Introdução à Topologia das Superfícies - UFV

VI Reuni~ao da
Sociedade Brasileira
de Matematica
UNIVERSIDADE FEDERAL
DE VIC»OSA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA { UFV
Vi»cosa, 20 a 23 de abril de 2004
Mini-curso
TOPOLOGIA DAS SUPERFICIES
UMA INTRODUC» ~AO INTUITIVA
Jo~ao C.V. Sampaio (UFSCar)

Sumario
1 Superf³cies 1
1.1 O que e umasuperf³cie?.......................... 1
1.2 Topologia e geometria ........................... 2
1.3 Superf³cies de¯nidas abstratamente e seus
diagramasplanos.............................. 4
1.4 Superf³cies orientaveis
esuperf³cies n~ao orientaveis ........................ 7
1.5 Superf³ciesfechadas ............................ 8
1.6 Somas conexas de superf³cies ....................... 9
2 Todas as superf³cies fechadas conceb³veis 11
2.1 Diagramas poligonais para todas as superf³ciesfechadas ......... 14
2.2 Paracadasuperf³ciefechada,uma\palavra" ............... 17
2.3 A palavra representa»c~aodeumasomaconexa............... 18
2.4 Transformandopalavrassemalteraratopologia ............. 19
2.4.1 Transforma»c~oes praticamente obvias ............... 19
2.4.2 Uma transforma»c~ao inacreditavel ................. 22
2.4.3 Uma transforma»c~aoesperta .................... 23
2.4.4 Duas transforma»c~oes imprescind³veis ............... 24
2.5 Listando todas as superf³cies fechadas orientaveis............. 25
2.6 Listando as superf³ciesfechadasen~ao orientaveis............. 27
3 Um pouco da geometria das superf³cies 29
3.1 Superf³ciessuavesepontosc^onicos .................... 29
3.2 Superf³ciesdegeometriaeuclidiana .................... 31
3.3 A geometria da esfera ou geometria el³ptica................ 32
i

3.3.1 A soma dos ^angulosinternosdeumtri^angulo esferico ...... 34
3.4 Oconceitodecurvatura.......................... 35
3.5 O plano hiperbolicoesuageometria.................... 36
3.5.1 Uma constru»c~ao aproximada de um modelo do plano hiperbolico. 37
3.6 A soma dos ^angulos internos de um pol³gono, em uma superf³cie de
curvaturaconstante............................. 38
3.7 Somasconexasdetoros,oudeplanosprojetivos,decurvaturaconstante 40
3.7.1 Uma constru»c~ao alternativa de toros de genus n, n ¸ 2, de
curvaturaconstante ........................ 41
4 O numero (ou caracter³stica)
de Euler (l^e-se \Oiler"), um invariante topologico 45
4.1 Divis~oes celulares de uma superf³cie.................... 45
4.2 O numerodeEuler............................. 46
4.3 A topologia de uma superf³cie determina sua
geometria homog^enea,evice-versa .................... 48
4.4 Orientabilidade e numero de Euler classi¯cando as superf³cies fechadas . 49

Prefacio
Oproposito deste trabalho e desenvolver ideias e resultados de topologia das superf³cies,
uma area da Matematica nascida da geometria, fazendo-o de modo acess³vel a estudantes
que n~ao tenham conhecimento previo de conceitos de matematica do ensino superior,
podendo ser apreciado por estudantes universitarios de areasforadaMatematica e por
professoresdoensinomedio.
Os temas apresentados evoluem, a partir de ideias geometricas e topologicas intuitivas,
em dire»c~ao a resultados destacados da topologia das superf³cies, chegando aos
teoremas de classi¯ca»c~ao topologica das superf³cies fechadas.
Dentre os grandes avan»cos matematicos do seculo 20, destacam-se aqueles ocorridos
no campo da Topologia. Interesses de matematicosef³sicos impulsionaram um
grande progresso na area das assim chamadas variedades de dimens~oes3e4,ques~ao
grosso modo, generaliza»c~oes das superf³cies de dimens~ao 2.
Duas areas correlatas, nas quais houve intensa atividade de pesquisa, s~ao a teoria
dos nos eatopologia algebrica, estaultima intimamente relacionada µa topologia combinatoria.
Devidoaogranderoldepre-requisitos matematicos, necessarios ao estudo
formal de tais assuntos, pouqu³ssimos textos para a gradua»c~ao (licenciatura e bacharelado)
em matematica desenvolvem uma introdu»c~aoaessamatematica recente.
A maior parte dos textos universitarios de topologia, escritos em geral para os
bacharelados em matematica, tratam somente de topicos desenvolvidos no in³cio do
seculo, e que est~ao mais relacionados µa topologia geral do que µa topologia geometrica.
Grande parte desses textos foram escritos sob a premissa de que tais fundamentos devem
ser estudados primeiro, pois contem conceitos amplamente empregados no campo da
analise matematica, outraarea deveras importante.
Contrastando fortemente com esse quadro, nos programas de pos-gradua»c~ao em
matematica s~ao estudados textos avan»cados de topologia algebrica, enfatizando fortemente
teorias desenvolvidas somente apos os anos 50. O estudante de um programa
de mestrado em matematica estuda e compreende, n~ao sem uma boa dose de esfor»co
intelectual, fundamentos e teoremas da topologia algebrica, mas ¯ca se perguntando
como e que essas coisas foram originalmente descobertas.
No meio disso tudo, esta a constru»c~ao heur³stica da topologia geometrica, cheia
de resultados descobertos muitas vezes por procedimentos intuitivos e ulteriormente
passados a limpo atraves da linguagem so¯sticada e formalista das topologias geral e
algebrica. E esta parte intermediaria, da constru»c~ao intuitiva do conhecimento, que o
presente texto visa suprir, ao menos em parte. Outro proposito deste texto e a divulga»c~ao
iii

desse conhecimento ao leitor n~ao especializado.
Este texto evoluiu de mini-cursos apresentados nos X, XI, XII e XIII Encontros
Brasileiros de Topologia, realizados nos anos 1996, 1998, 2000 e 2002 e, originalmente,
de um mini-curso apresentado na Reuni~ao Regional da Sociedade Brasileira de
Matematica, realizado pelo Departamento de Matematica da UFSCar, em 1995.
Je®rey Weeks, em seu maravilhoso livro The Shape of Space, mostrou-me pela
primeira vez como ensinar topologia, sem pre-requisitos formais, de modo divertido.
A ele juntam-se outros autores mencionados na bibliogra¯a. O incentivo para colocar
m~aos µa obrapartiudevarios companheiros de pro¯ss~ao, dentre eles cito especialmente
Yuriko Yamamoto Baldin, Yolanda Kioko Saito Furuya, Oziride Manzoli Neto, Daciberg
Lima Gon»calves e Suely Druck, havendo porem outros mais que tornariam esta lista bem
extensa.
Jo~ao Carlos V. Sampaio

1
Superf³cies
1.1 O que e umasuperf³cie?
Superf³cies s~ao objetos geometricos bi-dimensionais que n~ao existem no mundo real, mas
apenas em nossa imagina»c~ao geometrica plat^onica. Podemos prontamente conceber
varios exemplos de superf³cies, tais como a superf³cie de uma esfera, a superf³cie do
plano da geometria euclidiana, a superf³cie de uma c^amaradear,eoutrasmais.
Ade¯ni»c~ao formal (matematica) de superf³cie requer conceitos de topologia geral
edecalculo avan»cado, e n~ao e nossa inten»c~ao apresenta-la aqui. Pelo contrario, nossa
inten»c~ao e explorarsuperf³cies, do ponto de vista topologico e geometrico, o mais
intuitivamente poss³vel.
Poder³amos dizer que nosso metodo de estudo sera heur³stico em vez de formal.
Pretendemos estabelecer fatos atraves de evid^encias geometricas intuitivas.
Para citar um exemplo onde um tal metodo e empregado, tomemos por exemplo
a teoria dos conjuntos. Sabemos que grande parte das propriedades das opera»c~oes e
rela»c~oes entre conjuntos pode ser deduzida atraves dos chamados diagramas de Venn.
Os diagramas de Venn fornecem evid^encias intuitivas dessas propriedades mas n~ao constituem
demonstra»c~oes matematicas das mesmas.
Subentenderemos apriorique uma superf³cie e um \ambiente" geometrico bi-dimensional,
no sentido de que \habitantes" ¯ct³cios de uma superf³cie se movem com
apenas dois graus de liberdade. Para tornar o conceito de superf³cie mais claro, suporemos
que para cada dois pontos de uma superf³cie, pode-se tra»car nela uma linha
geodesica que os une. Em toda superf³cie, para cada dois pontos dela, existe um caminho,
tra»cado na superf³cie, unindo esses pontos, de menor comprimento poss³vel. Tal
caminho e uma linha geodesica que os une.
Repetindo, considerando-se dois pontos A e B numa superf³cie, se quisermos
tra»car, na superf³cie, um caminho (uma curva) de menor comprimento poss³vel, de A
ate B, tal caminho sera umsegmento geodesico.
Por exemplo, as geodesicas do plano euclidiano s~ao linhas retas. As geodesicas
da superf³cie de uma esfera s~aoarcosdegrandesc³rculos. Um grande c³rculo na su-
1

2 UFV { VI Reuni~ao Regional da SBM
perf³cie de uma esfera e ainterse»c~ao da superf³cie da esfera com um plano que passa
pelo seu centro. Por exemplo, a linha do Equador e os meridianos s~ao grandes c³rculos
da superf³cie da esfera terrestre 1 . Repare que, se quisermos voar de um ponto a outro
no globo terrestre, deveremos voar seguindo sempre em frente, \em linha reta". Neste
caso estaremos seguindo a linha de uma geodesica da esfera terrestre. Um ¯o elastico
bem ¯no, com suas extremidades ¯xadas na superf³cie lisa de uma esfera, esticado e em
contato com a superf³cie, descreve uma geodesica da superf³cie da esfera.
O movimento em \dois graus de liberdade", sobre uma superf³cie, refere-se µa
propriedade de que um ponto, con¯nado a mover-se numa superf³cie, pode mover-se
\para a frente", \para tras", \para a direita" e \para a esquerda", mas n~ao pode realizar
os movimentos complementares \para cima" e \para baixo" | poss³veis num ambiente
tri-dimensional | pois para isso teria que sair da superf³cie.
1.2 Topologia e geometria
Assumiremos que as superf³cies n~ao t^em espessura. µ As vezes podemos construir um
modelo de uma superf³cie fazendo uso de uma pel³cula de material maleavel e elastico
(bolas de plastico s~ao modelos f³sicos de superf³cies esfericas e c^amaras de ar s~ao modelos
de uma superf³cie chamada toro bidimensional). Se esticamos ou encolhemos um pouco
uma superf³cie, certas propriedades dela se mantem inalteradas. Tais propriedades constituem
o que chamamos topologia da superf³cie.
Intuitivamente falando, enumeraremos quatro deforma»c~oes que n~ao afetam a
topologia de uma superf³cie:
1. Esticar ou in°ar a superf³cies ou partes dela.
2. Encolher a superf³cie ou partes dela.
3. Entortar a superf³cie ou partes dela.
4. Cortar a superf³cie segundo uma linha suave nela demarcada e, posteriormente,
colar novamente, uma na outra, as bordas geradas por esse recorte, resgatando a
superf³cie original com a linha demarcada. A este procedimento e dado o nome de
recorte e colagem.
Se uma superf³cie e obtidadeoutraporumacombina»c~ao, em um numero ¯nito
de vezes, de algumas ou todas as tr^es primeiras transforma»c~oes listadas acima, diremos
que elas s~ao isotopicas.
Se uma superf³cie e obtida de outra por uma combina»c~ao de um numero ¯nito
das quatro transforma»c~oes listadas acima (deforma»c~oes \legais"), dizemos que elas s~ao
homeomorfas. Obviamente, superf³cies isotopicas s~ao homeomorfas.
1Imaginando-se a Terra como uma esfera solida. Na verdade, a \esfera" terrestre e achatada nos
polos

Topologia das superf³cies. Uma introduc»~ao intuitiva 3
Figura 1.1: Uma transforma»c~ao de recorte e colagem aplicada a uma superf³cie. A superf³cie
resultante ehomeomorfaµasuperf³cie original. No entanto, no espa»co euclidiano
tridimensional, elas n~ao s~ao isotopicas. Pode ser mostrado que, num espa»co euclidiano
de dimens~ao 4, e poss³vel transformar a superf³cie em (a) na superf³cie em (b), apenas
por transforma»c~oes isotopicas, ou seja, dos tipos 1, 2 e 3, sem apelar para recorte e
colagem.
Ao cortarmos uma superf³cie segundo uma linha ou curva suave nela demarcada,
esse recorte da origem a duas bordas (ou dois bordos, como dizem os topologos).
Entenderemos que, apos esse recorte, a linha de corte ¯ca duplicada, passando a ser
representada pelas duas bordas que o recorte gerou. Apos a colagem de ambos as
bordas, uma na outra, resgatamos ent~ao a curva original e a por»c~ao da superf³cie em
torno dela.
De¯ne-se ent~ao a topologia de uma superf³cie como sendo o conjunto de aspectos
geometricos dessa superf³cie que n~ao se alteram quando a ela aplicamos qualquer
uma das quatro deforma»c~oes listadas acima. Quando duas superf³cies t^em a mesma
topologia, dizemos que elas s~ao topologicamente equivalentes, ou que s~ao, como
dizem os topologos, superf³cies homeomorfas.
Em contraste µa topologia de uma superf³cie, os aspectos de sua natureza que se alteram
pelas deforma»c~oes enumeradas acima | aspectos tais como dist^ancias, ^angulos,
areas e curvatura (um conceito do qual falaremos mais tarde) | constituem o que
chamamos a geometria da superf³cie.
As deforma»c~oes listadas abaixo (deforma»c~oes \ilegais") alteram a topologia de
uma superf³cie, resultando em superf³cies n~ao homeomorfas µa superf³cie original:
(i) cortar a superf³cie, segundo uma curva nela demarcada, e n~ao tornar a colar, um
no outro, os bordos gerados pelo recorte;
(ii) realizar colagens de modo arbitrario fazendo com que dois ou mais pontos, originalmente
separados, tornem-se um so ponto da superf³cie;
(iii) encolher a superf³cie, ou algumas de suas regi~oes, de modo que pontos originalmente
separados se aglutinem num so ponto.

