoda3 a Aula:
1. Transferências Terra-Lua
Sistemas de 3 Corpos Acoplados
Aproximação de “Patched-3B”
Refinamentos Finais do Projeto de Transferências TL.
2. Missão Discovery Gênesis
3. Observações de Sistemas Naturais que envolvem
P3CRCP
4. Petit Grand Tour das Luas de Júpiter
Caso Planar
Extensão Espacial

Transferências Terra--Lua Terra Lua
• Abordagem tradicional para construir uma trajetória de Transferência
para a Lua a partir da Terra é através da Transferência
de Hohmann.
Usa apenas dinâmica de 2C. Determina-se uma
elipse kepleriana de 2C partindo de uma órbita
em torno da Terra para uma órbita da Lua.
Esse tipo de Transf. requer um grande ΔV para
EN ser capturada pela Lua.
Os dois corpos envolvidos são Terra-EN.
• Em 1991, a missão japonesa Muses-A falha, não tendo propente
suficiente para uma transferência para a Lua por método usual, é
recuperada através de um método inovador,baseado no trabalho de
Belbruno & Miller [1993]. A missão passa a ser chamada por Hiten.

Essa transf. usa uma TBE com assistência gravitacional do Sol e
captura balística na Lua. Essa transf. requer menos combustível
do que a transf. Hohmann.
Trajetória de TBE no sistema
referencial geocêntrico
Mesma trajetória no sistema
referencial Sol-Terra

Aplicação das técnicas de Sistemas Sinâmicos para produzir: produzir
1. Petit Grand Tour das luas de Júpiter [Koon,2000].
2. Reproduzir o tipo da Missão Hiten: Hiten transferência de baixa
Energia (TBE) com uma captura balística na Lua baseado no
trabalho de Belbruno e Miller [2] sobre a Teoria de Fronteira de
Estabilidade Fraca (WSB).
Os 3 elementos chaves para produzir essa Transferência a Lua são:
1. Tratar o Problema de 4 C Sol-Terra-Lua-EN como 2 P3CRC
acoplados: Sistemas Sol-Terra e Terra-Lua (& EN, óbvio);
2. Usar as variedades invariantes instáveis de OP em torno dos
pontos Lagrangeanos do Sol-Terra Sol Terra para fornecer TBE da
Terra às variedades estáveis de OP em torno de pontos
Lagrangeanos do Terra-Lua Terra Lua;
3. Usar variedades estáveis de OP em torno de pontos
Lagrangeanos do Terra-Lua para produzir capturas balísticas
em torno da Lua.
[2] E. Belbruno, J. miller, Sun-Perturbed Earth-to Moon Transfers with Ballistic Capture, Journal of
Guidance, Control and Dynamics 16 (1993) 770-775.

Sistemas de 3 Corpos Acoplados
O estudo de transferências como da EN Hiten requer 4C:
Sol, Terra, Lua e EN.
Contudo, o P4C é muito mais complexo e menos compreendido que
o P3C. Decompondo o P4C em 2 P3C, todo o aparato da teoria de
variedades invariantes torna-se disponível.
Usualmente o Sistema Solar é visto como um todo, mas quando se
deseja usar as Órbitas Halo, a decomposição do sistema solar como
P3C é natural. Isto é que foi feito para projetar a Petit Grand Tour
de Koon et al.
Contudo o sucesso dessa abordagem depende grandemente dos
particulares 4C. A fim de que TBE sejam possíveis é necessário que
as estruturas de variedades invariantes dos 2 sistemas de 3C se
interceptem dentro de um período razoável, caso contrário a transf.
pode requerer um tempo de duração impraticavelmente longo.
Para o caso Sol-Terra-Lua-EN, este não é um problema.

As estruturas das variedades invariantes do L 2 do Terra-Lua
crescem muito rapidamente (da ordem de 1 mês) para a região
circular em torno da Terra com um raio de 1.000.000 km.
Similarmente as estruturas invariantes do L 1 e L 2 do Sol-Terra
também se estendem com a mesma ordem de tempo à mesma
região circular.
A so b repo siçã o d esta s estru tu ra s fo rn ece a TBE en tre
Terra e Lu a .
Isto explica porque muitas das técnicas baseadas na Teoria WSB
sempre envolvem esta região de 1.000.000 km em torno da Terra
como ponto de partida para a construção da trajetória.

Argumentos favoráveis a 2 Modelos de 3C acoplados: acoplados
Fora da SOI da Lua (60.000 km):
• pode-se desprezar a perturbação da Lua no Sistema de 3C
Sol-Terra-EN.
Entrando-se na SOI da Terra (900.000 km):
• realiza-se ΔV de meio do curso,
• pode-se desprezar a perturbação do Sol no Sistema de 3C
Terra-Lua-EN,
• pode-se usar a estrutura das variedades so Terra-Lua para captura.
No sistema Solar real: excentricidade da Lua é 0,055,
excentricidade da Terra é 0,017 e
a órbita da Lua é inclinada com relação a órbita da Terra por 5 0 .
(Justifica uso de modelo coplanar circular)

Aproximação de “Patched-3B”
Projetando Transferência Terra-Lua Terra Lua com Assistência do Sol
A partir da secão de Poincaré definida pelo segmento vertical que passa pela Terra:
• Integra-se diretamente, EN guiada pela variedade estável do L 2 do Sistema
Terra-Lua de modo a ser capturada pela Lua;
• Integrando retrogradamente, EN restrita pela variedade estável do L 2 do Sistema
Sol-Terra, realiza uma volta e retorna.

