Algoritmos Heurísticos de Cobertura de Arcos

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Passo 4 Obter o grafo final G4 = ( N2, E1 ∪ S2) , transformado a partir de G 3, seguindo o procedimento descrito abaixo: Eliminar todos os arcos em G 3 que pertencem a A 1, unificando seus nós inicial e final, conforme procedimento a seguir. Para cada arco 1 A j i ∈ ) , ( , excluir o nó j , excluir todos os arcos ( v, j) ∈ S1, excluir todos os arcos ( i, v) ∈ S1, e excluir o próprio arco ( i , j) . Todos os arcos 1 S v j ∈ ) , ( passam a ser ) , ( i v , com nenhuma alteração em seus custos. Estas modificações reduzem o conjunto de nós 1 N para N 2, e o conjunto de caminhos mínimos S 1 para S 2. Note que cada arco original em G é representado agora por um único nó em G 4. Para completar a transformação, alterar o custo de cada arco em E 1 para − M , onde M é um número positivo suficientemente grande. A figura 5.1 mostra um exemplo ilustrativo, no qual a transformação é aplicada sobre o grafo misto G (figura 5.1-a), visando resolver o PCCM. As figuras 5.1-b, 5.1-c e 5.1-d mostram os grafos transformados ao final de cada passo, e 5.1(e) mostra o grafo transformado final. a 1 2 b c d 3 e 4 1b 3b 1a 3e 3c (a) Grafo Inicial G (b) Grafo G 1 (c) Grafo G 2 1b 3b 1a 3e 3c 2c (d) Grafo G 3 2a 4e 2d 4d b 2c 2a 4e 3c 2d 4d a e (e) Grafo Transformado Final G 4 Figura 5.1. Exemplo para a transformação. 2c 2d 4d 1b 3b 1a 3e 3c 2c 2a 4e 70 2d 4d
As operações efetuadas nessa transformação são todas simples, exceto o cálculo de caminhos mínimos entre todos os pares de nós, efetuado no passo 3, cuja complexidade é 3 da ordem ( ) O v , onde v= 2 A + 2 E é o número de nós do grafo transformado nos passos iniciais do algoritmo. Logo, este mesmo valor pode ser considerado como a complexidade global do algoritmo de transformação. 5.3 A Solução do PCV Uma vez efetuada a transformação, a etapa seguinte consiste em resolver o problema do caixeiro viajante no grafo transformado. Inicialmente mostra-se a correspondência entre o circuito de carteiro em G e um circuito hamiltoniano em G 4. Como foi visto, o grafo G = ( N, A, E) é transformado no G4 = ( N2, E1 ∪ S2) . Cada aresta em G é representada por um par de arcos contrariamente orientados em G 4. E 1 é o conjunto de tais pares. Ainda mais, cada arco em G é representado por um único nó em G 4. Seja 2 Na ⊆ N o conjunto de tais nós. Seja Ne⊆ N2os demais nós em G 4 que formam os nós terminais de E 1. Obviamente, Na ∩ Ne =∅ e Na ∪ Ne = N2. Considera-se agora C C como um Circuito de Carteiro em G , o qual passa por todos os arcos e arestas, e possivelmente com algumas cópias extras dos links. Ao traçar-se este circuito no grafo transformado 4 G , obter-se-á um circuito C H , o qual contém pelo menos um arco de cada par em E 1, e todos os nós em N a . Como o circuito conterá um arco de cada par em E 1, então conterá todos os nós em N e . Logo o circuito conterá todos os nós N ∪ N = N . Isto significa que C H é um Circuito Hamiltoniano em G 4. Vale em a e 2 ressaltar que as cópias extras dos links num circuito de carteiro ótimo em G formam caminhos mínimos entre alguns pares de nós. Em G 4, estes caminhos são representados apenas por passagens através dos arcos em S 2 , sem passagem adicional por nenhum nó em N 2 . Pode-se verificar que a recíproca também é verdadeira: isto é, um Circuito Hamiltoniano em G 4 corresponde a um Circuito de Carteiro em G . É fácil verificar que 71
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IX - Referências [App95] Applegate
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[Lap97] Laporte, G. , Modeling and
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[Pet77] J. P. Petersen, A Manual Pr
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Anexo II Código em Object Pascal (
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