4 UFV { VI Reuni~ao Regional da SBM
1.3 Superf³ciesde¯nidasabstratamenteeseus
diagramas planos
Ha superf³cies que s~ao de¯nidas abstratamente, a partir de colagens estrategicas de pares
dearestasderegi~oes poligonais planas. O modo pelo qual tais superf³cies s~ao de¯nidas
sera elucidado atraves de exemplos. Um primeiro exemplo dessas superf³cies e otoro
plano.
O toro plano e constru³do da seguinte maneira:
Aregi~ao poligonal plana, tomada como ponto de partida, e umret^angulo plano.
Para produzir o toro plano, s~ao \coladas", aos pares, as arestas opostas (lados opostos)
do ret^angulo, uma na outra. Se o ret^angulo e visto por nos como tendo uma aresta de
cima, outra de baixo, e outras duas laterais µa direitaeµa esquerda, colam-se ent~ao, a
aresta de cima na de baixo e a direita na esquerda.
Asuperf³cie resultante, assim obtida, e otoro plano.
Figura 1.2: O toro plano e representado por um diagrama retangular. As setas demarcadas
no ret^angulo indicam que as arestas de setas simples ser~aocoladasumasobrea
outra, bem como as arestas de setas duplas. Repare que, apos a colagem, os quatro
vertices do ret^angulo tornam-se um unico ponto no toro plano.
E preciso que ¯que claro o que signi¯ca \colar" uma aresta em outra! N~ao signi¯ca
que passamos cola numa das arestas e a grudamos na outra. Signi¯ca, isto sim, que,
apos a colagem, um habitante (bi-dimensional) ¯ct³cio dessa superf³cie, ao cruzar a
aresta superior, emerge para dentro do ret^angulo atraves da aresta inferior. Ao cruzar a
aresta da direita, ele emerge superf³cie adentro atraves da aresta esquerda do ret^angulo.
Veja ¯gura 1.3.
Figura 1.3: Tri^angulo e Quadrado, em passeio pelo toro plano.

Topologia das superf³cies. Uma introduc»~ao intuitiva 5
Figura 1.4: Nesta ¯gura temos um modelo do toro \mergulhado" (ou seja, constru³do)
no espa»co tri-dimensional euclidiano, obtido pelas colagens dos lados do ret^angulo
da ¯gura 1.2, conforme as instru»c~oes dadas. Esta superf³cie e chamada toro bidimensional
ordinario. Note que para mergulha-lo no espa»co tridimensional algumas
deforma»c~oeslegaiss~ao necessarias.
Apos a colagem, o ret^angulo deixa de existir, pois, ao contrario do ret^angulo, a
superf³cie do toro plano n~ao tem bordo. O ret^angulo e um exemplo de uma superf³cie
com bordo.
Amaioriadassuperf³cies que estudaremos n~ao t^em bordo, tal como as superf³cies
do toro plano e da esfera. O plano euclidiano tambem n~ao tem bordo, porem ele n~ao e
uma superf³cie fechada, num sentido que adiante tornaremos mais preciso.
Uma segunda superf³cie de¯nida abstratamente e agarrafa de Klein plana. A
garrafa de Klein plana e concebida da seguinte maneira:
Toma-se novamente, como ponto de partida, um ret^angulo plano. Colamos a aresta
superior na inferior, como na constru»c~ao do toro plano. Em seguida, colamos a aresta
esquerda na direita, apos aplicarmos uma \retor»c~ao de 180 ± " numa das extremidades da
faixa retangular. Veja na ¯gura 1.8, o resultado da tentativa de contruir-se um modelo
da garrafa de Klein no espa»co euclidiano tridimensional.
Figura 1.5: A garrafa de Klein plana e representada pelo diagrama acima. As setas
demarcadas no ret^angulo indicam que as arestas de setas simples ser~ao coladas uma
sobre a outra, bem como as arestas de setas duplas, de modo que as setas se \encaixem"
na colagem. Note que para sobrepor as setas duplas, ao colar a aresta direita na
esquerda, e necessario retorcer a faixa retangular antes de colar. Veri¯que que, apos a
colagem, os quatro vertices do ret^angulo ser~ao um so ponto na garrafa Klein.
Observe, na ¯gura 1.6, a faixa retangular ao meio da garrafa de Klein. Esta e uma
faixa de MÄobius. Para construir um modelo da faixa de MÄobius, tome uma tira de papel

6 UFV { VI Reuni~ao Regional da SBM
de uns 30 cm de comprimento por uns 5 cm de largura. Cole ent~ao as extremidades,
apos aplicar uma retor»c~ao de 180 ± a uma das extremidades. Veja ¯gura 1.7.
Figura 1.6: Uma faixa de MÄobius na garrafa de Klein plana.
Figura 1.7: Constru»c~ao de um modelo da faixa de MÄobius.
Figura 1.8: Tentativa de constru»c~ao de um modelo da garrafa de Klein no espa»co
euclidiano tridimensional. No quinto estagio da constru»c~ao, uma das extremidades do
tubo cil³ndrico tem que passar \atraves" da superf³cie, para que os pontos A, B e C
possam ser colados sobre os pontos A 0 , B 0 e C 0 . Como n~ao e permitido cortar a superf³cie,
nossa unica sa³da econstruiragarrafaapartirdeumapel³cula \fantasma". Nesse
caso, a superf³cie da garrafa passa atraves de si mesma, sem porem auto-interceptar-se.

Topologia das superf³cies. Uma introduc»~ao intuitiva 7
Umaterceirasuperf³cie de¯nida abstratamente eoplano projetivo. Para constru³lo,
em vez de uma regi~ao poligonal plana, podemos considerar inicialmente o hemisferio
sul da superf³cie de uma esfera, uma semi-esfera. Colamos ent~ao cada ponto da linha
do equador (bordo da semi-esfera) ao ponto do equador diametralmente oposto. A
superf³cie assim produzida e chamada plano projetivo. Veja ¯gura 1.9.
Figura 1.9: Constru»c~ao do plano projetivo. Os pontos A, B e C s~ao colados nos
pontos diametralmente opostos A 0 , B 0 e C 0 , respectivamente. Assim sendo, o arco
AB sera colado no arco A 0 B 0 ,apos uma retor»c~ao. Tambem ser~ao colados, com uma
retor»c~ao, o arco BC em B 0 C 0 ,eoarcoCA em C 0 A 0 .
Figura 1.10: O plano projetivo tambem pode ser representado por um diagrama plano
circular, de duas arestas curvil³neas, como na ¯gura. Imagine a regi~ao circular plana
como uma semi-esfera achatada, apos uma deforma»c~ao legal. Cada ponto do bordo
circular e colado no ponto diametralmente oposto. Neste caso, a aresta curvil³nea µa
esquerda e coladanaarestacurvil³nea µa direita apos aplicarmos uma retor»c~ao de 180 ±
num dos dois lados. Isto e imposs³vel de se construir no mundo real. Repare que,
apos a colagem, os dois pontos demarcados por A tornam-se um so ponto do plano
projetivo.
1.4 Superf³cies orientaveis
esuperf³cies n~ao orientaveis
Repare na ¯gura 1.11 o que acontece quando o jovem Quadrado, habitante da faixa de
MÄobius, resolve dar um passeio ao longo dela.
Ao retornar do passeio, ele tenta retomar sua posi»c~ao original, dando um giro de
180 ± em torno de si mesmo, mas o melhor que consegue e colocar-se\depe", olhando

8 UFV { VI Reuni~ao Regional da SBM
paraadire»c~ao oposta µa que olhava quando partiu. Por causa disto, dizemos que o
caminho percorrido por Quadrado e umcaminho que inverte orienta»c~ao.
Figura 1.11: Apos um passeio ao longo da faixa de MÄobius, o jovem Quadrado retorna
invertido, assumindo a posi»c~ao de sua \imagem num espelho".
Tornamos a lembrar aqui que nossas superf³cies, por serem ideais, n~ao t^em espessura.
Assim, enquanto Quadrado passeia pela faixa, ele pode ser visto nos \dois
lados" da superf³cie. A frase \dois lados" vem entre aspas porque, na verdade, a faixa
de MÄobius, assim constru³da, dentro do espa»co euclidiano tri-dimensional, tem apenas
umaface(eapenasumbordo).
Uma superf³cie contendo um caminho fechado que inverte orienta»c~ao e chamada
superf³cie n~ao orientavel. Um caminho que inverte orienta»c~ao e um caminho que
pode ser representado pelo diagrama que aparece µa direita na ¯gura 1.6, ou seja, que e,
na verdade, uma faixa de MÄobius. Assim, e n~ao orientavel toda superf³cie que contem
dentro de si uma faixa de MÄobius. Se a superf³cie n~ao contem nenhum caminho fechado
desse tipo ela e umasuperf³cie orientavel.
A garrafa de Klein e o plano projetivo s~ao superf³cies n~ao orientaveis. Ja a esfera
e o toro bi-dimensional s~ao superf³cies orientaveis.
Figura 1.12: Na constru»c~ao do plano projetivo, o arco BC e colado no arco B 0 C 0 apos
uma retor»c~ao. Isto produz uma faixa de MÄobius dentro do plano projetivo.
1.5 Superf³cies fechadas
Uma superf³cie e chamada superf³cie fechada quando n~ao tem bordo e, ao mesmo
tempo, pode ser subdividida em um numero ¯nito de peda»cos triangulares. Isto faz com
que a dist^ancia geodesica entre quaisquer dois de seus pontos nunca seja maior que uma
certa dist^ancia maxima.

Topologia das superf³cies. Uma introduc»~ao intuitiva 9
Suporemos apriorique um tri^angulo numa superf³cie e umapor»c~ao da superf³cie
homeomorfa a uma regi~ao triangular plana. Tal como um tri^angulo plano, um tri^angulo
de uma superf³cie e dotadodetr^es vertices, tr^es arestas e uma face. Assumiremos
tambem que as arestas de um tri^angulo s~ao segmentos geodesicos da superf³cie.
Uma cole»c~ao de tri^angulos de uma superf³cie sera chamada uma triangula»c~ao da
superf³cie se obedecer a certas regras de \bom comportamento", sendo elas:
I. Cada par de tri^angulos da cole»c~aotememcomumumaarestaouumvertice, ou
nada tem comum;
II. Cada aresta de um desses tri^angulos e comum a exatamente dois tri^angulos;
III. Para cada par de pontos A e B da superf³cie, existem tri^angulos, digamos
¢1; ¢2;::: ;¢n, comA na regi~ao triangular ¢1 e B na regi~ao triangular ¢n,
tal que cada dois tri^angulos consecutivos desta seqÄu^encia t^em uma aresta em comum.
Esta condi»c~ao garante que a superf³cie e conexa por caminhos, istoe,
para cada dois pontos A e B da superf³cie, podemos ir de A ate B por um caminho
tra»cado em uma faixa de tri^angulos.
O plano Euclidiano n~ao tem bordo, porem, sempre que ¯xarmos uma dist^ancia
qualquer, havera dois pontos do plano Euclidiano separados por uma dist^ancia maior
que a dist^ancia ¯xada. Assim, apesar de n~ao ter bordo, o plano Euclidiano n~ao e
uma superf³cie fechada, pois n~ao pode ser subdividido em um numero ¯nito de regi~oes
triangulares. Um ret^angulo plano n~ao e umasuperf³cie fechada, pois tem bordo. A
esfera, o toro, a garrafa de Klein e o plano projetivo s~ao superf³cies fechadas.
Por serem reuni~ao de um numero ¯nito de tri^angulos, as superf³cies fechadas s~ao
chamadas superf³cies compactas. Assim, o termo superf³cie fechada e sin^onimo de
superf³cie compacta e sem bordo. O plano euclidiano e triangulavel, porem atraves de
uma cole»c~ao in¯nita de tri^angulos, e por isto n~ao e compacto.
Quando a superf³cie n~ao e fechada e, ao mesmo tempo, n~ao tem bordo, tal como
o plano Euclidiano, ela e chamada de superf³cie aberta.
1.6 Somas conexas de superf³cies
Suponhamos que s~ao dadas duas superf³cies, as quais chamaremos de M e N. Asoma
conexa de M e N e umanovasuperf³cie, que indicaremos por M#N, constru³da da
seguinte maneira. Comece por considerar M e N como duas superf³cies separadas uma
da outra sem pontos em comum, proximas uma da outra.
Em seguida corte e remova uma pequena regi~ao circular de cada uma das duas
superf³cies. Isto criara um pequeno bordo circular em cada uma delas.
Finalmente, estique um pouquinho as duas superf³cies para fora, puxando-as pelos
seus bordos circulares, fazendo com que os dois bordos se aproximem e, ¯nalmente, cole
os bordos circulares um no outro, obtendo a soma conexa de M e N. Veja ¯gura 1.13.

