Algoritmos Heurísticos de Cobertura de Arcos

As operações efetuadas nessa transformação são todas simples, exceto o cálculo de
caminhos mínimos entre todos os pares de nós, efetuado no passo 3, cuja complexidade é
3
da ordem ( )
O v , onde v= 2 A + 2 E é o número de nós do grafo transformado nos
passos iniciais do algoritmo. Logo, este mesmo valor pode ser considerado como a
complexidade global do algoritmo de transformação.
5.3 A Solução do PCV
Uma vez efetuada a transformação, a etapa seguinte consiste em resolver o problema
do caixeiro viajante no grafo transformado. Inicialmente mostra-se a correspondência entre
o circuito de carteiro em G e um circuito hamiltoniano em G 4.
Como foi visto, o grafo G = ( N,
A,
E)
é transformado no G4 = ( N2,
E1
∪ S2)
. Cada
aresta em G é representada por um par de arcos contrariamente orientados em G 4.
E 1 é o
conjunto de tais pares. Ainda mais, cada arco em G é representado por um único nó em
G 4.
Seja 2
Na ⊆ N o conjunto de tais nós. Seja Ne⊆ N2os
demais nós em G 4 que
formam os nós terminais de E 1.
Obviamente, Na ∩ Ne
=∅ e Na ∪ Ne = N2.
Considera-se agora C C como um Circuito de Carteiro em G , o qual passa por todos
os arcos e arestas, e possivelmente com algumas cópias extras dos links. Ao traçar-se este
circuito no grafo transformado 4 G , obter-se-á um circuito C H , o qual contém pelo menos
um arco de cada par em E 1,
e todos os nós em N a . Como o circuito conterá um arco de
cada par em E 1,
então conterá todos os nós em N e . Logo o circuito conterá todos os nós
N ∪ N = N . Isto significa que C H é um Circuito Hamiltoniano em G 4.
Vale
em a e 2
ressaltar que as cópias extras dos links num circuito de carteiro ótimo em G formam
caminhos mínimos entre alguns pares de nós. Em G 4,
estes caminhos são representados
apenas por passagens através dos arcos em S 2 , sem passagem adicional por nenhum nó em
N 2 .
Pode-se verificar que a recíproca também é verdadeira: isto é, um Circuito
Hamiltoniano em G 4 corresponde a um Circuito de Carteiro em G . É fácil verificar que
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