Espaço Vectorial com Produto Interno

Espaço Vectorial com Produto Interno
1 Espaço Euclidiano
Definição 1.1 Seja V um espaço vectorial real. O produto interno real em V é uma aplicação
real de V × V , denote-se por < , >, que satisfaz as seguintes condições.
1. < x, y >=< y, x >;
2. < x + y, z >=< x, z > + < y, z >;
3. < αx, y >= α < x, y >;
4. < x, x >≥ 0, ∀x ∈ V , e < x, x >= 0 se e só se x = 0.
Definição 1.2 Seja V um espaço vectorial real, de dimensão finita, munido de um produto interno.
Então, V diz-se um espaço Euclidiano.
Exemplo 1.3 Seja C[a, b] um espaço vectorial das todas funções reais continuas no intervalo
[a, b]. Definimos produto interno por
b
< f, g >= f(t)g(t)dt.
a
Então C[a, b] é um espaço Euclidiano. Porque, para quaisquer funções f e g, f(t)g(t) é integrável
e também satisfaz
b
b
1. < f, g >= f(t)g(t)dt = g(t)f(t)dt =< g, f >;
a
b
b
2. < f + g, h >= (f(t) + g(t))h(t)dt =
a
a
b
b
3. < αf, g >= (αf(t))g(t)dt = α f(t)g(t)dt = α < f, g >;
a
a
a
b
f(t)h(t)dt + g(t)h(t)dt =< f, h > + < g, h >;
a
b
4. < f, f >= f(t) 2 b
dt ≥ 0 e se e só se f(t) = 0, < f, f >= f(t) 2 dt = 0.
a
Exemplo 1.4 Seja V = IR n um espaço vectorial. A aplicação IR n × IR n → IR definida por
n
< x, y >= xiyi, x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn) ∈ IR
i=1
n
é um produto interno. (ao qual se chama produto interno usual em IR n ). Assim V = IR n é um
espaço Euclidiano.
Observação 1.5 A condição 1 da definição 1 diz que produto interno é simétrico, por isso,
relativamente as condições 2 e 3, temos
< x, y + z >=< x, y > + < x, z >
< x, αy >= α < x, y > .
A condição 4 diz que para qualquer vector x ∈ V , √ < x, x > faz sentido.
1
a

Definição 1.6 Chama-se √ < x, x > à norma do vector x ∈ V , denota-se por ||x||. Se ||x|| = 1,
diz-se que x é vector unitário.
Propriedade 1.7 ||αx|| = |α|||x||.
Demonstração: ||αx|| = √ < αx, αx > = α 2 < x, x > = |α|||x||. ✷
Então ∀x ∈ V, x = 0, temos
|| x 1 1
|| = || x|| = ||x|| = 1.
||x|| ||x|| ||x||
i.e., x
é um vector unitário. O processo de dividir um vector pela sua norma chama-se normal-
||x||
ização de vector.
Teorema 1.8 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Seja V espaço Euclidiano e x, y ∈ V .
Então
| < x, y > | ≤ ||x|| · ||y||.
Demonstração: ∀α ∈ IR, tem-se
i.e.,
< αx + y, αx + y > ≥ 0
α 2 < x, x > +2α < x, y > + < y, y > ≥ 0
Considere o lado esquerdo é uma função quadrática em ordem de α, como o sinal dele é sempre
≥ 0, então o discriminante ∆ ≤ 0, i.e.,
ou
isto é
4 < x, y > 2 −4 < x, x >< y, y > ≤ 0
< x, y > 2 ≤< x, x >< y, y >,
| < x, y > | ≤ ||x||||y||.
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, tem-se
| < x, y > |
||x||||y||
≤ 1.
Definição 1.9 Seja x, y ∈ V, x, y = 0, definimos o ângulo formado por x e y por
θ = arc cos
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, tem-se
Teorema 1.10 (Desigualdade triangular)
< x, y >
, 0 ≤ θ ≤ π.
||x||||y||
||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
2
✷

Demonstração: ||x + y|| 2 =< x + y, x + y >=< x, x > +2 < x, y > + < y, y >≤ ||x|| 2 + 2||x|| ·
||y|| + ||y|| 2 = (||x|| + ||y||) 2 .
Logo
||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
Também podemos provar que,
2 Ortogonalidade de vectores
||x − y|| ≥ ||x|| − ||y||.
||x − y|| + ||y − z|| ≤ ||x − z||.
Definição 2.1 Seja V espaço Euclidiano e x, y ∈ V . Diz-se que dois vectores x, y são ortogonais,
e escreve-se x⊥y, se < x, y >= 0.
Observação 2.2 1. x⊥y ⇔ y⊥x.
2. Dois vectores são ortogonais se o ângulo entre eles for π
2 .
3. O vector nulo é ortogonal a qualquer vector de V .
4. Um sistema com um vector é um sistema ortogonal.
Teorema 2.3 (Teorema de Pitágoras) Seja V um espaço Euclidiano. Dados dois quaisquer
vectores ortogonais x, y de V , tem-se que
||x + y|| 2 = ||x|| 2 + ||y|| 2 .
Demonstração: x, y são ortogonais, então < x, y >=< y, x >= 0.
||x + y|| 2 =< x + y, x + y >=< x, x > +2 < x, y > + < y, y >= ||x|| 2 + ||y|| 2 .
Teorema 2.4 Seja V um espaço Euclidiano. Então, um sistema ortogonal de vectores não nulos
é um sistema linearmente independente.
Demonstração: Seja {v1, v2, ..., vr} um sistema de vectores não nulos tais que, para todos i, j ∈
{1, 2, ..., r},
< vi, vj >= 0 se i = j.
Sejam α1, α2, ..., αr ∈ IR tais que
Então, para cada i ∈ {1, 2, ..., r},
i.e.,
Como < vi, vj >= 0 se i = j, então temos,
α1v1 + α2v2 + ... + αrvr = 0.
< vi, α1v1 + α2v2 + ... + αrvr >= 0.
α1 < vi, v1 > +α2 < vi, v2 > +... + αr < vi, vr >= 0.
αi < vi, vi >= 0, i = 1, 2, ..., r,
mas vi é não nulo, < vi, vi >≥ 0, então αi = 0, i = 1, 2, ..., r. Logo {v1, v2, ..., vr} são linearmente
independentes.
✷
3
✷
✷

