Funo crescente e funo decrescente - Prof Marcelo Renato

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática
Cálculo I - 2006/1
APROXIMAÇÃO LINEAR LOCAL E DIFERENCIAIS
Uma curva fica muito perto de sua reta tangente nas proximidades do ponto de tangência.
Podemos usar a reta tangente em (x0, f(x0)) como aproximação para a curva y = f(x) quando x está
próximo de x0.
Uma equação dessa reta tangente é
y = f (x0) + f´(x0).( x-x0 )
A aproximação f(x) ≈ f(x0) + f´(x0). (x-x0) é chamada de aproximação linear local de f em x0 ou
aproximação de f pela reta tangente em x0.
A função linear cujo gráfico é essa reta tangente, isto é, L(x) = f(x0) + f´(x0).( x-x0) é chamada
linearização de f em x0.
Exemplo: Encontre a linearização da função ( x)
= x + 3
números 3 , 98 e 4 , 05
DIFERENCIAIS
f em x0 = 1 e use-a para aproximar os
A idéia por trás da aproximação linear é algumas vezes formulada com a terminologia e notação
de diferenciais. Se y = f(x), onde f é uma função diferenciável, então a diferencial dx é uma
variável independente, isto é, pode ser dado um valor real qualquer a dx . A diferencial dy é então
definida em termos de dx pela equação dy = f´(x) dx.
Assim dy é uma variável dependente, ela depende dos valores de x e dx.
O significado geométrico de diferencial está na figura.
y
f ( x + ∆x)
f (x)
P
R
Q
S
x x + ∆x
∆y
Seja P ( x , f ( x))
) e Q ( x + ∆x,
f ( x + ∆x)
) pontos sobre o gráfico de f e façamos dx = ∆x
A variação correspondente em y é ∆ y = f ( x + ∆x)
− f ( x).
A inclinação da reta tangente PR é
f´(x). Assim a distância direta de S a R é f´(x) dx = dy.
Conseqüentemente , dy representa a distância que a reta tangente sobe ou desce ( a variação na
linearização) enquanto ∆ y representa a distância que a curva y= f(x) sobe ou desce quando x
varia de uma quantidade ∆ x .
1
dy
x

Exercícios
3 2
1) Compare os valores de ∆y
e dy se y = f(x) = x + x –2x –1 e x variar
a) de 2 para 2,05
b) de 2 para 2,01
2) O raio de uma esfera tem 21cm, com um erro de medida possível de no máximo 0,05. Qual é o
erro máximo cometido ao usar esse valor de raio para computar o volume da esfera? Determine
também o erro relativo.
3) Encontre a linearização da função f(x) = ln (x) em a=1
4) Encontre a aproximação linear da função
3
f ( x)
= 1+
x em a=0 e use-a para aproximar os
números 3 0 , 95 e 3 1 , 1 . Ilustre fazendo os gráficos de f e a reta tangente.
5) Verifique a aproximação linear dada em a=0.
a) e x ≈ 1+x
b) 1/ ( 1+2x) 4 ≈ 1-8x
6) A circunferência de uma esfera mede 84cm, com um erro possível de 0,5 cm.
a) use diferenciais para estimar o erro máximo na área superficial calculada. Qual o erro relativo?
b) use diferenciais para estimar o erro máximo no volume calculado. Qual o erro relativo?
Resolva mais exercícios no ANTON, V1, p.217
PLANO TANGENTE E DIFERENCIAL TOTAL DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
O plano tangente a uma superfície em um ponto P0, é o plano que contém as retas tangentes a
todas as curvas sobre a superfície que passam por P0. Prova-se que se P0 (x0, y0, z0) é um ponto
qualquer sobre a superfície z = f (x,y) e se f (x,y) for diferenciável em (x0,y0 ), então a superfície
tem um plano tangente em P0 e esse plano tem equação
fx ( x0,y0) ( x-x0) + fy ( x0,y0) (y-y0) – ( z-z0) =0
Exemplo: Determine o plano tangente ao parabolóide elíptico z = 2x 2 + y 2 no ponto (1,1,3).
APROXIMAÇÃO LINEAR LOCAL
A função linear cujo gráfico é o plano tangente, ou seja
L(x, y) = f( x0,y0) + fx ( x0,y0) ( x-x0) + fy ( x0,y0) (y-y0) é chamada linearização de f em (x0,y0).
A aproximação da função f pela função linear L
f(x,y) ≈ f( x0,y0)
+ fx ( x0,y0) ( x-x0) + fy ( x0,y0) (y-y0) é chamada de aproximação linear local da f
ou aproximação de f pelo plano tangente em (x0,y0 , f ( x0,y0))
Geometricamente esta aproximação nos diz que a variação de z ao longo da superfície e a
variação de z ao longo do plano tangente são aproximadamente iguais quando ∆x
e ∆y são
pequenos.
2