10 UFV { VI Reuni~ao Regional da SBM
Figura 1.13: Exemplo de soma conexa de duas superf³cies. No diagrama inicial, a
superf³cie µa esquerda e umtoro de genus 2 ou bitoro (o bitoro e a soma conexa de
dois toros). No diagrama ¯nal, temos a soma conexa de um bitoro e um toro, o toro
de genus 3.
Um resultado famoso da topologia das superf³cies diz que, alem das quatro superf³cies
basicas vistas anteriormente | a esfera, o toro, a garrafa de Klein e o plano projetivo
| todas as demais superf³cies fechadas conceb³veis s~ao constru³das a partir dessas
superf³cies basicas, atraves de um numero ¯nito de somas conexas. Mais precisamente,
temos os seguintes fatos, a serem esclarecidos no proximo cap³tulo:
1. Toda superf³cie orientavel e, topologicamente, uma esfera ou um toro, ou uma
soma conexa de dois ou mais toros.
2. Toda a superf³cie n~ao orientavel e, topologicamente, um plano projetivo, ou uma
soma conexa de dois ou mais planos projetivos.
O leitor pode perguntar-se porqu^e a garrafa de Klein n~ao foi citada nas duas
propriedades acima. Pode perguntar ainda como ¯ca a soma conexa de uma superf³cie
orientavel com uma n~ao orientavel. A resposta a estas quest~oes vira aseutempo. No
momento, para que pense a respeito dessas quest~oes, adiantaremos dois fatos, deveras
surpreendentes, que estabeleceremos no proximo cap³tulo:
² A garrafa de Klein e, topologicamente falando, a soma conexa de dois planos
projetivos.
² A soma conexa de um toro e um plano projetivo e, topologicamente, a soma
conexa de uma garrafa de Klein com um plano projetivo.

2
Todasassuperf³cies fechadas
conceb³veis
As superf³cies basicas ate agora examinadas ser~ao, a partir de agora, indicadas por
nota»c~oes especiais, conforme a tabela abaixo.
Anota»c~ao que e lida denota a superf³cie
S 2 esse dois esfera bidimensional
T 2 t^e dois toro bidimensional
K 2 ca dois garrafa de Klein
P 2 p^e dois plano projetivo bidimensional
Nosso objetivo neste cap³tulo e deduzir o seguinte resultado:
A lista de todas as superf³cies fechadas conceb³veis e a seguinte:
S 2
T 2 P 2
T 2 #T 2 P 2 #P 2
T 2 #T 2 #T 2 P 2 #P 2 #P 2
.
sendo que, S 2 , T 2 , T 2 #T 2 , T 2 #T 2 #T 2 ,etc.,e a lista (in¯nita) de todas as superf³cies
orientaveis, enquanto que P 2 , P 2 #P 2 , P 2 #P 2 #P 2 ,etc.,e a lista (in¯nita) de todas
as superf³cies n~ao orientaveis.
S 2 aparece somente uma vez na listagem acima porque S 2 e elemento neutro na
soma conexa de superf³cies. Em outras palavras, se M e umasuperf³cie, ent~ao M#S 2
e M s~ao superf³cies homeomorfas, ou seja, topologicamente M#S 2 = M. Entenda isto
examinando a ¯gura 2.1.
A garrafa de Klein parece n~ao fazer parte desta lista mas, na verdade, a soma
conexa de dois planos projetivos e uma garrafa de Klein! Isto e mostrado em detalhes
11
.

12 UFV { VI Reuni~ao Regional da SBM
adiante, pela ¯gura 2.3. Em linguagem simbolica,
P 2 #P 2 = K 2
Figura 2.1: Topologicamente, M#S 2 = M.
Outro fato notavel e o de que a soma conexa de um toro e um plano projetivo e
uma superf³cie homeomorfa µa soma conexa de uma garrafa de Klein e um plano projetivo.
Em linguagem simbolica,
T 2 #P 2 = K 2 #P 2
Reparou que n~ao podemos \cancelar" a superf³cie P 2 emambosostermosdaigualdade
acima?
ConseqÄuentemente,
T 2 #P 2 = P 2 #P 2 #P 2
Se duas superf³cies s~ao representadas por diagramas poligonais planos, ent~ao a
soma conexa delas e facilmente representada por um diagrama poligonal plano, conforme
ilustramos na ¯gura 2.2. Repare que o diagrama da soma conexa de duas superf³cies e
obtido por um \encaixe" dos diagramas das superf³cies, atraves de um vertice escolhido
em cada uma.
Os seguintes fatos s~ao generaliza»c~oesdefatosobservadosnas¯guras2.2e2.3:
² A soma conexa de n toros planos, nT 2 = T 2 # :::#T 2
| {z }
n termos
, que e umtoro de genus
n (um toro com n \buracos"), pode ser representada por uma regi~ao poligonal
plana de 4n lados (um 4n-agono). Um toro e representado por um ret^angulo,
um toro de genus 2e representado por um octogono, um toro de genus 3e
representado por um dodecagono (12-agono), e assim por diante. Alem disso,
no diagrama poligonal de cada uma dessas superf³cies, todos os 4n vertices, apos
colagens, tornam-se um unico ponto da superf³cie.
² Analogamente, a soma conexa de n planos projetivos, n ¸ 2, pode ser representada
por uma regi~ao poligonal plana de 2n lados (um 2n-agono). A garrafa de Klein,

Topologia das superf³cies. Uma introduc»~ao intuitiva 13
soma conexa de 2 planos projetivos, e representada por um ret^angulo, a soma
conexa de 3 planos projetivos e representada por um hexagono, e assim por diante.
Alem disso, tambem no diagrama poligonal de cada uma dessas somas conexas,
todos os 2n vertices correspondem a um unico ponto da superf³cie.
Figura 2.2: Constru»c~ao do diagrama da soma conexa de dois toros (bitoro). Em cada
toro, as arestas s~ao etiquetadas por letras e setas, de modo que arestas etiquetadas
pelas mesmas letras s~ao coladas uma sobre a outra, conforme as orienta»c~oes dadas
pelas setas demarcadas nas arestas. Removendo uma regi~ao circular de cada um dos
toros, tomamos o cuidado de faz^e-lo de modo que cada bordo circular comece e termine
num determinado vertice do diagrama poligonal. Na opera»c~ao de soma conexa das
duas superf³cies, o bordo circular e eent~ao colado no bordo circular f. Como se v^e, isto
gera uma representa»c~ao octogonal do bitoro, com arestas coladas aos pares conforme
o diagrama ¯nal. Note que, ao ¯nal, todos os vertices do octogono ser~ao colados
num so lugar, representando um so ponto no bitoro resultante. Repare tambem que o
diagrama da soma conexa e uma \justaposi»c~ao," atraves dos dois vertices destacados
na ¯gura, dos diagramas das superf³cies somadas.

14 UFV { VI Reuni~ao Regional da SBM
Figura 2.3: A seqÄu^encia de ilustra»c~oes mostra que a soma conexa de dois planos
projetivos e uma garrafa de Klein. Apos o recorte estrategico da soma conexa ao longo
da linha c, opeda»co numero 1 e rebatido em 180 ± em rela»c~ao ao plano do papel, e os
peda»cos 1 e 2 s~ao ent~ao colados ao longo da aresta b. Note que, tambem neste caso,
todos os vertices do ret^angulo resultante s~ao colados num so ponto.
2.1 Diagramas poligonais para todas as superf³cies
fechadas
Nesta se»c~ao trataremos de mostrar que, para cada superf³cie fechada, eposs³vel construir
um diagrama poligonal convexo plano que a representa. Em outras palavras, e poss³vel
construir uma regi~ao poligonal convexa plana, com as arestas etiquetadas aos pares, por
letras e por setas, de modo que, colando-se os pares de arestas com etiquetas iguais,
segundo as orienta»c~oes das setas, reconstru³mos, topologicamente, a superf³cie. Assim,
o diagrama poligonal plano e um \mapa" topologico da superf³cie.
Faremos uso agora da propriedade de que toda superf³cie fechada pode ser subdividida
em um numero ¯nito de peda»cos triangulares.
Sendo dada ent~ao uma superf³cie fechada S, subdividimo-la em tri^angulos, tal
como descrito acima. Num processo de \recorte", \decompomos" a superf³cie S em
peda»cos triangulares, dispondo-os, separadamente uns dos outros, num plano euclidiano,
deformando-os em tri^angulos euclidianos planos, conforme necessario.
Em seguida, etiquetamos (nomeamos) as arestas desses tri^angulos por letras a, b,

Topologia das superf³cies. Uma introduc»~ao intuitiva 15
c, etc., de modo a guardar a informa»c~ao da \colagem" organizada que deve ser levada a
termo se quisermos reconstruir a superf³cie original. Se duas arestas devem ser coladas
uma na outra, etiquetamos ambas com a mesma letra.
Nesse \desmonte" da superf³cie, alem da etiquetagem das arestas por letras,
tambem etiquetamos as arestas com setas, de modo a manter a informa»c~ao acerca
de como s~ao colados dois tri^angulos quando t^em uma aresta em comum. As setas demarcadas
s~ao necessarias para nos indicar, em pares de arestas a serem coladas, quais
s~ao os vertices iniciais e quais s~ao os vertices ¯nais.
Uma vez conclu³da a decomposi»c~ao e subseqÄuente etiqueta»c~ao de arestas conforme
descrito acima, procedemos a uma recolagem estrategica dos tri^angulos, a ¯m de obter
o que chamamos de uma representa»c~ao poligonal plana da superf³cie.
Figura 2.4: Constru»c~ao de um diagrama poligonal representando a esfera, atraves de
uma triangula»c~ao da superf³cie esferica.
A recolagem estrategica e feita da seguinte maneira:
Tomamos um dos tri^angulos \recortados," digamos que ele tenha arestas a; b e c, e
procuramos,dentreosdemaistri^angulos, um que tenha tambem uma aresta etiquetada
com uma dessas tr^es letras.
\Colamos" os dois tri^angulos, um no outro, ao longo de uma aresta com etiqueta
comum, respeitando a orienta»c~ao de colagem ditada pelas setas demarcadas, isto e,
colando as arestas de modo que as setas demarcadas se justaponham.
O quadrilatero plano formado pela colagem desses dois tri^angulos e ent~ao deformado,
caso necessario, de modo a tornar-se convexo.
Em seguida, procuramos, dentre os tri^angulos restantes, um que tenha uma aresta
com mesma etiqueta de um dos lados desse quadrilatero.
Colamos o tri^angulo no quadrilatero e deformamos a nova ¯gura poligonal, agora

16 UFV { VI Reuni~ao Regional da SBM
com seis arestas, de modo a torna-la convexa.
Se n~ao houver mais tri^angulos remanescentes, o processo de colagem termina.
Caso contrario, prosseguimos sempre procurando um tri^angulo remanescente que
tenha uma aresta de mesma etiqueta de uma das arestas da ¯gura poligonal obtida ate
omomento.
Em cada estagio, havendo tri^angulos remanescentes, sempre seraposs³vel encontrar
um tri^angulo que tenha etiqueta (letra) em comum com uma das arestas da regi~ao
poligonal obtida ate ent~ao. Istosedeveaofatodeque,seiston~ao for poss³vel, ent~ao as
arestas da regi~ao poligonal formada estar~ao repetidas aos pares e essa regi~ao ja estara
representando ent~ao uma superf³cie fechada, estando esta superf³cie \desconectada" dos
demais tri^angulos, n~ao sendo portanto conexa por caminhos, violando a 3 a condi»c~ao de
\bom comportamento" da triangula»c~ao.
Assim prosseguimos ate obter uma regi~ao poligonal convexa de um numero par de
lados, representando a superf³cie S. Nesta superf³cie, as arestas estar~ao identi¯cadas,
ou seja, etiquetadas, aos pares, com letras iguais. Talvez as letras do alfabeto latino
n~ao sejam su¯cientes para a etiquetagem de todas as arestas. Nesse caso podemos, por
exemplo, etiquetar as arestas com numeros inteiros positivos.
Certas representa»c~oes poligonais de superf³cies provem de simpli¯ca»c~oes de representa»c~oes
poligonais com maior numero de arestas. E o caso, por exemplo, das representa»c~oes
ja vistas do toro plano e da garrafa de Klein plana, da representa»c~ao circular
do plano projetivo e da representa»c~ao circular da esfera (permitindo-nos, nestes casos,
o uso de arestas curvil³neas). Veja ¯gura 2.5.
Figura 2.5: Representa»c~oes poligonais simpli¯cadas das quatro superf³cies fechadas
\basicas".