Definição 2.5 Seja V um espaço Euclidiano e {v1, v2, ..., vn} uma base de V . Então diz-se que
{v1, v2, ..., vn} é uma base ortogonal se o sistema {v1, v2, ..., vn} é um sistema ortogonal. Uma base
de V diz-se ortonormada se é ortogonal e se todos os vectores que a constituem são unitários.
Observação 2.6 Uma base {v1, v2, ..., vn} de V é ortonormada se e só se
1 se i = j
< vi, vj >= δij =
, ∀i, j ∈ {1, 2, ..., n}.
0 se i = 0.
Teorema 2.7 Num espaço Euclidiano existe uma base ortonormada. (O processo Gram-
Schmidt)
Demonstração: Seja V espaço Euclidiano e {v1, v2, ..., vn} uma base de V . Podemos obter uma
base ortonormada pelo seguinte processo.
1. Seja w1 = v1 e u1 = w1
||w1|| . Então u1 é um vector unitário.
2. Seja w2 = α21u1 + v2, onde α é indeterminado, como u1 e v2 são linearmente independentes,
então w2 = 0, para que w2 e u1 serem ortogonais, temos
i.e.,
0 =< u1, w2 >= α21+ < u1, v2 >
α21 = − < u1, v2 > .
Seja u2 = w2
||w2|| . Então u2 é unitário e ortogonal com u1.
3. Continuando o processo, suponhamos que já temos u1, u2, ..., um−1 que são unitários e ortogonais
dois a dois. Agora queremos um.
Seja wm = αm1u1+αm2u2+...+αm,m−1um−1+vm. Tem-se que wm = 0, senão, u1, u2, ..., um−1, vm
são linearmente dependentes.
Para que wm ser ortogonal a u1, u2, ..., um−1, tem-se
⎧
0 =< u1, wm >
⎪⎨
0 =< u2, wm >
= αm1+ < u1, vm >
= αm2+ < u2, vm >
................
⎪⎩
0 =< um−1, wm > = αm,m−1+ < um−1, vm >
i.e., αm1 = − < u1, vm >, αm2 = − < u2, vm >, ... , αm,m−1 = − < um−1, vm > . Fazendo
um = wm
||wm|| , tem-se que um é unitário e ortogonal a u1, u2, ..., um−1.
Pelo método de indução, podemos obter o conjunto dos vectores que são unitários e ortogonais
dois a dois. Assim podemos obter uma base ortonormada.
✷
Exemplo 2.8 Considere um subespaço V de IR 4 com base v1 =
⎛
⎜
v3 = ⎜
⎝
3
3
3
0
⎞
⎛
⎜
⎝
2
1
0
2
⎞
⎟
⎠ , v2 =
⎟
⎠ . O produto interno é o usual em IR4 . Vamos usar o processo Gram-Schmidt para nor-
4
⎛
⎜
⎝
0
1
1
4
⎞
⎟
⎠ ,

malizar os vectores. Como ||v1|| = 3, obtermos u1 = 1
3
obtemos w2 = α21u1 + v2 = −3 · 1
3
⎛
⎜
⎝
Finalmente, w3 = α31u1 + α32u2 + v3 = −3 · 1
3
u3 = w3 1
=
||w3|| 3 √ 17
⎛
⎜
⎝
1
2
10
−4
⎞
2
1
0
2
⎛ ⎞
2
⎜ 1
⎟
⎜ ⎟
⎝ 0 ⎠
2
. Como α21 = − < u1, v2 >= −3,
⎞
⎟
⎠ +
⎛ ⎞
0
⎜ 1
⎟
⎜ ⎟
⎝ 1 ⎠
4
=
⎛ ⎞
−2
⎜ 0
⎟
⎜ ⎟
⎝ 1 ⎠
2
, logo u2 = w2
⎛ ⎞
−2
1 ⎜ 0
⎟
= ⎜ ⎟
||w2|| 3 ⎝ 1 ⎠
2
.
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2
−2
⎜ 1
⎟ 1 ⎜ 0
⎟
⎜ ⎟ + 1 · ⎜ ⎟
⎝ 0 ⎠ 3 ⎝ 1 ⎠
2
2
+
⎛ ⎞ ⎛
3
⎜ 3
⎟ 1 ⎜
⎜ ⎟ = ⎜
⎝ 3 ⎠ 3 ⎝
⎞
1
2
⎟
10 ⎠
0 −4
e
⎟
⎠ . {u1, u2, u3} é uma base ortonormada.
Exemplo 2.9 Considere o espaço vectorial P2[x], formado pelos polinómios reais de grau não
superior 2 munido o produto interno (f, g) = 1
0 f(x)g(x)dx. A base canónica de P2[x] {1, x, x 2 }
não é ortogonal sobre o produto interno. Podemos usar o processo de Gram-Schmidt para obter
uma base ortonormada. Seja w1 = 1, é fácil ver < 1, 1 >= 1 e < x, 1 >= 1/2. Consequentemente,
w2 = α1u1 + v2 = −1/2 · 1 + x = x − 1/2. ||w2|| 2 1
=< w2, w2 >= (x − 1/2) 2 dx = 1/12, então
0
u2 = w2
||w2|| = √ 12(x − 1/2). Como α31 = −(x2 , 1) = −1/3, α32 = −(x2 , √ 12(x − 1/2)) =
1 √ √
2
12(x−1/2)x dx = − 12/12, então w3 = −1/3·1− √ 12/12· √ 12(x−1/2)+x2 = x2−x+1/6. 0
< w3, w3 >= 1/180, então u3 = √ 180(x 2 − x + 1/6).
Proposição 2.10 Sejam V um espaço euclidiano e B = {v1, v2, ..., vn} uma base ortonormada
de V . Então, para qualquer vector v ∈ V , tem-se que
v =< v, v1 > v1+ < v, v2 > v2 + ...+ < v, vn > vn.
Demonstração: Seja v ∈ V = sp{v1, v2, ..., vn}. Então, existem α1, α2, ..., αn ∈ IR tais que
Assim para cada i ∈ {1, 2, ..., n},
o resultado segue de imediato.
v = α1v1 + α2v2 + ... + αnvn.
< v, vi > = (α1v1 + α2v2 + ... + αnvn, vi)
= α1 < v1, vi > +α2 < v2, vi > +... + αn < vn, vi >
= αi.
Proposição 2.11 Sejam V um espaço euclidiano e B = {v1, v2, ..., vn} uma base ortonormada
de V . Se
v = α1v1 + α2v2 + ... + αnvn e w = β1v1 + β2v2 + ... + βnvn,
então
< v, w >= α1β1 + α2β2 + ... + αnβn.
5
✷