Porção da Captura Balística Lunar
Tubo da variedade estável da OP em torno de L 2 fornece mecanismo de
captura temporária pelo 2 o primário.
Definição de Captura Balística pela Lua: uma órbita que sob dinâmica natural entra na
SOI da Lua (20.000 km) e realiza ao menos uma volta em torno da Lua.
Nesse estado, pequeno ΔV resultará em captura estável (fechando gargalo em L 1 ou L 2 ).

Porção do Ponto de Libração do Sol-Terra Sol Terra
Escolhe-se CI no exterior do corte de Poincaré do tubo invariante instável de
L2 do Sol-Terra, integrando-se retrogradamente para produzir a trajetória:
Essa trajetória retrógrada passa pela região de L 2 com um twist
twist, restrita pela
variedade instável e chega à Terra, restrita pela variedade estável de L 2 .

Conectando as 2 porções: obtemos a solução do P4C
Sol-Terra-Lua-EN como 2 sistemas de 3C acoplados

Refinamentos Finais do Projeto de Transf. Transf.
Terra-Lua Terra Lua:
i. A trajetória final, começando na Terra e terminando em captura
Lunar é integrada no Problema 4C Bicircular, onde ambos Lua e
Terra são supostos mover em órbitas circulares na eclíptica,e EN
é uma massa que não afeta a dinâmica dos demais corpos.
Fig.: Sistema de ref. girante do
Modelo Bicircular, onde Terra e
Lua são fixas no eixo-x e Sol
gira em sentido horário em torno
do baricentro do Terra-Lua (origem)
com freq. angular ω s .
ii. A solução final do Bicircular é diferencialmente corrigida para
que se obtenha uma trajetória integrada completamente usando-se
as efemérides do JPL (Jet Propulsion Lab).
Disponível em: http://ssd.jpl.nasa.gov/eph_info.html

Com pequenas modificações (um ΔV de 34 m/s no ponto de colagem)
produz-se uma solução no problema de 4 corpos bicircular ,
Dado que captura na Lua ocorra de modo natural (ΔV nulo)
quantidade necessária de combustível é reduzida (em torno de 20%).

Missão Discovery Genesis
Objetivo: coletar dados sobre o vento solar a partir de uma órbita
Halo de L 1 por 2 anos. Retorno de amostras à Terra em 2003
para análise.
Órbita Halo, de transferência e de retorno no referencial girante.
EN retorna a Terra por uma conecção heteroclínica.

Observações de Sistemas Naturais que envolvem P3CRCP
(a) Projeções no espaço de configuração das variedades estável (curva
tracejada) e instável (curva curva sólida) sólida de L1 e L2 no referencial girante de
Sol-Júpiter. As variedades de L1 são as verdes, enquanto que as
variedades de L 2 são pretas.
(b) A órbita do cometa Oterma (AD 1915-1980) no referencial girante com
baricentro de Sol-Júpiter (vermelho) segue proximamente as variedades
invariantes de L 1 e L 2 . Distâncias estão em unidades astronômicas (AU).

Petit Grand Tour das Luas de Júpiter (Modelo Modelo Planar)
4 Luas de Júpiter,
chamadas Luas de Galileu:
Contrução de uma trajetória de baixa energia que visite várias luas de Júpiter
em uma única missão.
Em lugar de flybys, pode-se orbitar cada lua por qualquer duração.
Io,
Europa,
Ganimedes,
Calisto.

Petit Grand Tour das Luas de Júpiter (Modelo Modelo Planar)
• Sistema de 4C Júpiter-Ganimede-Europa-SC pode ser aproximado por
2 Sistemas acoplados de 3C. 3C
• Tubos de variedades invariantes de 2 sistemas de 3C são conectados
na ordem correta para construir órbita com itinerário desejado.
• Solução inicial refinada pelo modelo de 4C.
• Soluções de 3 corpos oferecem uma grande
classe de TBE.
Variedade instável da OP de L1
de Ganimede
Variedade estável da OP de L2
de Europa

Petit Grand Tour das Luas de Júpiter (Modelo Modelo Planar)
Usou variedades invariantes para construir trajetórias com
características interessantes:
• 1 volta em torno de Ganimede, 4 órbitas em torno de Europa.
•um ΔV leva EN do sistema Júpiter-Ganimede para o
Sistema Júpiter-Europa.
Em lugar de flybys, EN pode orbitar várias luas por qualquer duração.

Detalhes Técnicos: Ilustrando uma Conecção Heteroclínica
Encontra-se uma intersecção das variedades estável/instável,
através de uma escolha apropriada da seção de Poincaré.
Pontos de intersecção devem ser integrados para produzir
Conecções Heteroclínicas.

Construção de uma órbita (X,J,S) do Sistema Sol-Júpiter:
Qualquer ponto na intersecção de Δ J é uma órbita (X,J,S).

Construção de uma órbita (J, X; J, S, J)

Extensão do Modelo Planar ao Modelo Espacial

Espacial: Espacial:
Variedades Invariantes como Separatrizes
Dinâmica próxima aos pontos de equilíbrio colineares:
Sela x Centro x Centro
•Órbitas limitadas (periódicas ou quasi-periódicas): S 3 (3-esfera);
(Normally Hyperbolic Invariant Manifolds - NHIM)
• Órbitas assintóticas a NHIM formam tubos de variedades
invariantes 4D (S 3 x R) em uma superfície de energia 5D.
Eles separam órbitas trânsito (as de dentro dos tubos) de
não-trânsito (de fora dos tubos).
• Órbitas trânsito e não-trânsito