Topologia das superf³cies. Uma introduc»~ao intuitiva 17
2.2 Paracadasuperf³cie fechada, uma \palavra"
Uma vez que podemos representar cada superf³cie fechada por um diagrama poligonal
plano com arestas etiquetadas por letras e setas, veremos agora que, a cada representa-
»c~ao poligonal de uma superf³cie fechada, podemos associar uma \senha" ou \palavra"
que guarda toda a informa»c~ao acerca dessa con¯gura»c~ao poligonal plana, bem como
das letras e setas etiquetando suas arestas. Uma tal senha e chamada uma palavra
representa»c~ao da superf³cie.
Para montarmos uma palavra representa»c~ao de uma superf³cie, tomamos uma representa»c~ao
poligonal plana da mesma e percorremos o contorno do pol³gono, a partir de
um vertice qualquer, no sentido horario ou anti-horario, realizando uma volta completa.
Nesse percurso, ao passarmos por cada aresta, anotamos a letra que da onome
µa aresta. Anexamos-lhe porem um \expoente" ¡1 caso estejamos percorrendo a aresta
no sentido contrario ao da seta nela demarcada. Assim, ao passarmos por uma aresta,
digamos c, se nosso sentido de percurso for a favor do sentido da seta em c, escrevemos
\c". Se o nosso sentido de percurso for contrario ao sentido indicado pela seta,
escrevemos \c ¡1 ".
Justapondo ent~ao as anota»c~oes das sucessivas arestas, com expoentes \¡1" anexados
quando for o caso, formamos uma senha ou palavra que guarda toda a informa»c~ao
acerca da representa»c~ao poligonal da superf³cie.
Observe as representa»c~oes poligonais do toro, da garrafa de Klein, da esfera e do
plano projetivo, dadas na ¯gura 2.5. A partir delas, escrevemos as nossas primeiras
palavras representa»c~oes:
superf³cie palavra
toro plano aba ¡1 b ¡1
garrafa de Klein aba ¡1 b
esfera aa ¡1
plano projetivo aa
Escrevemos ent~ao S 2 ´ aa ¡1 , T 2 ´ aba ¡1 b ¡1 , K 2 ´ aba ¡1 b e P 2 ´ aa.
Quando M e umasuperf³cie e W e uma palavra representa»c~ao que a representa,
escrevemos M ´ W .SeW1 e W2 s~ao palavras representando superf³cies homeomorfas,
tambem escrevemos W1 ´ W2.
Numa representa»c~ao poligonal de uma superf³cie fechada, as arestas s~ao etiquetadas
aos pares com letras iguais. Assim, a palavra representa»c~ao de uma superf³cie tera
sempre letras repetidas aos pares.
Reciprocamente, suponhamos que nos e dada uma palavra dessa natureza, digamos
acdc ¡1 db ¡1 a ¡1 b
Nesta palavra, cada letra e dada duas vezes, num total de 8 letras, contadas as
repeti»c~oes. Assim, trata-se da palavra associada a um diagrama octogonal. Deste modo,

18 UFV { VI Reuni~ao Regional da SBM
esbo»camos um octogono e nele etiquetamos as arestas, seqÄuencialmente, conforme as
letras dadas na palavra, por a; c; d; c; d; b; a; b. Em seguida, percorrendo o per³metro
octogonal no sentido horario,apartirdaprimeiraarestaa, demarcamos uma seta em
cada aresta, apontando contra ou a favor do sentido do percurso, conforme tenhamos
ou n~ao, na palavra dada, a presen»ca do expoente ¡1 na letra correspondente µa aresta
sendo percorrida. No caso deste nosso exemplo, a palavra dada, acdc ¡1 db ¡1 a ¡1 b, esta
associada ao diagrama da ¯gura 2.6.
Figura 2.6: O diagrama acima esta associado µa palavraacdc ¡1 db ¡1 a ¡1 b. Percorrendo
o bordo do octogono em sentido anti-horario, a partir do vertice destacado, deduzimos
que o mesmo diagrama tambem esta associado µa palavra b ¡1 abd ¡1 cd ¡1 c ¡1 a ¡1 .
Veri¯que que os oito vertices, apos as colagens, de¯nem um unico ponto na superf³cie.
2.3 A palavra representa»c~aodeumasomaconexa
Um fato notavel sobre as palavras representa»c~oes de superf³cies e que, sendo dadas duas
superf³cies S1 e S2, tendo elas palavras representa»c~oes W1 e W2, tomando-se o cuidado
de usar em W1 letras diferentes das usadas em W2, asuperf³cie S1#S2, soma conexa
de S1 e S2, tem palavra representa»c~ao W1W2, ouseja,
A palavra representa»c~ao de S1#S2 e obtida por justaposi»c~ao das palavras representa»c~oes
de S1 e S2, desde que estas n~ao tenham letras em comum.
Assim, por exemplo, a soma conexa de dois toros, o bitoro, e representada pela
palavra aba ¡1 b ¡1 cdc ¡1 d ¡1 ,obtidapelajustaposi»c~ao das palavras aba ¡1 b ¡1 e cdc ¡1 d ¡1 ,
cada uma destas representando um toro. Isto pode ser observado diretamente atraves
da ¯gura 2.2, µa pagina 13. Va atela e con¯ra.
Outros exemplos de palavras representando somas conexas s~ao:
² P 2 #P 2 ´ aabb
² T 2 #S 2 ´ aba ¡1 b ¡1 cc ¡1
² K 2 #P 2 ´ aba ¡1 bcc
Observe tambem que se uma palavra representa»c~ao W e formada por dois blocos
consecutivos A e B, sem letras em comum, ent~ao W representaasomaconexade

Topologia das superf³cies. Uma introduc»~ao intuitiva 19
duas superf³cies, a primeira representada por A e a segunda representada por B. Assim,
por exemplo, W = abacb ¡1 cxyx ¡1 y ¡1 representa a soma conexa das superf³cies S1 ´
abacb ¡1 c e S2 ´ xyx ¡1 y ¡1 .
2.4 Transformando palavras sem alterar a topologia
Dada uma palavra representa»c~ao de uma superf³cie, podemos aplicar a ela certas transforma»c~oes,
sem alterar a topologia da superf³cie. Trataremos aqui das mais importantes.
Daqui em diante, representaremos a soma conexa de n toros por nT 2 ,eaden
planos projetivos por nP 2 . As superf³cies da esfera, da soma conexa de n toros, e da
soma conexa de n planos projetivos s~ao, respectivamente, representadas pelas palavras
1. S 2 ´ aa ¡1 ;
2. nT 2 ´ a1b1a ¡1
1 b ¡1
1 :::anbna ¡1
n b ¡1
n ;
3. nP 2 ´ a1a1 :::anan.
Nesta se»c~ao provaremos que, n~ao importa qual seja a palavra representa»c~ao de
uma superf³cie, e poss³vel aplicar a essa palavra um certo numero de transforma»c~oes e,
sem alterar a topologia da superf³cie, chegar a uma palavra com uma das tr^es formas
acima. Convencionaremos que 1T 2 = T 2 , 1P 2 = P 2 , e que 0T 2 =0P 2 = S 2 ,ja que
S 2 e elemento neutro da soma conexa de superf³cies.
2.4.1 Transforma»c~oes praticamente obvias
Estudaremos agora um conjunto de oito transforma»c~oes de palavras que preservam a
topologia das superf³cies representadas. Com tal conjunto de transforma»c~oes, nos sera
poss³vel classi¯car as superf³cies fechadas em termos de somas conexas de toros e de
planos projetivos.
Transforma»c~ao 1 Sendo A e B blocos de letras quaisquer,
Axx ¡1 B ´ AB ´ Ax ¡1 xB
Demonstra»c~ao. Esta propriedade e demonstrada geometricamente pelos passos delineados
na ¯gura 2.7.
Adotaremos a conven»c~ao aa ¡1 =1=a ¡1 a, tendo portanto S 2 ´ 1.
Em palavras tais como Axx ¡1 B, AxBx ¡1 C, bem como em outras a serem descritas
adiante, cada um dos blocos de letras A, B, C, etc., pode ser vazio (ausente)
ou n~ao. Quando um bloco A esta ausente, escrevemos A ´ 1. Assim, por exemplo,
a palavra xBx ¡1 C tem a forma AxBx ¡1 C, sendo A ´ 1. Analogamente Axx ¡1 B
tambem tem a forma AxCx ¡1 B, sendo C ´ 1. A palavra vazia, W ´ 1,e representa»c~ao
da esfera S 2 .

20 UFV { VI Reuni~ao Regional da SBM
Figura 2.7: Axx ¡1 B ´ AB.
Transforma»c~ao 2 Sendo x uma letra na palavra representa»c~ao W , podemos em W
trocar simultaneamente x por x ¡1 e x ¡1 por x. Em outras palavras,
1. AxBx ¡1 C ´ Ax ¡1 BxC, e
2. AxBxC ´ Ax ¡1 Bx ¡1 C
para quaisquer blocos de letras A, B e C.
Demonstra»c~ao. Tais transforma»c~oes s~ao obtidas quando fazemos uma segunda escolha
para a orienta»c~ao das setas correspondentes µa informa»c~ao de colagem das arestas x. A
¯gura 2.8 ilustra geometricamente a transforma»c~ao do item 1. A transforma»c~ao do item
2e justi¯cada com diagrama analogamente simples.
Figura 2.8: Ambos os diagramas representam a mesma superf³cie.

Topologia das superf³cies. Uma introduc»~ao intuitiva 21
Transforma»c~ao 3 Se A e B s~ao dois blocos consecutivos, constituindo uma palavra
representa»c~ao W ,istoe, se W = AB, ent~ao podemos permuta-los,ouseja,
AB ´ BA
Demonstra»c~ao. W = AB e palavra formada quando percorremos o diagrama poligonal
da superf³cie, representada por W ,desdeaprimeiraarestadoblocoA ate aultima
aresta do bloco B. Mantendo o mesmo sentido de percurso, se percorrermos esse
diagrama partindo da primeira aresta do bloco B e chegando µa ultima aresta do bloco
A, formaremos a palavra representa»c~ao BA. PortantoAB e BA representam a mesma
superf³cie.
Como exemplo da transformacao 3 temos:
a ¡1 b ¡1 ccab = a ¡1 b ¡1 cc
| {z }
A
ab
|{z}
B
´ ab
|{z}
B
a ¡1 b ¡1 cc = aba ¡1 b ¡1 cc
| {z }
A
Sendo A um bloco de letras numa palavra W , representamos por A ¡1 o inverso
do bloco A, quee de¯nido da seguinte maneira: se A e resultante da \leitura" de um
blocodeletrasdapalavraW , quando o bordo da regi~ao poligonal correspondente a W
e percorridonosentidohorario, ent~ao A ¡1 representa o mesmo bloco quando o bordo
da regi~ao poligonal e percorridonosentidoanti-horario.
Por exemplo,
² se A = abc, ent~ao A ¡1 = c ¡1 b ¡1 a ¡1 ;
² se A = ab ¡1 c ¡1 d ent~ao A ¡1 = d ¡1 cba ¡1
De um modo geral, temos (com uma nota»c~ao n~ao muito esclarecedora), se A =
a §1
1 a §1
2 :::a §1
n¡1a §1
n ent~ao A ¡1 = a ¨1
n a ¨1
n¡1 :::a ¨1
2 a ¨1
1 . Aqui, a +1
k signi¯ca ak.
Transforma»c~ao 4 Se W e palavra representa»c~ao de uma superf³cie S, ent~ao W ¡1
tambem o e. Em outras palavras,
W ´ W ¡1
Demonstra»c~ao. W e W ¡1 s~ao resultados de \leituras", do bordo do pol³gono que
representa a superf³cie S, em dois percursos com orienta»c~oes contrarias, um no sentido
horario,outronosentidoanti-horario.
Na ¯gura 2.6, temos um exemplo ilustrando a transforma»c~ao 4.
Como exemplo, se W = abca ¡1 c ¡1 b,ent~ao
W ¡1 = (abca ¡1 c ¡1 b) ¡1
= b ¡1 (c ¡1 ) ¡1 (a ¡1 ) ¡1 c ¡1 b ¡1 a ¡1
= b ¡1 cac ¡1 b ¡1 a ¡1
Assim sendo, pela tranforma»c~ao 4, abca ¡1 c ¡1 b ´ b ¡1 cac ¡1 b ¡1 a ¡1

22 UFV { VI Reuni~ao Regional da SBM
2.4.2 Uma transforma»c~ao inacreditavel
Transforma»c~ao 5
AxBCx ¡1 ´ AxCBx ¡1
Em outras palavras, sendo x uma letra numa palavra representa»c~ao, podemos permutar
dois blocos de letras quaisquer localizados entre x e x ¡1 .
Demonstra»c~ao. Esta propriedade e demonstrada na ¯gura 2.9.
Figura 2.9: AxBCx ¡1 ´ AxCBx ¡1 . Ao ¯nal das transforma»c~oes, podemos reatribuir
o nome x µas arestas y, ja que a antiga aresta x deixou de existir durante as transforma»c~oes
de recorte e colagem aplicadas ao diagrama original.