Demonstração: Sejam
Então
v = α1v1 + α2v2 + ... + αnvn e w = β1v1 + β2v2 + ... + βnvn.
< v, vi > = (α1v1 + α2v2 + ... + αnvn, β1v1 + β2v2 + ... + βnvn)
n
= αiβj < vi, vj >
=
i,j=1
n
i=1
αiβi < vi, vi >
= α1β1 + α2β2 + ... + αnβn.
3 Ortogonalidade de subespaços
Proposição 3.1 Sejam V um espaço Euclidiano e W um subespaço de V . Então,
é um subespaço de V .
U = {v ∈ V :< v, w >= 0, ∀w ∈ W }
Demonstração: Como < 0, v >= 0, para todo v ∈ V , temos, em particular,
< 0, w >= 0, ∀w ∈ W.
Assim, 0 ∈ U pelo que U é um subconjunto de V não vazio. Sejam x, y ∈ U e α ∈ IR. Então,
Logo, para todo w ∈ W ,
e
Assim, U é subespaço vectorial de V .
< x, w >= 0, < y, w >= 0.
< x + y, w >=< x, w > + < y, w >= 0 + 0 = 0
< αx, w >= α < x, w >= α · 0 = 0.
Definição 3.2 Sejam V um espaço Euclidiano e W um subespaço de V . Então,
U = {v ∈ V :< v, w >= 0, ∀w ∈ W }
definido na proposição anterior diz-se o complemento ortogonal de W e representa-se por W ⊥ .
Proposição 3.3 Sejam V um espaço Euclidiano e W um subespaço de V . Então, se {v1, v2, ..., vp}
é uma base de W ,
W ⊥ = {v ∈ V : < v, vi >= 0 i = 1, 2, ..., p}.
6
✷

Demonstração: Queremos provar que v ∈ V é ortogonal a qualquer vector de W se e só se é
ortogonal a cada um dos vectores de uma sua base, {v1, v2, ..., vp}.
Se v ∈ V é ortogonal a qualquer vector de W , então em particular, é ortogonal a qualquer
vector v1, v2, ..., vp ∈ W .
Reciprocamente, seja v ∈ V tal que
< v, vi >= 0, para todo i ∈ {1, 2, ..., p}.
Sabendo que, para todo w ∈ W , temos que existem α1, α2, ..., αp ∈ IR tais que
e, portanto,
Logo, v ∈ W ⊥ .
w = α1v1 + α2v2 + ... + αpvp,
< v, w > = (v, α1v1 + α2v2 + ... + αpvp)
= α1 < v, v1 > +α2 < v, v2 > +... + αp < v, vp >
= 0
Exemplo 3.4 Sejam V = IR3 munido com o produto interno usual e
⎛ ⎞
x
⎜ ⎟
W = { ⎝ y ⎠ ∈ IR
z
3 : x + y + z = 0}.
Como
temos que
W ⊥ ⎜
= { ⎝
⎛
⎜
W = { ⎝
⎛
⎛
⎜
= { ⎝
⎛
⎜
= { ⎝
x
y
z
x
y
z
x
x
x
⎛
⎜
= sp{ ⎝
⎞
x
y
−x − y
⎟
⎠ ∈ IR 3 :<
⎞
⎞
⎛
⎟
⎜
⎠ , x, y ∈ IR} = sp{ ⎝
⎛
⎜
⎝
x
y
z
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ , ⎝
1
0
−1
⎞
⎟
⎠ ∈ IR 3 : x − z = 0, y − z = 0}
⎞
⎟
⎠ , x ∈ IR}
1
1
1
⎞
⎟
⎠}
7
1
0
−1
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ , ⎝
⎛
⎟ ⎜
⎠ >= 0 e { ⎝
x
y
z
0
1
−1
⎞
⎞
⎟ ⎜
⎠ , ⎝
⎟
⎠},
⎛
0
1
−1
⎞
⎟
⎠ >= 0}
✷

