Algoritmos Heurísticos de Cobertura de Arcos

Heurística de Eiselt et al. [Eis95.2]
1. Forme o grafo transformado G´ ( V, R)
( , )
G = N E , como descrito acima.
2. (Árvore Geradora Mínima)
= , a partir do grafo não-orientado
Construir uma árvore geradora mínima T em G’, conectando G1, G2,..., G P
3. (Emparelhamento Mínimo)
Determine os nós de grau ímpar com relação às arestas E’ ∪T. Calcule o
emparelhamento M de custo mínimo, entre estes nós de grau ímpar.
4. (Ciclo Euleriano)
Obtenha um ciclo euleriano no grafo G ( V, E´ T M)
para o PCR.
e
= ∪ ∪ , o qual é uma solução
É possível demonstrar que a heurística acima é uma 0,5-aproximação para o PCR. A
solução gerada por este método eventualmente pode variar, mudando a raiz da árvore
geradora. Isto possibilita a repetição do procedimento, tomando cada vez um nó diferente
como raiz, e escolhendo a melhor solução entre todas.
Pearn e Wu [Pea95.2] apresentaram duas outras versões para o algoritmo de
Christofides, denominados como o algoritmo modificado e o algoritmo reverso. Os testes
computacionais foram realizados em 200 problemas de até 50 nós, 199 arestas, e 61 arestas
requeridas. Ambas as versões propostas mostraram uma pequena melhoria em relação ao
algoritmo original. Comparando entre si, o algoritmo reverso mostrou um desempenho
melhor que o algoritmo modificado, apenas quando os nós são majoritariamente de grau
impar.
Visando soluções exatas, duas formulações de programação linear inteira têm sido
propostas para o PCR. A primeira, sugerida por Christofides et al. [Cri81] permite
incorporar na função objetivo, sob a forma de relaxação lagrangeana, a restrição que
garante a paridade do grau de cada nó. A solução ótima é obtida através de um
procedimento de branch-and-bound. Vinte e quatro problemas de até 84 nós, gerados
aleatoriamente, foram resolvidos de modo exato.
Uma formulação diferente foi sugerida por Corberán e Sanchis [Cor98]. Com estudo e
descrição parcial do poliedro de soluções do PCR, sugerem a geração de um conjunto de
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