Topologia das superf³cies. Uma introduc»~ao intuitiva 23
2.4.3 Uma transforma»c~ao esperta
Transforma»c~ao 6
bem como tambem
AxBxC ´ AxxB ¡1 C
AxBxC ´ AB ¡1 xxC
Demonstra»c~ao. A propriedade AxBxC ´ AxxB ¡1 C e demonstrada na ¯gura 2.10.
Como exerc³cio, tente demonstrar, de maneira analoga, que AxBxC ´ AB ¡1 xxC.
Figura 2.10: AxBxC ´ AxxB ¡1 C. Ao ¯nal das transforma»c~oes, podemos reatribuir o
nome x µas arestas y,ja que a antiga aresta x deixou de existir durante as transforma»c~oes
de recorte e colagem aplicadas ao diagrama original.

24 UFV { VI Reuni~ao Regional da SBM
2.4.4 Duas transforma»c~oes imprescind³veis
Transforma»c~ao 7
AxByCx ¡1 Dy ¡1 ´ xyx ¡1 y ¡1 ADCB
Demonstra»c~ao. Como veremos, combinando-se estrategicamente as transforma»c~oes 3
(AB ´ BA) e5(AxBCx ¡1 ´ AxCBx ¡1 ), a palavra µa esquerda e transformada na
palavra µa direita.
Para maior clareza, indicamos entre par^enteses os blocos sendo permutados em
cada passo.
AxByCx ¡1 Dy ¡1 = Ax(B)(yC)x ¡1 Dy ¡1
Transforma»c~ao 8
´ Ax(yC)(B)x ¡1 Dy ¡1
= AxyCBx ¡1 Dy ¡1
= Axy(CB)(x ¡1 D)y ¡1
´ Axy(x ¡1 D)(CB)y ¡1
= Axyx ¡1 DCBy ¡1
(transforma»c~ao 5)
(transforma»c~ao 5)
= (Axy)(x ¡1 DCBy ¡1 )
´ (x ¡1 DCBy ¡1 )(Axy) (transforma»c~ao 3)
= x ¡1 DCBy ¡1 Axy
= x ¡1 (DCB)(y ¡1 A)xy
´ x ¡1 (y ¡1 A)(DCB)xy (transforma»c~ao 5)
= x ¡1 y ¡1 ADCBxy
= (x ¡1 y ¡1 ADCB)(xy)
´ (xy)(x ¡1 y ¡1 ADCB) (transforma»c~ao 3)
= xyx ¡1 y ¡1 ADCB
Axxaba ¡1 b ¡1 B ´ AxxaabbB
Demonstra»c~ao. Esta transforma»c~ao e obtida por combina»c~oes das transforma»c~oes 2, 5
e6.
bem como
Recordemo-nos de que, conforme a transforma»c~ao 6, temos
AxxUV ´ AxU ¡1 xV;
AxUxV ´ AxxU ¡1 V:

Topologia das superf³cies. Uma introduc»~ao intuitiva 25
Assim sendo,
Axxaba ¡1 b ¡1 B = Axx(ab)a ¡1 b ¡1 B
´ Ax(ab) ¡1 xa ¡1 b ¡1 B (transforma»c~ao 6)
= Axb ¡1 a ¡1 xa ¡1 b ¡1 B
´ AxbaxabB (transforma»c~ao 2)
= Axb(axa)bB
´ Axbb(axa) ¡1B (transforma»c~ao 6)
= Axbba ¡1x ¡1a ¡1B ´ Axbbax ¡1aB (transforma»c~ao 2)
= Axbba(x ¡1 )aB
´ AxbbaaxB (transforma»c~ao 6)
= Ax(bbaa)xB
´ Axx(bbaa) ¡1 B (transforma»c~ao 6)
´ Axxa ¡1 a ¡1 b ¡1 b ¡1 B
´ AxxaabbB (transforma»c~ao 2)
Na palavra AxBx ¡1 C, dizemos que o par x e x ¡1 eumpar concordante, ja
que neste caso as arestas s~ao coladas uma na outra sem retor»c~ao. Tal par e tambem
chamado par de inversos.
Na palavra AxBxC, dizemos que o par de letras x e x e umpar retorcido, ja
que tal par corresponde µa colagem, com uma retor»c~ao de 180 ± , de uma aresta em outra,
ou seja, corresponde µa presen»ca de uma faixa de MÄobius na superf³cie representada pela
palavra. Para simpli¯car, tambem podemos chamar tal par de par de letras repetidas.
Assim, uma superf³cie e orientavel se uma palavra representa»c~ao dela possui somente
pares de inversos. Em contrapartida, se uma palavra representa»c~ao de superf³cie
possui um par de letras repetidas, a superf³cie e n~ao orientavel.
2.5 Listando todas as superf³ciesfechadasorientaveis
Consideremos uma superf³cie orientavel, digamos S, a qual possui uma palavra representa»c~ao,
digamos W . Sendo S orientavel, W possui somente pares de letras concordantes,
ou seja, pares de inversos.
Diremos que os pares de inversos x; x ¡1 e y;y ¡1 s~ao pares mutuamente separados
em W se, a menos da transforma»c~ao 3, em W ,entrex e x ¡1 temos y ou y ¡1 ,
mas n~ao ambos, como por exemplo se W ´ AxByCx ¡1 Dy ¡1 .
Nesta se»c~ao, trataremos de estabelecer dedutivamente o seguinte
Resultado 1 Toda superf³cie fechada orientavel e uma esfera, ou um toro, ou uma
soma conexa de dois ou mais toros.

26 UFV { VI Reuni~ao Regional da SBM
Esse resultado e conseqÄu^encia de duas propriedades de palavras representa»c~oes de
superf³cies orientaveis, que s~ao as propriedades 1 e 2 enunciadas e deduzidas a seguir.
Propriedade 1 Se W e palavra representa»c~ao de uma superf³cie orientavel, e W n~ao
possui pares de letras mutuamente separadas, ent~ao W ´ 1, ou seja, a superf³cie
representada por W e uma esfera.
Demonstra»c~ao. Se W tem apenas duas letras, ent~ao, obviamente, W ´ xx ¡1 ´ 1.
Se W possui quatro letras, n~ao tendo pares de letras mutuamente separadas, as
unicas possibilidades para W s~ao: xx ¡1 yy ¡1 , xx ¡1 y ¡1 y, xyy ¡1 x ¡1 , xy ¡1 yx ¡1 . Em
todos estes casos, W ´ 1.
Se W possui seis letras, duas delas sendo x e x ¡1 , podemos escrever W ´
AxBx ¡1 , tendo o bloco A duas ou quatro letras. Como W n~ao possui pares de letras
mutuamente separadas, os blocos A e xBx ¡1 n~ao podem ter letras em comum
e tampouco letras mutuamente separadas. Como os blocos A e xBx ¡1 t^em duas ou
quatro letras cada, temos, pelos casos anteriores, A ´ 1 e xBx ¡1 ´ 1. Logo, W ´ 1.
Se W tem oito letras, teremos W ´ CyDy ¡1 , tendo C ao menos duas letras, com
C e D sem letras em comum e sem pares de letras mutuamente separadas. Isto quer
dizer, conforme observado na se»c~ao 2.3, que W representa uma soma conexa S1#S2,
com S1 ´ C e S2 ´ yDy ¡1 . Como C e yDy ¡1 s~ao palavras com menor numero de
letras (seis ou menos), temos C ´ 1 e yDy ¡1 ´ 1, eent~ao W ´ 1.
Os casos em que W tem dez ou mais letras recaem, por sua vez, em casos de
palavras menores e, analogamente, concluiremos que W ´ 1.
(A demonstra»c~ao matematicamente correta desta propriedade e feita por indu»c~ao
sobre n, sendo 2n onumerodeletrasdapalavraW .)
Assim sendo, W e palavra representac~ao da esfera S 2 .
Propriedade 2 Se W e palavra representa»c~ao de uma superf³cie orientavel S, eW
possui pares de letras mutuamente separadas, ent~ao S e um toro ou uma soma conexa
de toros.
Demonstra»c~ao. Suponhamos que W tem pares x; x ¡1 e y; y ¡1 , mutuamente separados.
Apos aplicar a transforma»c~ao2aW , caso necessario, podemos supor
Pela transforma»c~ao 7,
sendo W0 = ADBC.
W ´ AxByCx ¡1 Dy ¡1
W ´ xyx ¡1 y ¡1 ADBC = xyx ¡1 y ¡1 W0;
Se ADBC e um bloco vazio, W = xyx ¡1 y ¡1 ´ T 2 . Caso contrario, como as
letras x e y ja n~ao aparecem em W0, temos que W representa a soma conexa de duas
superf³cies, T 2 ´ xyx ¡1 y ¡1 e S0 ´ W0, sendo S0 uma superf³cie orientavel.

Topologia das superf³cies. Uma introduc»~ao intuitiva 27
Caso W0 tambem tenha pares de letras mutuamente separadas, deduzimos
analogamente que
eent~ao
W0 ´ x1y1x ¡1
1 y¡1
1 W1
W ´ xyx ¡1 y ¡1 x1y1x ¡1
1 y¡1
1 W1
Neste caso, teremos S ´ T 2 #T 2 #S1, comS1 orientavel, S1 ´ W1.
Assim prosseguindo, chegaremos ¯nalmente µa conclus~ao de que
W ´ xyx ¡1 y ¡1 x1y1x ¡1
1 y¡1
1 :::xnynx ¡1
n y¡1
n Wn
sendo Wn uma palavra sem pares de letras mutuamente separadas.
Em outras palavras, W ´ T 2 # ¢¢¢#T 2
| {z }
n termos
#Sn ´ (nT 2 )#Sn, Sn orientavel, Sn ´
Wn, sendo Wn uma palavra sem pares de letras mutuamente separadas.
Como visto, pela propriedade 1, Wn ´ 1, logo W ´ nT 2 .
Demonstra»c~ao do resultado 1. Suponhamos que S e umasuperf³cie fechada orientavel, e
tomemos uma palavra W representa»c~ao de S. SeW n~ao tem pares de letras mutuamente
separadas, ent~ao, pela propriedade 1, W ´ 1, ouseja,S e uma esfera. Caso contrario,
pela propriedade 2, S e um toro ou uma soma conexa de toros.
2.6 Listando as superf³cies fechadas e n~ao orientaveis
Nesta se»c~ao estabeleceremos o
Resultado 2 Toda superf³cie fechada n~ao orientavel e um plano projetivo ou uma
soma conexa de planos projetivos.
Demonstra»c~ao. Seja S uma superf³cie n~ao orientavel e W uma palavra representa»c~ao
de S. Como S e n~ao orientavel, W tem a forma AxBx para certos blocos de letras A
e B. Pela transforma»c~ao 6, temos
W = AxBx ´ AxxB ¡1 ´ xA ¡1 xB ¡1 ´ xxAB ¡1
Assim, W ´ xxW0, tendo W0 as demais letras de W .
Isto quer dizer que podemos, por sucessivas aplica»c~oes da transforma»c~ao 6, coletar
todos os pares de letras repetidas, colocando-as no in³cio da palavra W .
Teremos ent~ao W ´ x1x1 :::xnxnB (n ¸ 1), sendo B um bloco sem pares de
letras repetidas, ou seja, contendo somente pares de inversos. Assim, pelas observa»c~oes
da se»c~ao 2.3,
W ´ P 2 # ¢¢¢#P 2
| {z }
n termos
#M
sendo M uma superf³cie orientavel representada pela palavra B.

28 UFV { VI Reuni~ao Regional da SBM
Pelo resultado 1, M e uma esfera ou uma soma conexa de n toros, ou seja M ´
aa ¡1 ´ 1 ou M ´ a1b1a ¡1
1 b ¡1
1 :::ambma ¡1
m b ¡1
m ,comm ¸ 1. Se M ´ 1, terminamos.
Caso contrario, teremos ent~ao
ou seja,
W ´ x1x1 :::xnxna1b1a ¡1
1 b¡1 1 :::ambma ¡1
m b¡1 m
Por sucessivas aplica»c~oes da transforma»c~ao 8, chegaremos ¯nalmente a
W ´ x1x1 :::xnxna1a1b1b1 :::amambmbm ´ P 2 # :::#P 2
| {z }
n+m termos
W ´ (m + n)P 2
eportantoS e uma soma conexa de m + n planos projetivos.