Proposição 3.5 Sejam V um espaço Euclidiano e W um subespaço de V . Então,
1. W W ⊥ = {0};
2. V = W + W ⊥ .
Demonstração: (i) Suponhamos que w0 ∈ W W ⊥ . Então, w0 ∈ W ⊥ , pelo que < w0, w >=
0, ∀w ∈ W . Em particular, w0 ∈ W . Então, < w0, w0 >= 0 e, portanto, w0 = 0. Logo,
W W ⊥ = {0}.
(ii) A inclusão W + W ⊥ ⊆ V é obvio, pelo que falta provar que V ⊆ W W ⊥ . Para tal, basta
provar que dimV = dim(W + W ⊥ ).
Suponhamos que dimV = n e dimW = k, com 0 ≤ k ≤ n.
Se k = 0, temos que W = {0} e, portanto, W ⊥ = {v ∈ V :< v, 0 >= 0} = V , pelo que
V = W + W ⊥ .
Se k ≥ 1, existe uma base ortonormada de W , {w1, w2, ..., wk} e uma base de V ,
{w1, w2, ..., wk, u1, u2, ..., un−k}. Através do processo Gram-Schmidt, podemos determinar uma
base ortonormada de V , {w1, w2, ..., wk, v1, v2, ..., vn−k}. Então, sp{v1, v2, ..., vn−k} ⊆ W ⊥ , pelo
que dimW ⊥ ≥ n − k. Logo,
e, portanto,
e assim
4 Espaço Unitário
n = dimV ≥ dim(W + W ⊥ ) = dimW + dimW ⊥ ≥ k + n − k = n,
dimV = dim(W + W ⊥ )
V = W + W ⊥
Definição 4.1 Seja U um espaço vectorial sobre IC. O produto interno em U é uma aplicação de
U × U, denota-se por ( , ), que satisfaz as seguintes condições.
1. < x, y >= < y, x >;
2. < x + y, z >=< x, z > + < y, z >;
3. < αx, y >= α < x, y > α ∈ IC;
4. < x, x >≥ 0, ∀x ∈ U, e < x, x >= 0 se é só se x = 0.
O espaço vectorial complexo, de dimensão finita, munido de um produto interno chama-se
Espaço Unitário.
Observação 4.2 1. A propriedade (1) diz que o produto interno complexo é conjugado simétrico;
2. Por (1), temos < x, αy >= ¯α < x, y >, ∀ α ∈ IC, x, y ∈ U;
3. < x, y + z >=< x, y > + < x, z >.
8
✷

Exemplo 4.3 1. O produto interno usual de IR n pode generalizar-se a IC n . Para x = (x1, x2, ..., xn), y =
(y1, y2, ..., yn) ∈ IC n
< x, y >=
n
xi ¯yi,
é um produto interno. (ao qual se chama produto interno usual em IC n ). Assim U = IC n é
um espaço Unitário.
2. Seja U = C([0, 1], IC) espaço vectorial das funções continuas complexas no intervalo [0, 1].
∀ f(x), g(x) ∈ U definimos produto interno por
Podemos verificar logo as 4 propriedades.
i=1
1
< f(x), g(x) >= f(x)g(x)dx.
As definições de base, ortogonalidade, etc., são semelhantes ao caso do espaço Euclidiano.
Finalmente, vamos conhecer o determinante de Gram definido da seguinte forma:
Definição 4.4 Seja V um espaço vectorial munido o produto interno. x1, x2, ..., xn ∈ V . Chamase
o determinante de Gram ao determinante
G =
< x1, x1 > < x1, x2 > ... < x1, xn >
< x2, x1 > < x2, x2 > ... < x2, xn >
... ...
< xn, x1 > < xn, x2 > ... < xn, xn >
Teorema 4.5 Os vectores x1, x2, ..., xn são linearmente dependentes se e só se o determinante de
Gram é igual a 0.
Demonstração: Considere o sistema linear en relação a α1, α2, ..., αn:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
< x1, x1 > α1+ < x1, x2 > α2 + ...+ < x1, xn > αn = 0
< x2, x1 > α1+ < x2, x2 > α2 + ...+ < x2, xn > αn = 0
..................
< xn, x1 > α1+ < xn, x2 > α2 + ...+ < xn, xn > αn = 0
O seu determinante de coeficiente é o G.
Se G = 0, então o sistema linear acima tem soluções non zeros. Por a sistema linear acima,
temos
⎧
⎪⎨
⎪⎩
< x1,
< x2,
0
n
αixi > = 0
i=1
n
i=1
αixi > = 0
..................
< xn,
n
αixi > = 0
i=1
9
.

Multiplicando o αi por a equação i e somando, tem-se
i.e.,
n
< αixi,
i=1
n
αixi >= 0
n
αixi = 0, logo, x1, x2, ..., xn são linearmente dependentes.
i=1
i=1
Por outro lado, se x1, x2, ..., xn são linearmente dependentes, existem α1, α2, ..., αn não nulos,
tais que
n
αixi = 0
i=1
Fazendo produto interno com x1, x2, ..., xn, obtemos o sistema linear anterior. Isto quer dizer que
o sistema linear homogéneo tem soluções não nulas. Então G = 0.
5 A ligação às Matrizes
5.1 Matrizes simétricas, Matrizes hermíticas
Definição 5.1 Sejam p, n ∈ IN e A = [ast] ∈ Mp×n(IC). Chama-se matriz conjugada de A, e
representa-se por A, à matriz do tipo p×n sobre IC, tal que Ast = ast, ∀s ∈ {1, ..., p}, t ∈ {1, ..., n}.
Exemplo 5.2 Seja
2 3i 1 − i
0 −1 2 + i
. Então A =
2 −3i 1 + i
0 −1 2 − i
Proposição 5.3 Sejam A, B matrizes complexas e α ∈ IC. Então, sempre que as operações em
causa façam sentido, temos:
1. A + B = A + B;
2. A = A;
3. αA = αA;
4. AB = A B;
5. A = A ⇔ A ∈ Mm×n(IR).
Combinando as operações de transposição e conjugação de matrizes, tem-se
Definição 5.4 Sejam p, n ∈ IN e A = [ast] ∈ Mp×n(IC). Chama-se matriz transconjugada de A,
e representa-se por A ∗ , à matriz do tipo p × n sobre IC, tal que A ∗ st = ats, ∀s ∈ {1, ..., p}, t ∈
{1, ..., n}.
Exemplo 5.5 Seja
2 3i 1 − i
0 −1 2 + i
. Então A ∗ =
⎡
⎢
⎣
2 0
−3i −1
1 + i 2 − i
Proposição 5.6 Sejam A, B matrizes complexas e α ∈ IC. Então, sempre que as operações em
causa façam sentido, tem-se:
1. (A + B) ∗ = A ∗ + B ∗ ;
10
⎤
⎥
⎦.
.

