Introdução à Álgebra Geométrica (2013.1) - UFF

Descrição e Objetivos
Introdução à Álgebra Geométrica
(2013.1)
Prof. Leandro A. F. Fernandes
laffernandes@ic.uff.br
Problemas geométricos em Computação, em especial em Computação Visual
(computação gráfica, visão computacional e processamento de imagens), são
tipicamente modelados e resolvidos pelo uso de Álgebra Linear. Neste contexto, vetores
são utilizados para representar tanto direções quanto pontos no espaço, enquanto que
matrizes são utilizadas na modelagem de transformações. A abordagem por meio de
Álgebra Linear convencional, entretanto, apresenta algumas limitações bem conhecidas
para a realização de cálculos geométricos. Como consequência, muitas vezes é preciso
agregar diferentes formalismos (e.g., álgebra de matrizes, quaternions, e coordenadas de
Plücker) a fim de se obter soluções completas. Infelizmente, tais formalismos não são
completamente compatíveis entre si, sendo preciso nos acostumar a migrar de um
formalismo para outro, preenchendo as lacunas conceituais entre eles.
Álgebra Geométrica (Álgebra de Clifford na Física), por outro lado, fornece um
ferramental matemático que naturalmente generaliza e integra diversos formalismos,
tais como números complexos, quaternions e coordenadas de Plücker, em uma
linguagem de alto nível para a especificação de operações geométricas. Por conta de sua
estrutura consistente, equações em Álgebra Geométrica são, muitas vezes, universais e
de aplicação geral, no sentido em que uma mesma solução é estendida para espaços de
dimensionalidade mais alta e para todo tipo de elementos geométricos, sem a
necessidade de lidar com casos especiais.
Nesta cadeira, Álgebra Geométrica será apresentada como uma ferramenta matemática
poderosa para a descrição e solução de problemas geométricos em Computação. O
objetivo é preparar os alunos de Graduação e Pós-Graduação do IC-UFF a compreender
um formalismo matemático que, nos últimos anos, tem conquistado cada vez mais
espaço na comunidade científica internacional. Ao agregar este conhecimento ao
currículo dos alunos, espera-se estimular o desenvolvimento de trabalhos inovadores de
pesquisa em Computação Visual, mas também em outras áreas como Inteligência
Artificial e Mineração de Dados.
Abordagem
Aulas expositivas acompanhadas de trabalhos práticos relacionados aos conteúdos
apresentados em sala e de um projeto final.
Avaliação
Os critérios de avaliação são definidos na primeira semana de aula dependendo do
tamanho da turma. Os métodos de avaliação aplicados incluem lista de exercícios,
trabalhos práticos e projeto final.
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Bibliografia Básica
L. Dorst, D. Fontijine, and S. Mann, Geometric algebra for computer science: an
object oriented approach to geometry. Morgan Kaufmann Publishers, 2007.
C. Perwass, Geometric algebra with applications in engineering. Springer Publishing
Company, 2009.
G. Sommer, Geometric computing with Clifford algebras. Springer Publishing
Company, 2001.
Bibliografia Complementar
L. Dorst, S. Mann, “Geometric algebra: a computational framework for geometrical
applications, Part 1,” IEEE Computer Graphics and Applications, vol. 22, no. 3, pp.
24-31, 2002.
L. A. F. Fernandes, M. M. Oliveira, “Geometric algebra: a powerful tool for solving
geometric problems in visual computing,” Tutorials of Sibgrapi 2009 (XXII Brazilian
Symposium on Computer Graphics and Image Processing), Rio de Janeiro, Brazil,
2009.
D. Hildenbrand, D. Fontijne, C. Perwass, L. Dorst, “Geometric algebra and its
application to computer graphics,” Tutorial 3 of Eurographics 2004, Grenoble,
France, 2004.
S. Mann, L. Dorst, “Geometric algebra: a computational framework for geometrical
applications, Part 2,” IEEE Computer Graphics and Applications, vol. 22, no. 4, pp.
58-67, 2002.
Algumas Publicações Comentadas em Aula
T. A. Bouma, L. Dorst, H. G. J. Pijls. “Geometric algebra for subspace operations”.
Acta Appl. Math., 73(3), pp.285-300, 2002.
W. K. Clifford. “Applications of Grassmann's extensive algebra”. Am. J. Math., The
Johns Hopkins University Press, 1(4), pp.350-358, 1878.
R. N. Goldman. “Illicit expressions in vector algebra”. ACM Trans. Graph., 4(3),
pp.223-243, 1985.
H. G. Grassmann. “Verwendung der Ausdehnungslehre fur die allgemeine Theorie der
Polaren und den Zusammenhang algebraischer Gebilde”. J. Reine Angew. Math.
(Crelle's J.), Walter de Gruyter Und Co., 84, pp.273-283, 1877.
W. R. Hamilton. “On a new species of imaginary quantities connected with the theory
of quaternions”. Proc. of the Royal Irish Acad., 2, pp.424-434, 1844.
C. B. U. Perwass. “Analysis of local image structure using intersections of conics”.
Instituts für Informatik und Praktische Mathematik der Universität Kiel,
Germany,Tech. Rep. Nr. 0403, 2004.
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