3
Um pouco da geometria das
superf³cies
3.1 Superf³ciessuavesepontosc^onicos
No cap³tulo 2, vimos que toda superf³cie fechada pode ser representada por um diagrama
poligonal plano. A superf³cie e constru³da colando-se, uns nos outros, pares de arestas
da regi~ao poligonal, segundo certas instru»c~oes de colagem.
Mas nem sempre as colagens de lados opostos de uma regi~ao poligonal plana
produzem superf³cies suaves, num sentido que trataremos de esclarecer agora.
Diremos que uma superf³cie e suave se,paracadapontodasuperf³cie, e para
cada linha geodesica passando por ele, podemos tra»car uma (e so uma) segunda linha
geodesica, pelo mesmo ponto, perpendicular µa primeira. Esta de¯ni»c~ao de superf³cie
suave pode parecer estranha, mas servira plenamente aos nossos propositos.
Figura 3.1: Uma superf³cie suave.
Oques~ao geodesicas perpendiculares? Se duas geodesicas de uma superf³cie
passam por um ponto, de¯ne-se um ^angulo entre elas da seguinte maneira. Assumimos
que ao menos uma pequena parte da superf³cie, onde esteja o ponto dado, situa-se
num espa»co euclidiano de dimens~ao tr^es. Tra»camos, por esse ponto, interse»c~ao das
geodesicas, duas retas desse espa»co euclidiano, tangentes µas geodesicas nesse ponto.
O^angulo formado entre as retas e o^angulo formado pelas duas geodesicas no ponto.
29

30 UFV { VI Reuni~ao Regional da SBM
Quando duas geodesicas formam um ^angulo reto num ponto de interse»c~ao, dizemos que
elas s~ao geodesicas perpendiculares nesse ponto. Da³, em torno de cada ponto, o ^angulo
correspondente a uma volta completa em torno dele medira quatro ^angulos retos, ou
360 ± .
Para exempli¯car agora o conceito de ponto c^onico, considere agora a superf³cie
obtida, a partir de um quadrado, por colagens feitas como na ¯gura 3.2.
Note que se um habitante dessa superf³cie resolve andar em c³rculos, em torno do
ponto A, ele seguira asdire»c~oes dos arcos com setas da ¯gura. Note ent~ao que ele,
em cada volta completa em torno de A, varrera um^angulo total de 90 ± +90 ± =180 ± ,
ao inves de 360 ± ! Neste caso, a colagem conforme a ¯gura produz pontos c^onicos na
superf³cie (os pontos B e C tambem s~ao c^onicos: giros completos em torno de B e
C perfazem apenas 90 ± ). A interpreta»c~ao da colagem, nas proximidades do ponto A,
no espa»co euclidiano tridimensional, produziria um cone de vertice em A. Assim, as
colagens realizadas nesse quadrado n~ao produzem uma superf³cie suave pois, pelo ponto
A n~ao podemos tra»car duas geodesicas perpendiculares entre si, ja que e imposs³vel um
giro de 360 ± em torno de A.
Figura 3.2: Que superf³cie e (topologicamente) representada por este diagrama?
Figura 3.3: Nos diagramas da ¯gura, os quatro cantos dos ret^angulos representam um
mesmo ponto A no toro (µa esquerda) ou na garrafa de Klein (µa direita). Assim, em
torno do ponto A e poss³vel um giro de 360 ± e portanto, nos diagramas do toro plano
e da garrafa de Klein, os vertices dos ret^angulos n~ao d~ao origem a pontos c^onicos.
Em suma, um ponto c^onico numa superf³cie e um ponto em torno do qual a
superf³cie e parecida com um cone, tendo esse ponto como vertice. De um modo geral,
consideraremos que um ponto de uma superf³cie e c^onico quando um percurso circular
emtornodopontoperfazum^angulo menor que 360 ± .

Topologia das superf³cies. Uma introduc»~ao intuitiva 31
Figura 3.4: Apos as colagens de pares de arestas segundo as intru»c~oes dadas, os oito
vertices do octogono regular tornam-se um unico ponto A. Um giro completo em torno
do ponto A perfara 8 £ 135 ± = 1080 ± . Neste caso, A e umpontoc^onico negativo.
Quando uma superf³cie e obtida por colagens de pares de arestas de uma regi~ao
poligonal plana, pode ocorrer tambem o aparecimento de pontos c^onicos negativos.
Um ponto da superf³cie e umpontoc^onico negativo se um giro em torno dele perfaz um
^angulo maior que 360 ± . Veja exemplo na ¯gura 3.4.
Uma superf³cie e umasuperf³ciesuaveseelan~ao apresenta pontos c^onicos e nem
pontos c^onicos negativos.
3.2 Superf³cies de geometria euclidiana
Recordemo-nos de que um tri^angulo, numa superf³cie, e umapor»c~ao da superf³cie homeomorfa
a uma regi~ao triangular plana, com as arestas sendo segmentos geodesicos da
superf³cie.
Se recortarmos a superf³cie segundo os lados de um tri^angulo, ela ¯ca subdividida
em duas regi~oes separadas uma da outra, uma delas sendo a \face" do tri^angulo.
Figura 3.5: Tri^angulos no toro plano e na esfera. Os segmentos geodesicos DE,
EF e FD n~ao determinam um tri^angulo no toro, pois se o toro plano e recortado
segundo esses segmentos, ele n~ao ¯ca dividido em duas partes. Na esfera, os segmentos
geodesicos AB, BC e CA determinam dois tri^angulos (ambos tendo em comum os
lados AB, BC e CA), mas no toro, os segmentos MN, NP e PM determinam
apenas um.

32 UFV { VI Reuni~ao Regional da SBM
Dizemos que uma superf³cie tem uma geometria euclidiana se, em cada tri^angulo
dessa superf³cie, a soma dos ^angulos internos e 180 ± (= ¼ radianos). O plano
bidimensional euclidiano E 2 e dotado de uma geometria euclidiana, conforme ilustra a
¯gura 3.6.
Figura 3.6: Os ^angulos demarcados de modos iguais (^angulos \alternos internos") s~ao
congruentes, isto e, t^em mesma medida. Os tr^es ^angulos demarcados em torno do
vertice C t^em soma igual a 180 ± (ou ¼ radianos), que e tambem a soma dos ^angulos
internos do tri^angulo ABC.
Tambem no toro plano e na garrafa de Klein plana, a soma dos ^angulos internos
de um tri^angulo e 180 ± . IstoporqueotoroplanoeagarrafadeKleins~ao constru³dos
apartirdeumret^angulo plano, por colagens de lados opostos uns nos outros. Assim
sendo, o toro plano e a garrafa de Klein plana s~ao superf³cies de geometria euclidiana.
3.3 A geometria da esfera ou geometria el³ptica
Consideremos a superf³cie de uma esfera de raio de comprimento r. Nessa esfera, as
geodesicas s~ao os grandes c³rculos ou c³rculos maximos, assim chamados os c³rculos,
nela tra»cados, cujos raios tambem t^em comprimento r. Se o personagem Quadrado
(veja pagina 8) for um habitante da superf³cie da esfera, e seguir andando sempre em
frente nessa superf³cie (imagine que ele habite uma grande esfera), sem desviar-se para
a direita e nem para a esquerda, ele percorrera um grande c³rculo. C³rculos de raios
menores, tra»cados na esfera, n~ao s~ao geodesicas.
Cada segmento geodesico, da superf³cie da esfera, esta contido num c³rculo
maximo.
Pensando na esfera como superf³cie mergulhada no espa»co euclidiano tridimensional,
cada c³rculo maximo da esfera e a interse»c~ao da superf³cie esferica com um plano
que passa pelo centro da esfera.
Se dois planos passam pelo centro da esfera, eles se interceptam segundo uma
reta, que tambem passa pelo centro da esfera. Essa reta fura a superf³cie da esfera
em dois pontos diametralmente opostos. Esses dois pontos s~ao ent~ao a interse»c~ao dos
dois c³rculos maximos determinados por esses dois planos. Assim sendo, dois segmentos
geodesicos t^em, no maximo, dois pontos em comum, sendo estes diametralmente
opostos.

Topologia das superf³cies. Uma introduc»~ao intuitiva 33
Qual e asomadasmedidasdos^angulos internos de um tri^angulo na superf³cie da
esfera? No que segue, trataremos responder a esta quest~ao.
Um bi^angulo esferico ou um fuso esferico e uma regi~ao da esfera delimitada
por apenas dois segmentos geodesicos com extremidades em comum. As extremidades
do bi^angulo s~ao dois pontos diametralmente opostos.
Figura 3.7: Um fuso esferico de vertices A e B, deabertura®.
Os dois ^angulos internos de um fuso esferico s~ao iguais em medida. Tal medida e
chamadaaberturadofusoesferico.
Consideremos um fuso, numa esfera de raio r, devertices A e B, deabertura
® (radianos). O segmento de reta AB (no espa»co euclidiano tridimensional E 3 )eum
di^ametro da esfera. A area do fuso esferico eproporcionalµaabertura®, istoe, dobrandose
®, dobramosaarea, dividindo-se ® por 2, teremos a area dividida por 2, triplicando-se
®, triplicamos a area, etc. (obviamente devemos tomar o cuidado de tomar multiplos
da abertura ® que n~ao excedam 360 ± =2¼ radianos).
Se um fuso tem abertura ¼ = 180 ± , ele cobrira metade da esfera. Se tiver abertura
2¼ = 360 ± , ele cobrira toda a esfera e seus lados coincidir~ao.
A area da superf³cie esferica de raio r e numericamente igual a 4¼r 2 (Arquimedes
provou isto no seculo III a.C.)
Como a area A®, deumfusodeabertura®, eproporcionala® e, para ® =2¼
(radianos), temos A2¼ = area da esfera =4¼r 2 ,paraobterA® aplicamos a regra de
tr^es simples µa tabelinha de dados:
de onde
Logo,
abertura area
® A®
2¼ 4¼r 2
®
2¼
A®
= ;
4¼r2 26¼ ¢ A® = ® ¢ 46¼r 2
2 ¢ A® =4®r 2

34 UFV { VI Reuni~ao Regional da SBM
Assim,
Figura 3.8: Um fuso duplo de abertura ®.
Aarea de um fuso esferico de abertura ® (radianos) e dadapor
A® =2®r 2
Um fuso duplo de abertura ® e a reuni~ao de dois fusos de abertura ®, com os
lados de um deles sendo prolongamentos dos lados do outro, conforme ilustrado na ¯gura
3.8.
3.3.1 A soma dos ^angulos internos de um tri^angulo esferico
Aarea delimitada por um fuso duplo de abertura ® e dadapor
S® =2¢ A® =4®r 2
Consideremos agora um tri^angulo ABC numa esfera de raio r, como na ¯gura 3.9.
Prolonguemos seus lados de modo a construir tr^es grandes fusos duplos de aberturas ®,
¯ e °, ^angulos estes que s~ao tambem os tr^es ^angulos internos do tri^angulo ABC.
Figura 3.9: Observe que os tr^es fusos duplos d~ao origem a uma segunda copia do
tri^angulo ABC, cujosvertices A 0 , B 0 e C 0 s~ao diametralmente opostos aos vertices
A, B e C, respectivamente. Observe ainda que as unicas regi~oes comuns a quaisquer
dois dos fusos duplos s~ao a regi~ao triangular sombreada e sua replica diametralmente
oposta (do outro lado da esfera).

Topologia das superf³cies. Uma introduc»~ao intuitiva 35
Se somarmos as areas desses tr^es fusos duplos, obteremos:
S® + S¯ + S° = area da esfera +2¢ (area ¢ABC)+2¢ (area ¢A 0 B 0 C 0 )
sendo area ¢ABC e area ¢A 0 B 0 C 0 as areas dos dois tri^angulos.
Note que, na soma S® + S¯ + S°, aarea de cada tri^angulo e contada tr^es vezes
(ou seja, duas vezes a mais), visto que cada um dos tri^angulos e tambem parte de cada
um dos tr^es fusos duplos.
Logo,
Da³,
Assim sendo, como as areas area ¢ABC e area ¢A 0 B 0 C 0 s~ao iguais, temos
De onde, ent~ao,
Eportanto,
Assim, conclu³mos:
4®r 2 +4¯r 2 +4°r 2 =4¼r 2 +4¢ (area ¢ABC)
®r 2 + ¯r 2 + °r 2 = ¼r 2 +(area ¢ABC)
area ¢ABC =(® + ¯ + ° ¡ ¼) ¢ r 2
area ¢ABC
r 2
® + ¯ + ° = ¼ +
= ® + ¯ + ° ¡ ¼
area ¢ABC
r 2
A soma dos ^angulos internos ®; ¯ e °, deumtri^angulo esferico, emumaesferade
raio r, e dada, em radianos, pela formula
® + ¯ + ° = ¼ + 1
¢ (area ¢ABC)
r2 Tri^angulos esfericos t^emasomados^angulos internos entre 180 ± e 900 ± ,talsoma
jamais atingindo nenhum desses valores extremos. Isto porque se a area do tri^angulo
e muito pequena em rela»c~ao ao raio da esfera, isto e, se 1
r 2 £ (area ¢ABC) e aproximadamente
0, e ent~ao ® + ¯ + ° e aproximadamente¼ =180 ± .Seaarea do tri^angulo
ocupa quase toda a superf³cie da esfera, ent~ao sua area e aproximadamente4¼r 2 ,e
ent~ao ® + ¯ + ° ¼ 5¼ = 900 ± .
3.4 O conceito de curvatura
Uma superf³cie com geometria el³ptica e umasuperf³cie na qual os tri^angulos t^em a
soma dos ^angulos internos sempre maior que 180 ± .
O plano projetivo P 2 e um segundo exemplo de uma superf³cie de geometria
el³ptica. Nele, em cada tri^angulo, tambem vale a rela»c~ao
soma dos ^angulos internos = ¼ + 1
¢ (area do tri^angulo)
r2