2. (αA) ∗ = αA ∗ ;
3. (A ∗ ) ∗ = A;
4. (AB) ∗ = B ∗ A ∗ .
tal como as matrizes que coincidem com a sua transposta, também as matrizes que coincidem
com a sua transconjugada são importantes.
Definição 5.7 Seja A uma matriz quadrada. Diz-se que a matriz A é hermítica se A ∗ = A; e
que a matriz A é anti-hermítica se A ∗ = −A.
Observação 5.8 Seja A = [ast] ∈ Mn(IC).
1. Se A é hermítica, tem-se ast = ats, ∀ s, t ∈ {1, 2, ..., n}; em particular, ass ∈ IR, ∀ s ∈
{1, 2, ..., n}.
2. A é hermítica se e só se A = A T .
3. Se A é anti-hermítica, tem-se ast = −ats, ∀ s, t ∈ {1, 2, ..., n}
4. Toda a matriz simétrica de elemento em IR é hermítica; toda a matriz anti-simétrica de
elementos em IR é anti-hermítica.
⎡
2 i
⎢
Exemplo 5.9 Sejam A = ⎣ −i 0
⎤
−3
⎥
2 + i ⎦ e B =
⎡
i
⎢
⎣ −2 − i
2 − i
0
⎤
−1
⎥
0 ⎦. Então A é
−3
hermítica e B é anti-hermítica.
2 − i 1
1 0 −i
Proposição 5.10 Seja A uma matriz complexa quadrada. Tem-se que
(i) A + A ∗ e AA ∗ são matrizes hermíticas; (ii) A − A ∗ é matriz anti-hermíticas.
Proposição 5.11 Sejam A e B são matrizes hermíticas e λ ∈ IC. Então
1. A + B é hermítica;
2. λA é hermítica se e só se A = 0 ou λ ∈ IR;
3. AB é hermítica se e só se AB = BA.
Relativamente aos valores próprios de uma matriz hermítica, tem-se
Teorema 5.12 Seja A uma matriz hermítica. Então A tem n valores próprios reais.
Demonstração: Seja A hermítica. Então pA é um polinómio de coeficientes em IC e com grau n,
logo A tem n valores próprios em IC. Seja λ ∈ IC valor próprio de A. Então existe Y ∈ Mn×1(IC)
tal que Y = 0 e AY = λY . Agora, Y T AT = λY T e, portanto,
Y T A T Y = λY T n
n
Y = [λ Yi1Yi1] = λ |Yi1|
i=1
i=1
2 .
n
Como |Yi1|
i=1
2 é um número real, se Y T AT Y também é número real, então λ ∈ IR. Tem-se
Y T AT Y ∈ M1(IC) e A Hermítica, vem
Y T A T Y = Y T A T Y = Y T AY = (Y T AY ) T = Y T A T Y ,
logo Y T A T Y ∈ M1(IR), então λ ∈ IR. Todos os valores próprios de A são reais.
11
✷

Observação 5.13 Em particular, se A ∈ Mn(IR) é simétrica, então A tem n valores próprios
reais.
Definição 5.14 Uma matriz A ∈ Mn(IR) diz-se simétrica definida positiva se é simétrica e
x T Ax > 0, (∀ x ∈ Mn×1(IR) \ {0}).
Uma matriz A ∈ Mn(IC) diz-se hermítica definida positiva se é hermítica e
x T Ax > 0, (∀ x ∈ Mn×1(IC) \ {0}).
Observação 5.15 A definição anterior tem sentido já que, se A é hermítica, então
x T Ax = x T Ax = x T A T x = x T A T (x T ) T = (x T Ax) T = x T Ax.
Proposição 5.16 Seja A ∈ Mn(IF) uma matriz simétrica (ou hermítica). Então, A é uma matriz
simétrica (ou hermítica) definida positiva se e só se
a11 a12 a13
a11 a12
|a11| > 0, > 0,
> 0, ..., |A| > 0.
a21 a22
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Corolário 5.17 Toda a matriz simétrica (hermítica) definida positiva é invertível.
5.2 Matriz da Métrica
Definição 5.18 Sejam V um espaço euclidiano ou um espaço unitário e {v1, v2, ..., vn} uma base
de V . Chama-se matriz da métrica (do produto interno de V ) relativamente à base {v1, v2, ..., vn}
á matriz G = [gij] ∈ Mn(IF) em que gij =< vi, vj >, ∀ i, j ∈ {1, 2, ..., n}, i.e.,
G =
⎡
⎢
⎣
< v1, v1 > ... < v1, vn >
. · · · .
< vn, v1 > ... < vn, vn >
Exemplo 5.19 Seja V = IR2 o espaço euclidiano com produto interno
x a
< , >= 2xa + xb + ya + yb.
y b
Se a base B={
1
1
,
⎡
1
0
⎢ <
⎢
G = ⎢
⎢
⎣
<
}, então,
1
1
1
0
,
,
1
1
1
1
> <
> <
1
1
1
0
,
,
1
0
1
0
⎤
⎥
⎦ .
⎤
> ⎥
⎥
⎦
>
=
5 3
3 2
O conceito de matriz da métrica fornece un processo para calcular o produto interno de dois
vectores conhecidas as suas componentes em relação a uma base do espaço.
12
.
✷