DIFERENCIAIS
Analogamente ao que foi visto para função de uma variável, se z = f(x, y) é uma função de duas
variáveis , definiremos os diferenciais dx e dy como variáveis independentes ; ou seja podem ter
qualquer valor. Então o diferencial dz, também chamado de diferencial total, é definido por dz =
fx (x,y) dx + fy (x,y) dy .
Assim dz é a variação de z, ao longo do plano tangente à superfície de equação z = f( x,y) em (
x0,y0,z0), produzida pelas variações dx e dy em x e y respectivamente.
Já ∆z representa a variação de z ao longo da superfície, produzida pelas variações de ∆ x e ∆ y
em x e y, isto é, ∆ z = f ( x + ∆x,
y + ∆y)
− f ( x,
y)
Exercícios
7) Determine a aproximação local de
f ( x,
y)
+ y
2 2
= x em um ponto (x0, y0).
Use a aproximação linear que você encontrou para aproximar f (3,04; 3,98).
8) Seja z = 4.x 3. y 2. Determine dz
9) O raio de um cilindro circular reto é medido com um erro, no máximo de 2%, e a altura é
medida com um erro de no máximo 4%. Aproxime o erro percentual máximo no volume V
calculado por essas medidas.
10) Confirme que a fórmula enunciada é a aproximação linear local em (0,0).
a) e x sen(y ) ≈ y
2x
+ 1
b) ≈ 1 + 2x –y
y + 1
11) Suponha que T (x, y) é a temperatura em Fahrenheit em um ponto (x,y) sobre uma placa de
metal.
Dado que T ( 1, 3) = 93 º F, Tx ( 1,3) = 2 º F/cm e Ty ( 1,3) = –1 º F/cm, use uma aproximação linear
local para estimar a temperatura no ponto T ( 0,98; 3,02).
12) Utilize diferencial para estimar a quantidade de metal em uma lata cilíndrica fechada de 10cm
de altura e 4cm de diâmetro se o metal das tampas de cima e de baixo têm 0,1 cm de espessura e
o das laterais tem espessura de 0,05cm.
Leia a secção 3.6 e resolva mais exercícios no ANTON, V1 , p. 210
Leia a secção 6.5 e resolva mais exercícios no ANTON, V2 , p. 352.
Respostas
1) a) ∆y = 0,
717625 dy = 0,
7
b) ∆y = 0,
140701 dy = 0,
14
2)
3)
3
dV = 88, 2π
cm
dV
erel = ≈ 0,
7%
V
f ( x)
≈ x −1
3

3 3
4) 0,
95 ≈ 0,
9834 1,
1 ≈ 1,
033
84 2
6) a) dA = cm
π
dA
erel
= ≈ 1,
19%
A
3
b) dV = 176,
4cm
erel
= 1,
7%
2 2 x0
y0
7) L( x,
y)
= x0
+ y0
+ ( x − x0
) + ( y − y0
)
2 2
2 2
x + y
x + y
8)
f ( 3,
04;
3,
98)
≈
5,
008
2 2
3
dz = 12 x y dx + 8x
y dy
dV
9) = 8%
V
11)
12)
T ( 0,
98;
3,
02)
≈
1, 8πcm
2
92,
94
0
0
0
4
0