36 UFV { VI Reuni~ao Regional da SBM
sendo r o raio da semi-esfera a partir da qual o plano projetivo foi constru³do.
Numa esfera de raio r, ou num plano projetivo de raio r (isto e, constru³do a partir
de uma semi-esfera de raio r), o numero k =1=r 2 e chamado curvaturadaesferaou
curvatura do plano projetivo, conforme o caso.
Sendo k um numero real, dizemos que uma superf³cie tem curvatura constante
e igual a k se, nesta superf³cie, a soma dos ^angulos internos, em radianos, de cada
tri^angulo ABC, obedeceaumaformula do tipo
bA + b B + b C = ¼ + k ¢ (area ¢ABC)
No caso de uma esfera ou de um plano projetivo, temos que k =1=r 2 .Janocaso
do toro plano ou da garrafa de Klein plana, temos b A + b B + b C = 180 ± = ¼, eportanto
k =0.
Assim sendo, temos que superf³cies de geometria euclidiana t^em curvatura
k =0.
Diremos que uma superf³cie tem geometria homog^enea quando nela duas regi~oes
circulares quaisquer, de mesmo raio, s~ao sempre geometricamente id^enticas | ou seja,
recortando-se, da superf³cie, duas regi~oes circulares de raios iguais, podemos encaixar
perfeitamente uma sobre a outra. As superf³ciesdaesfera,doplanoprojetivo,dotoroe
da garrafa de Klein, s~ao exemplos de superf³cies que admitem modelos com geometrias
homog^eneas, tendo curvatura constante. Nas proximas se»c~oes, estaremos buscando
modelos, com geometria homog^enea, das demais superf³cies fechadas.
3.5 O plano hiperbolico e sua geometria
Existem tr^estiposdegeometriasdesuperf³cies homog^eneas. Acabamos de tomar conhecimento
de duas delas, que s~ao a geometria euclidiana, caracterizando as superf³cies
de curvatura zero, eageometria el³ptica homog^enea, caracterizando as superf³cies
cuja curvatura e umaconstante positiva.
E sabido que n~ao existe uma superf³cie de geometria el³ptica com area in¯nita.
Toda superf³cie de curvatura constante e positiva, deve inevitavelmente fechar-se formando
uma esfera ou um plano projetivo. Este resultado e um teorema da geometria
das superf³cies, que n~ao sera demonstrado aqui.
O plano hiperbolico H 2 , que agora mencionamos pela primeira vez, e umasuperf³cie
aberta de curvatura constante negativa. Nele,ostri^angulos ABC satisfazem
uma rela»c~ao da forma
para uma certa constante negativa k.
bA + b B + b C = ¼ + k ¢ (area ¢ABC)
A constante negativa k e chamada curvatura do plano hiperbolico.

Topologia das superf³cies. Uma introduc»~ao intuitiva 37
Figura 3.10: Superf³cie de geometria hiperbolica. b A + b B + b C

38 UFV { VI Reuni~ao Regional da SBM
Figura 3.11: Constru»c~ao de uma aproxima»c~ao de um plano hiperbolico. Tome varios
tri^angulos equilateros de papel e tambem varios hexagonos regulares com seis desses
tri^angulos subdividindo cada hexagono, tal como em (a) (veja matriz de tri^angulos
na ¯gura 3.15). Mediante dobraduras, fa»ca vincos nos hexagonos, demarcando os seis
tri^angulos de cada um, como em (b). Fa»ca um corte em cada hexagono ao longo de um
dos vincos, produzindo uma fenda, como em (c). Insira e cole (com ¯ta adesiva) um
tri^angulo equilatero em cada uma fendas abertas, como em (d). Cole essas pe»cas de
sete tri^angulos umas nas outras produzindo uma superf³cie, como em (e). Cuide para
que cada vertice, quando completamente rodeado por tri^angulos, o seja por exatamente
sete tri^angulos. µ As vezes, como se v^e em (e), sera preciso inserir novos tri^angulos entre
duas pe»casdesetetri^angulos. Esta \receita", de constru»c~ao de "papel hiperbolico", e
de William Thurston [1].
3.6 A soma dos ^angulos internos de um pol³gono, em
uma superf³cie de curvatura constante.
Na se»c~ao 3.4, ¯cou estabelecido que, para cada tri^angulo ABC, numa superf³cie de
curvatura constante k, vale a rela»c~ao:
bA + b B + b C = ¼ + k ¢ (area ¢ABC)
Consideremos agora, numa superf³cie de curvatura k, um pol³gono convexo de n
lados (delimitado por n segmentos geodesicos). Um pol³gono e convexo quando e sempre
poss³vel unir quaisquer dois de seus pontos por um segmento geodesico inteiramente
contido na regi~ao poligonal. Subdividamos essa regi~ao poligonal em n ¡ 2 tri^angulos,
como indicado na ¯gura 3.12. A soma dos ^angulos internos desses tri^angulos sera a
soma dos ^angulos internos do pol³gono. Esse procedimento pode ser aplicado para
somar ^angulos internos de um pol³gono em qualquer superf³cie.
Aregi~ao poligonal de n lados, na superf³cie de curvatura constante k, temn
^angulos internos, digamos c A1; c A2;::: ; c An, correspondentes a n vertices consecutivos
A1;A2;::: ;An.

Topologia das superf³cies. Uma introduc»~ao intuitiva 39
Figura 3.12: Subdivis~oes de regi~oes poligonais em tri^angulos, a partir de um vertice.
Todosossegmentostra»cados s~ao linhas geodesicas da superf³cie onde os pol³gonos se
encontram. Como se v^e, se a regi~ao tem n arestas, ela pode ser subdivida em n ¡ 2
regi~oes triangulares. Este procedimento pode ser aplicado a pol³gonos n~ao regulares.
Subdividamos a superf³cie em n¡2 tri^angulos tra»cando diagonais a partir do vertice
A1. Chamemos esses tri^angulos de ¢1; ¢2;::: ;¢n¡2.
A soma dos ^angulos internos da regi~ao poligonal e asomados^angulos internos
dos n ¡ 2 tri^angulos em que ela se subdivide, sendo portanto
cA1 + c A2 + ¢¢¢+ c An
= soma dos ^angulos internos de ¢1
+ soma dos ^angulos internos de ¢2
+ ¢¢¢
+ soma dos ^angulos internos de ¢n¡2
= [¼ + k ¢ (area ¢1)] + [¼ + k ¢ (area ¢2)] + ¢¢¢+[¼ + k ¢ (area ¢n¡2)]
= (n ¡ 2)¼ + k ¢ (area ¢1 + area ¢2 + ¢¢¢+ area ¢n¡2)
= (n ¡ 2)¼ + k ¢ (area da regi~ao poligonal A1A2 :::An)
Ou seja,
cA1 + c A2 + ¢¢¢+ c An =(n ¡ 2)¼ + k ¢ (area da regi~ao poligonal A1A2 :::An)
Se a regi~ao poligonal for regular, isto e, tiver todos os lados iguais (congruentes)
eos^angulos internos tambem iguais (congruentes), todos medindo ® radianos, ent~ao
teremos:
|
® + ® +
{z
:::+ ®
}
=(n ¡ 2) ¢ ¼ + k ¢ (area A1A2 :::An)
n parcelas
ou seja,
n ¢ ® =(n ¡ 2) ¢ ¼ + k ¢ (area A1A2 :::An)

40 UFV { VI Reuni~ao Regional da SBM
3.7 Somas conexas de toros, ou de planos projetivos,
de curvatura constante
Vimos que a esfera e o plano projetivo s~ao superf³cies de curvatura constante positiva
k =1=r 2 , sendo r o raio da esfera, ou da semi-esfera a partir da qual o plano projetivo
e constru³do. Vimos tambem que podemos construir modelos do toro bi-dimensional e
da garrafa de Klein, com geometria euclidiana, isto e, de curvatura constante igual a 0.
Esses modelos s~ao o que chamamos toro plano e garrafa de Klein plana.
Veremos agora que podemos construir modelos das demais superf³cies, somas
conexas de 2 ou mais toros, ou somas conexas de 3 ou mais planos projetivos, de
curvatura constante negativa!
No cap³tulo 2, ¯cou estabelecido que a soma conexa de n toros planos, com n ¸ 2,
otorodegenus n (um toro com n \buracos"), pode ser representada por uma regi~ao
poligonal plana regular de 4n lados (um 4n-agono regular), sendo representado pela
palavra a1b1a ¡1
1 b ¡1
1 a2b2a ¡1
2 b ¡1
2 :::anbna ¡1
n b ¡1
n . Os 4n vertices do diagrama poligonal
dessa superf³cie, apos colagens, tornam-se um unico ponto.
Apos as colagens, conforme instru»c~oes do diagrama, teremos ent~ao uma con¯gura»c~ao
de 4n ^angulos consecutivos, de mesma medida ®, emtornodovertice A. Pelo
que acabamos de ver na se»c~ao 3.6, a soma desses 4n ^angulos e igual a
4n ¢ ® =(4n ¡ 2) ¢ ¼ + k ¢ (area da regi~ao poligonal)
Se quisermos construir uma superf³cie suave, a partir da colagem das arestas do
diagrama poligonal, devemos ter o \^angulo de giro" em torno de A medindo 4n ¢ ® =
2¼ = 360 ± .
obtemos
Resolvendo ent~ao a equa»c~ao em k,
de onde ent~ao
(4n ¡ 2) ¢ ¼ + k ¢ (area do pol³gono) =2¼
k ¢ (area do pol³gono) = 2¼ ¡ (4n ¡ 2)¼
= 4¼ ¡ 4n¼
= 4(1¡ n)¼
k =
4(1 ¡ n)¼
area do pol³gono
Notemos ent~ao que, como n ¸ 2, devemos ter a curvatura k negativa.
Assim, quando n ¸ 2, eposs³vel construir um modelo da soma conexa de n toros,
com curvatura constante e negativa.
Talmodelopodeserconstru³do tomando-se, um 4n-agono regular de area 4(n ¡
1)¼ num plano hiperbolico de curvatura k = ¡1, ecolando-seasarestasaospares
conforme as instru»c~oesdodiagramadotorodegenus n.

Topologia das superf³cies. Uma introduc»~ao intuitiva 41
Neste caso, a soma dos ^angulos internos do diagrama 4n-gonal sera dadapor
4n ¢ ® = (4n ¡ 2) ¢ ¼ + k ¢ (area do pol³gono)
= (4n ¡ 2) ¢ ¼ +(¡1) ¢ 4(n ¡ 1)¼
= 4n¼ ¡ 2¼ ¡ 4n¼ +4¼
= 2¼ =360 ±
e assim e evitada a forma»c~ao de pontos c^onicos negativos na superf³cie.
Analogamente, a soma conexa de n planos projetivos, n ¸ 3, pode ser representada
por uma regi~ao poligonal plana regular de 2n lados (um 2n-agono regular). Alem
disso, no diagrama poligonal dessa superf³cie, todos os vertices, apos colagem, tornam-se
tambem um unico ponto A da superf³cie. Neste caso, e poss³vel construir um modelo
da superf³cie, com curvatura constante e negativa.
Se quisermos uma superf³cie suave, repetimos as contas feitas acima, substituindo
\4n" por\2n" nasformulas, e chegamos µa rela»c~ao
2n ¢ ® =(2n ¡ 2) ¢ ¼ + k ¢ (area do pol³gono)
Eliminamos o ponto c^onico negativo desde que tenhamos 2n ¢ ® =2¼. Istonosda
k =
2¼ ¡ (2n ¡ 2)¼
area do pol³gono
ou seja,
2(2 ¡ n)¼
k =
area do pol³gono
que e uma constante negativa para n ¸ 3.
Assim, quando n ¸ 3, eposs³vel construir um modelo da soma conexa de n planos
projetivos, com curvatura constante e negativa.
Tal modelo pode ser constru³do tomando-se um 2n-agono regular de area 2(n¡2)¼
num plano hiperbolico de curvatura k = ¡1, e colando-se as arestas aos pares conforme
as instru»c~oes do diagrama da soma conexa. Neste caso, a soma dos ^angulos internos do
diagrama 2n-gonal sera dadapor
2n ¢ ® = (2n ¡ 2) ¢ ¼ + k ¢ (area do pol³gono)
= (2n ¡ 2) ¢ ¼ +(¡1) ¢ 2(n ¡ 2)¼
= 2n¼ ¡ 2¼ ¡ 2n¼ +4¼
= 2¼ =360 ±
evitando-se novamente a forma»c~ao de pontos c^onicos negativos na superf³cie.
3.7.1 Uma constru»c~ao alternativa de toros de genus n, n ¸ 2,
de curvatura constante
Otorodegenus n, comn ¸ 2, mergulhado no espa»co euclidiano tridimensional E 3 ,
pode ser subdividido em peda»cos hexagonais, de forma que cada vertice, de qualquer um