Proposição 5.20 Sejam V um espaço euclidiano ou um espaço unitário e {v1, v2, ..., vn} uma
base de V e G = [gij] a matriz da métrica relativamente à base {v1, v2, ..., vn}. Sejam x, y ∈ V e
x = α1v1 + α2v2 + ... + αnvn
y = β1v1 + β2v2 + ... + βnvn
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
α1
β1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ α2 ⎟ ⎜ β2 ⎟
e X, Y os respectivos vectores coluna na base {v1, v2, ..., vn}, ie., X = ⎜ ⎟
⎜ ⎟ , Y = ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ . ⎠ ⎝ . ⎠ .
Então < x, y >= X T GY .
Demonstração: Nas condições do enunciado, temos que
XT ⎡ ⎤
⎡
⎤ β1
< v1, v1 > ... < v1, vn > ⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ β2 ⎥
GY = [α1, α2, ..., αn] ⎣ . · · · . ⎦ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ . ⎦
< vn, v1 > ... < vn, vn >
βn ⎡
n
n
n
⎢
= [ αi < vi, v1 >, αi < vi, v2 >, ..., αi < vi, vn >] ⎢
i=1
i=1
i=1
⎣
β1
β2
.
⎤
⎥
⎦
=
n
αi < vi, vj > βj =
n
αiβj < vi, vj >=< x, y > .
βn
i,j=1
i,j=1
Observação 5.21 Se o espaço é euclidiano, então < x, y >= X T GY .
Exemplo 5.22 1. Considere, no espaço vectorial real IR3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ , o produto ⎡ interno⎤cuja matriz da
1 1 1
2 1 0
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢
⎥
métrica relativamente à base B={ ⎝ 1 ⎠ , ⎝ 1 ⎠ , ⎝ 0 ⎠} é G = ⎣ 1 2 −1 ⎦.
1 0 0
0 −1 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 0
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Sejam ⎝ 1 ⎠ , ⎝ 0 ⎠ ∈ IR
1 1
3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 0
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
, vamos determinar o produto interno de < ⎝ 1 ⎠ , ⎝ 0 ⎠ >.
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 1 1 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Como ⎝ 1 ⎠ = 1 ⎝ 1 ⎠+0 ⎝ 1 ⎠+1 ⎝ 0 ⎠ e
1 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0 1
1 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0 ⎠ = 1 ⎝ 1 ⎠+(−1) ⎝ 1 ⎠+0 ⎝ 0 ⎠.
1 1 0 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1
1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Tem-se X = ⎝ 0 ⎠ e Y = ⎝ −1 ⎠, então
1 1
0 0
1
0
X T ⎡
2
⎢
GY = [1 0 1] ⎣ 1
1
2
⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤
0 1
1
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
−1 ⎦ ⎣ −1 ⎦ = [2 0 4] ⎣ −1 ⎦ = 2.
0 −1 4 0
0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 0
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Logo < ⎝ 1 ⎠ , ⎝ 0 ⎠ >= 2.
1 1
13
αn
βn
✷

2. Considere, no espaço vectorial complexo IC 2 , o produto interno cuja matriz da métrica
1 0
3 i
relativamente à base B={ , } é G = .
0 1
−i 2
2 i
Sejam , ∈ IC
i 1
2
2 i
, vamos determinar o produto interno de < , >.
i 1
2 1 0 i 1 0
Como = 2 + i e = i + 1 .
i 0 1 1 0 1
2
i
Tem-se X = e Y = , então
i
1
X T
3 i −i
−i
GY = [2 i]
= [7 4i] = −3i.
−i 2 1
1
2 i
Assim < , >= −3i.
i 1
Quer em espaço euclidiano quer em espaço unitário, as matrizes da métrica têm propriedades
importantes:
Proposição 5.23 Sejam V um espaço euclidiano, B uma base de V e G a matriz da métrica
relativamente à base B. Então G é uma matriz simétrica definida positiva.
Demonstração: Para quaisquer i, j ∈ {1, ..., n}, tem-se gij =< vi, vj >=< vj, vi >= gji. Logo G é
simétrica. Sejam X ∈ Mn×1(IR) \ {0} e x o vector de V cujo vector coluna na base B é X. Como
X = 0, tem-se x = 0; logo < x, x >> 0. Pela proposição anterior, tem-se X T GX =< x, x >.
Portanto X T GX > 0, e G é simétrica definida positiva.
Proposição 5.24 Sejam V um espaço unitário, B uma base de V e G a matriz da métrica
relativamente à base B. Então G é uma matriz hermítica definida positiva.
Proposição 5.25 Sejam V um espaço vectorial real de dimensão finita n ≥ 1, B uma base de V
e A = [aij] ∈ Mn(IR). Então A é matriz da métrica de um produto interno em V relativamente à
base B se e só se A é uma matriz simétrica definida positiva.
Proposição 5.26 Sejam V um espaço vectorial complexo de dimensão finita n ≥ 1, B uma base
de V e A = [aij] ∈ Mn(IC). Então A é matriz da métrica de um produto interno em V relativamente
à base B se e só se Aé uma matriz hermítica definida positiva.
Observação 5.27 Sejam V um espaço euclidiano ou unitário, B uma base de V e G a matriz
da métrica relativamente à base B.
1. A base B é ortogonal se e só se G é uma matriz diagonal.
2. A base B é ortonormada se e só se G = In.
5.3 Orientação de espaços vectoriais reais
Sejam V um espaço vectorial real de dimensão n e B0 = {v1, v2, ..., vn} uma base fixa de V . Para
qualquer base B de V , a matriz M(idv; B, B0) tem determinante não nulo, pois trata-se de um
isomorfismo.
Assim, para qualquer base B de V , temos que
14