42 UFV { VI Reuni~ao Regional da SBM
desses hexagonos, seja vertice comum de exatamente quatro hexagonos, ou seja, com os
cantos dos hexagonos se aglomerando em numero de quatro em torno de cada vertice.
De um modo geral, o toro de genus n pode ser subdividido em 4(n ¡ 1) hexagonos,
cada vertice sendo comum a quatro hexagonos. A ¯gura 3.13 ilustra como isto e feito.
Figura 3.13: (a) O toro de genus 2e subdividido em quatro hexagonos (dois na parte
de cima e dois na parte de baixo), cada um com a forma mostrada µa direita. Note
que cada vertice, e vertice comum de quatro hexagonos. (b) O toro de genus 3e
subdividido em oito hexagonos, quatro na parte de cima e quatro na parte de baixo.
Cada vertice e comumaquatrohexagonos. (c) O toro de genus 4 subdivide-se em
doze hexagonos,seisnapartedecimaeseisnapartedebaixo.
Uma vez recortados os 4(n ¡ 1) peda»cos hexagonais do toro de genus n, podemos
deformar cada hexagono de modo que ele se torne um hexagono regular. Em
cada hexagono, os ^angulos internos medem 120 ± .Tais^angulos s~ao muito grandes para
colarmos os hexagonos de volta, em grupos de quatro em torno de cada vertice.
Figura 3.14: Os peda»cos hexagonais do toro de genus n, n ¸ 2, podem ser deformados
em hexagonos de um plano hiperbolico, com ^angulos internos todos retos.
Ao colarmos quatro hexagonos em torno de cada vertice os verticessetornam

Topologia das superf³cies. Uma introduc»~ao intuitiva 43
pontos c^onicos negativos, isto e, pontos em torno dos quais percursos circulares
perfazem mais que 180 ± (no nosso caso, perfazem 480 ± !).
Tomamos ent~ao esses peda»cos hexagonais regulares, num plano hiperbolico H 2 (de
curvatura digamos k), todos com area su¯cientemente grande, de modo que tenham ^angulos
internos de 90 ± . Veja ¯gura 3.14.
Finalmente, tornamos a colar esses peda»cos hexagonais, de geometria hiperbolica,
quatro em torno de cada vertice, resgatando o arranjo geometrico original, reconstituindo
asuperf³cie do toro de genus n, sem pontos c^onicos negativos.
Assim feito, apos as devidas colagens desses hexagonos hiperbolicos, teremos um
toro de genus n ¸ 2, com uma geometria hiperbolica homog^enea, de curvatura constante
igual a k.

44 UFV { VI Reuni~ao Regional da SBM
Figura 3.15: Para fabricar \papel hiperbolico", conforme instru»c~oes dadas na ¯gura 3.11,
tire varias copias xerox do padr~ao acima. Pegue uma tesoura, um rolo de ¯ta adesiva
transparente e n~ao tenha pressa. A produ»c~ao de uma boa area de papel hiperbolico
requer paci^encia (mas pode ser relaxante).

4
Onumero (ou caracter³stica)
de Euler (l^e-se \Oiler"), um
invariante topologico
4.1 Divis~oes celulares de uma superf³cie
Analogamente ao conceito de triangula»c~ao, de¯ne-se o conceito de divis~ao poligonal
de uma superf³cie, como sendo uma subdivis~ao dessa superf³cie em um numero ¯nito de
regi~oes poligonais. Essa subdivis~ao da superf³cie, em regi~oes poligonais, tambem deve
ser bem comportada, no sentido de que:
² Cada duas regi~oes poligonais dessa subdivis~ao
{ ou n~ao se interceptam,
{ ou temapenasumvertice em comum,
{ ou tem apenas uma aresta em comum e,
² cada aresta de uma dessas regi~oes poligonais e arestadeexatamenteduasdessas
regi~oes poligonais, isto e, e compartilhada por duas regi~oes poligonais vizinhas.
Numa divis~ao poligonal, os vertices dos pol³gonos que a³ comparecem s~ao chamados
0-celulas (ou celulas de dimens~ao zero) da divis~ao poligonal; as arestas s~ao chamados
1-celulas (ou celulas de dimens~ao 1); e as regi~oes poligonais s~ao chamadas 2celulas
ou faces da divis~ao poligonal.
Fazendo uso de termos da literatura, usaremos a express~ao divis~ao celular em
lugar de divis~ao poligonal, muito embora o conceito de divis~ao celular seja, na verdade,
uma generaliza»c~ao do conceito de divis~ao poligonal.
Numa divis~ao celular, no sentido mais preciso do termo, a superf³cie e recortada
em pol³gonos, os quais, quando colados para recompor a superf³cie, podem dar origem a
pares de pol³gonos com mais que uma aresta em comum, e ate mesmo a pol³gonos que
se auto-interceptam ao longo de uma ou mais arestas.
45

46 UFV { VI Reuni~ao Regional da SBM
Na ¯gura 4.1, sao mostradas cinco famosas divis~oes poligonais da esfera.
Figura 4.1: Os cinco poliedros de Plat~ao podem ser vistos como divis~oes poligonais da
superf³cie da esfera.
4.2 O numero de Euler
Consideremos agora uma superf³cie suave de geometria homog^enea, de curvatura constante
k (positiva, zero ou negativa), e uma divis~ao celular dessa superf³cie, cujas arestas
s~ao segmentos geodesicos da superf³cie. Suponhamos que essa divis~ao celular tenha v
vertices, a arestas e f faces.
Figura 4.2: Divis~oes celulares: (a) da esfera; (b) do toro; (c) do plano projetivo e (d)
da garrafa de Klein.
Observe que, em se tratando de uma superf³cie suave, numa divis~ao celular, a soma
dos ^angulos formados em torno de cada vertice e igual a 2¼.

Topologia das superf³cies. Uma introduc»~ao intuitiva 47
Tendo ao todo v vertices, a soma de todos os ^angulos internos de todas as faces
da divis~ao celular sera ent~ao igual a
v £ 2¼
Etiquetemos as f faces da divis~ao celular considerada, demarcando-as como:
face 1, face 2,..., face f.
Suponhamos agora que a face 1 tem n1 lados (arestas), a face 2 tem n2 lados,
::: ,eaface f tem nf lados.
Como cada aresta e comum a exatamente duas faces, temos que
n1 + n2 + :::+ nf
= numero de lados da face 1+numero de lados da face 2
+ ¢¢¢+ numero de lados da face f
= 2£ (numero total de arestas)
= 2a
Chegamos ent~ao µa seguinte notavel rela»c~ao
2¼ ¢ v = soma dos ^angulosinternosdetodasasfaces
= soma dos ^angulos da face 1+ soma dos ^angulos da face 2
+ ¢¢¢+ soma dos ^angulos da face f
= [(n1 ¡ 2)¼ + k ¢ (area da face 1)[+ [(n2 ¡ 2)¼ + k ¢ (area da face 2)]
+ ¢¢¢+ [(nf ¡ 2)¼ + k ¢ (area da face f)]
= (n1 + n2 + :::+ nf) ¢ ¼ ¡ (2¼ +2¼ + :::+2¼)
ou ainda
Logo,
| {z }
f parcelas
+ k ¢ (soma das areas de todas as faces)
= 2¼ ¢ a ¡ 2¼ ¢ f + k ¢ (area da superf³cie)
sendo A aarea da superf³cie.
2¼ ¢ v =2¼ ¢ a ¡ 2¼ ¢ f + k ¢ A;
2¼ ¢ (v ¡ a + f) =k ¢ A;
Onumero  = v ¡ a + f e chamado numero (ou caracter³stica) de Euler da
divis~ao celular considerada (sendo  uma letra grega pronunciada como \qui").
Aformula
que ent~ao ¯ca
2¼ ¢ (v ¡ a + f) =k ¢ A
2¼ ¢ Â = k ¢ A
e chamada formula de Gauss-Bonnet para superf³cies de curvatura constante.

48 UFV { VI Reuni~ao Regional da SBM
Tabela 4.1: Geemetria homog^enea da superf³cie, conforme sua caracter³stica de Euler.
 = v ¡ a + f geometria homog^enea
 =0 euclidiana
Â>0 el³ptica
Â0 e,
se ela tem geometria hiperbolica homog^enea, ent~ao qualquer divis~ao celular dessa
superf³cie tera omesmonumero de Euler Â

Topologia das superf³cies. Uma introduc»~ao intuitiva 49
Tabela 4.2: uperf³cies fechadas e correspondentes geometrias homog^eneas que admitem.
As unicas superf³cies fechadas que admitem geometria homog^enea el³ptica s~ao a esfera
e o plano projetivo. As unicas que admitem geometria Euclidiana s~aootoroeagarrafa
de Klein.
orientavel n~ao orientavel geometria homog^enea
S 2 P 2 el³ptica
T 2 P 2 #P 2 = K 2 euclidiana
T 2 #T 2 P 2 #P 2 #P 2 hiperbolica
T 2 #T 2 #T 2 P 2 #P 2 #P 2 #P 2
.
.
4.4 Orientabilidade e numero de Euler classi¯cando
as superf³cies fechadas
A tabela abaixo classi¯ca as superf³cies segundo o numero de Euler e a orientabilidade.
Isto signi¯ca que podemos determinar a natureza topologica de uma superf³cie fechada
sabendo apenas se e orientavel ou n~ao, e conhecendo seu numero de Euler Â. Nocasoda
soma conexa de n toros, Â =2(1¡ n). Nocasodasomaconexaden planos projetivos,
 =2¡ n. Onumero n, em cada caso, e ogenus da superf³cie.
 orientavel n~ao orientavel
2 S 2
1 P 2
0 T 2 K 2 = P 2 #P 2
¡1 P 2 #P 2 #P 2
¡2 T 2 #T 2 P 2 #P 2 #P 2 #P 2
¡3 P 2 #P 2 #P 2 #P 2 #P 2
¡4 T 2 #T 2 #T 2 P 2 #P 2 #P 2 #P 2 #P 2 #P 2
.
.
.

Refer^encias Bibliogra¯cas
[1] Weeks, Je®rey R. The Shape of Space. Marcel Dekker, Inc., New York, 1985.
Neste magn³¯co trabalho, o topologo Je®rey Weeks desenvolve, de modo bastante
intuitivo, topicos da geometria e da topologia de variedades bi e tri-dimensionais.
Seu livro e conclu³do com um cap³tulo com algumas conjeturas interessantes acerca
da topologia e da geometria do Universo, formuladas por f³sicos e astrof³sicos
teoricos. Imperd³vel, e a inspira»c~ao original para o presente livro.
Outras duas refer^encias interessantes e alternativas, para aqueles interessados em
abordagens intuitivas de topologia. O texto de Firby e Gardiner e arefer^encia de
onde busquei a representa»c~ao de superf³cies por palavras e a manipula»c~ao destas.
[2] Firby, P.A. & Gardiner, C. F. Surface Topology. Ellis Horwood Ltd., West Sussex,
1982.
[3] Farmer, D. W. & Stanford, T. B. Knots and Surfaces. A Guide to Discovering
Mathematics. American Mathematical Society, Providence, 1996.
Duas historias em quadrinhos sobre geometria e topologia das superf³cies s~ao:
[4] Petit, J.-P. As Aventuras de Anselmo Curioso. Os Misterios da Geometria. Publica»c~oes
Dom Quixote, Lisboa, 1982.
[5] Petit, J.-P. As Aventuras de Anselmo Curioso. Einstein e o Buraco Negro. Publica»c~oes
Dom Quixote, Lisboa, 1982.
Com uma abordagem inicialmente intuitiva, desenvolvendo um certo formalismo µa
medida em que se avan»ca no texto, chegando µa demonstra»c~ao de bons teoremas,
e:
[6] Prasolov, V.V., Intuitive Topology. American Mathematical Society, Providence,
1995.
Para estudantes universitarios que ja cursaram disciplinas de algebra linear e de
introdu»c~ao µa teoria dos grupos, os seguintes livros s~ao dos mais elementares existentes,
o ultimo sendo uma abrangente resenha sobre topologia.
[7] Armstrong, M.A., Basic Topology, Springer-Verlag, New York, 1978.
[8] Croom, F., Basic Concepts of Algebraic Topology, Springer-Verlag, New York, 1983.
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Topologia das superf³cies. Uma introduc»~ao intuitiva 51
[9] Kosniowski, C., A First Course in Algebraic Topology, Cambridge University Press,
Cambridge, 1980.
[10] JÄanich, K., Topology. Springer-Verlag, New York, 1980.
Endere»co para correspond^encia do autor:
Jo~ao Carlos V. Sampaio
Universidade Federal de S~ao Carlos
Departamento de Matematica
Caixa Postal 676
13565-905 S~ao Carlos, S.P.
e-mails: sampaio@dm.ufscar.br, sampaio@power.ufscar.br