detM(idv; B, B0) > 0 ou detM(idv; B, B0) < 0.
Definição 5.28 Sejam V um espaço vectorial real de dimensão n, B(V ) o conjunto de base de V
e B0 ∈ B(V ). Chama-se orientação de V determinada pela base B0 à partição de B(V ) formada
pelos conjuntos
B d B0 = {B ∈ B(V ) : detM(idv; B, B0) > 0}.
e
B i B0 = {B ∈ B(V ) : detM(idv; B, B0) < 0}.
Nesta orientação, os elementos de B d B0 dizem-se bases directas de V e os elementos de Bi B0 dizemse
base inversas de V .
O espaço V diz-se orientado quando se fixa a orientação determinada por uma sua base.
Observação 5.29 Faz sentido falar na partição de B(V ) pelos dois conjuntos Bd B0 e Bi , pois B0
dada uma base B ∈ B(V ), é verdade que uma e uma só das duas situações acontece:
ou detM(idv; B, B0) > 0 ou detM(idv; B, B0) < 0.
Proposição 5.30 Sejam V um espaço vectorial real de dimensão n com orientação determinada
por B0 ∈ B(V ). Seja B = {v1, v2, ..., vi, ..., vj, ..., vn} ∈ B(V ). Então:
1. Se B ∈ B d B0 ,
(a) α ∈ IR + ⇒ {v1, v2, ..., αvi, ..., vj, ..., vn} ∈ B d B0 ,
(b) α ∈ IR − ⇒ {v1, v2, ..., αvi, ..., vj, ..., vn} ∈ B i B0 ,
(c) α ∈ IR i = j ⇒ {v1, v2, ..., vi + αvj, ..., vj, ..., vn} ∈ B d B0 ,
(d) i = j ⇒ {v1, v2, ..., vj, ..., vi, ..., vn} ∈ B i B0 ,
2. Se B ∈ B i B0 ,
(a) α ∈ IR + ⇒ {v1, v2, ..., αvi, ..., vj, ..., vn} ∈ B i B0 ,
(b) α ∈ IR − ⇒ {v1, v2, ..., αvi, ..., vj, ..., vn} ∈ B d B0 ,
(c) α ∈ IR i = j ⇒ {v1, v2, ..., vi + αvj, ..., vj, ..., vn} ∈ B i B0 ,
(d) i = j ⇒ {v1, v2, ..., vj, ..., vi, ..., vn} ∈ B d B0 ,
Definição 5.31 Seja V um espaço vectorial real de dimensão n. Diz-se que as bases B0 e B1 de
V determinam a mesma orientação de V se B d B0 = Bd B1 (ou Bi B0 = Bi B1 ).
Proposição 5.32 Seja V um espaço vectorial real de dimensão n. Então, V admite exactamente
duas orientações distintas.
Definição 5.33 Seja n ∈ IN. Chama-se orientação canónica de IR n à orientação determinada
pela base canónica.
Proposição 5.34 Dado n ∈ IN, a base canónica de IR n é directa se e só se a orientação fixada
em IR n é a orientação canónica.
15

5.4 Produto externo
A fixação de uma orientação num espaço euclidiano V de dimensão 3 permite introduzir a noção
de produto externo de dois vectores de V .
Teorema 5.35 Sejam V um espaço euclidiano orientado de dimensão 3, {x, y} um sistema linearmente
independente de vectores de V e α ∈ IR + . Então existe um e um só vector z ∈ V que
satisfaz as três condições seguintes:
1. z⊥x e z⊥y;
2. {x, y, z} é base directa de V ;
3. ||z|| = α.
Demonstração: Existência de z:
Seja {x, y} um sistema linearmente independente. Então, dimsp{x, y} = 2, pelo que
dimsp{x, y} ⊥ = 1. Seja (w) uma base ortonormada de sp{x, y} ⊥ . Então, {x, y, w} e {x, y, −w}
são bases de V , mas apenas uma delas é directa. Sejam {x, y, w}base directa de V e z = αw.
Então,
1. z⊥x e z⊥y, pois z ∈ sp{x, y} ⊥ ;
2. {x, y, z} é base directa de V , pois {x, y, w} é base directa e α ∈ IR + ;
3. ||z|| = ||αw|| = α||w|| = α.
Unicidade de z:
Considere z ′ ∈ V um vector que satisfaz as condições (1), (2), (3). Então, de (1) concluímos
que z ′ ∈ sp{x, y} ⊥ =< w >. Logo, existe β ∈ IR tal que z ′ = βw. Mais ainda, de (2), {x, y, w} e
{x, y, βw} são ambas directas, pelo que β ∈ IR + . Finalmente, de (3), temos que
α = ||z ′ || = ||βw|| = β||w|| = β,
o que prova que z ′ = z. ✷
Definição 5.36 Sejam V um espaço euclidiano orientado de dimensão 3, {x, y} um sistema de
vectores de V . Chama-se produto externo de x por y, e representa-se por x ∧ y, ao vector definido
do seguintes modo:
1. se {x, y} é linearmente independente, x ∧ y é único vector z ∈ V tal que
(a) z⊥x e z⊥y;
(b) {x, y, z} é base directa de V ;
(c) ||z|| = ||x||||y||sen (x, y).
2. se {x, y} é linearmente dependente, x ∧ y = 0.
Observação 5.37 Se {x, y} é l.i., então (x, y) ∈]0, π[, pelo que (c) tem todo o sentido.
16

Exemplo 5.38 Consideremos o espaço vectorial real IR3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ com a orientação canónica e munido do
produto interno definido por <
⎜
⎝
a1 b1
⎟ ⎜
a2 ⎠ , ⎝ b2
⎟
⎠ >= 2a1b1 + a1b2 + a2b1 + a2b2 + 2a3b3.
a3 b3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 1
2 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1) O sistema { ⎝ 0 ⎠ , ⎝ 0 ⎠} é linearmente dependente, logo ⎝ 0 ⎠ ∧ ⎝ 0 ⎠ = 0.
0 0
0 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 0
1 0
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2) O sistema { ⎝ 1 ⎠ , ⎝ 1 ⎠} é linearmente independente, vamos determinar ⎝ 1 ⎠∧⎝
1 ⎠.
⎛ ⎞ ⎛
1 0
⎜ ⎟ ⎜
sp{ ⎝ 1 ⎠ , ⎝ 1
0 0
⎞
⎟
⎠}
0 0
0 0
⊥ ⎛
a1
⎜
= { ⎝ a2
⎞
⎟
⎠ ∈ IR
a3
3 ⎛
a1
⎜
:< ⎝ a2
⎞ ⎛ ⎞ ⎛
1
a1
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎠ , ⎝ 1 ⎠ >= 0, < ⎝ a2
⎞ ⎛ ⎞
0
⎟ ⎜ ⎟
⎠ , ⎝ 1 ⎠ >= 0}
a3 0
a3 0
⎛ ⎞
a1
⎜ ⎟
= { ⎝ a2 ⎠ ∈ IR
a3
3 ⎛ ⎞
0
⎜ ⎟
⎛ ⎞ || ⎝ 0 ⎠||=
0
⎜ ⎟ 1
: 3a1 + 2a2 = 0, a1 + a2 = 0} = sp{ ⎝ 0 ⎠}
1
√ 2 ⎛
⎜
= sp{ ⎜
⎝
0
0
1
√
2
⎞
⎟
⎠ }
⎛ ⎞
0
⎜
= sp{ ⎜
⎝ √
0
2
⎟
⎠ }.
2
A base
⎛
⎜
{ ⎝
1
1
0
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ , ⎝
0
1
0
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ , ⎜
⎝
0
0
√ 2
⎞
⎟
⎠ },
2
é directa.
⎛ ⎞
1
⎜ ⎟
Por outro lado, tem-se || ⎝ 1 ⎠ || =
0
√ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛
0
1
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
5, || ⎝ 1 ⎠ || = 1, < ⎝ 1 ⎠ , ⎝
0
0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 0
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
cos ( ⎝ 1 ⎠ , ⎝ 1 ⎠) =
0 0
2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 0
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
√ ; e sin ( ⎝ 1 ⎠ , ⎝ 1 ⎠) =
5
0 0
1
√ .
5
Assim, ||z|| = ||x||||y||sin (x, y) = √ 5 1
√ = 1.
5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0
1 0
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
Logo, ⎝ 1 ⎠ ∧ ⎝ 1 ⎠ = 1 ⎜ 0 ⎟
⎝ √ ⎟
0 0
2
⎠
2
=
⎛ ⎞
0
⎜ 0 ⎟
⎝ √ ⎟
2
⎠
2
.
0
1
0
⎞
⎟
⎠ >= 2. Logo
Proposição 5.39 Sejam V um espaço euclidiano orientado de dimensão 3 e {v1, v2, v3} uma base
ortonormada e directa de V . Se v = α1v1 + α2v2 + α3v3 e w = β1v1 + β2v2 + β3v3, então,
α2 α3
v ∧ w =
v1
α1 α3
−
v2
α1 α2
+
v3.
β2 β3
β1 β3
17
β1 β2

Observação 5.40 Tendo em conta o teorema de Laplace, escrevemos simbolicamente
v ∧ w =
v1
α1
v2
α2
v3
α3
.
β1 β2 β3
Exemplo 5.41 1. No espaço vectorial real IR3 munido do produto interno usual e da orientação
canónica, a base canónica é ortonormada e directa. Tem-se
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 −1
e1 e2 e3
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 1
⎝ 2 ⎠ ∧ ⎝ 1 ⎠ = 1 2 1 =
1 0
1 0 −1 1 0
e1
1 1
−
−1 0 e2
1 2
+
−1 1 e3
⎛ ⎞
−1
⎜ ⎟
= ⎝ −1 ⎠ .
3
2. Sejam V um espaço euclidiano orientado de dimensão 3 e {v1, v2, v3} uma base ortonormada
e directa de V . Tem-se
v1 v2 v3
0 1
(2v1+v3)∧(v1−v2+2v3) = 2 0 1 =
−1 2
1 −1 2
v1−
2 1
1 2 v2+
2 0
1 −1
v3 = v1−3v2−2v3.
Proposição 5.42 Sejam V um espaço euclidiano orientado de dimensão 3, x, y, z ∈ V e α ∈ IR.
Então:
1. (x + y) ∧ z = x ∧ z + y ∧ z; x ∧ (y + z) = x ∧ y + x ∧ z;
2. (αx) ∧ y = α(x ∧ y) = x ∧ (αy);
3. x ∧ y = −y ∧ x.
Definição 5.43 Sejam V um espaço euclidiano orientado de dimensão 3, x, y, z ∈ V . Chama-se
produto misto dos vectores x, y e z ao escalar (real) < x ∧ y, z >.
Proposição 5.44 Sejam V um espaço euclidiano orientado de dimensão 3 e {v1, v2, v3} uma
base ortonormada e directa de V .
u = γ1v1 + γ2v2 + γ3v3. Então,
Se v = α1v1 + α2v2 + α3v3, w = β1v1 + β2v2 + β3v3, e
α1
< v ∧ w, u >= β1
α2
β2
α3
β3
.
γ1 γ2 γ3
Proposição 5.45 Sejam V um espaço euclidiano orientado de dimensão 3, x, y, z ∈ V . Então
(i) < x ∧ y, z >= − < y ∧ x, z >= − < z ∧ y, x >= − < x ∧ z, y >;
(ii) < x ∧ y, z >=< y ∧ z, x >=< z ∧ x, y >.
18