Algoritmos Heurísticos de Cobertura de Arcos

c) coloque Yij cópias do arco (i, j) e Yji cópias do arco (j, i) em A3;
d) coloque Ykl cópias do arco (k, l) em A3.
Fase III – Recuperação da paridade de G.
Sejam A’ o conjunto de arcos artificiais, gerado na fase II, e E4 = E3. Identifique
os ciclos em A’ ∪ E4, que consistem de caminhos alternados em A’ e E4,
ancorados em cada extremidade por um nó de grau ímpar de G3. Para encontrar
tais ciclos, a orientação de arcos nos caminhos em A’ deve ser ignorada. Como os
ciclos cobrem todos os nós ímpares de G3, orientações arbitrárias devem ser
atribuídas aos ciclos. Os arcos nos ciclos serão ou duplicados ou deletados,
dependendo se a orientação do ciclo é a mesma da orientação original dos arcos
em A’, ou não. As arestas serão orientadas de acordo com a orientação do ciclo.
Conseqüentemente, todos os nós do grafo resultante serão pares, e o grafo
continuará simétrico.
Frederickson [Fre79] mostrou que a complexidade computacional do algoritmo é
O(max{|N| 3 , |A|(max{|A|, |E|}) 2 )}. Ele mostrou, ainda, que o algoritmo é uma 1-
aproximação, o que significa dizer que no pior caso, (solução de Mixed 1) / (solução
ótima) ≤ 2, sendo possível atingir este limite.
Considere o exemplo da figura 3.2 (a), com seis nós, seis arestas e dois arcos. Os custos
associados aos links estão especificados nessa figura, onde M > ε > 0. É fácil verificar que
o algoritmo Mixed 1 irá produzir a solução mostrada na figura 3.2 (b), com custo total de
8M + 8ε, enquanto a solução ótima tem um custo total de 4M + 10ε. Portanto, tem-se que:
(solução de Mixed 1) / (solução ótima) = (8M + 8ε) / (4M + 10ε) → 2, quando M >> ε
2
4
M
1
ε
M
2ε 2ε
ε
M M
6
(a) (b)
3
5
Figura 3.2
2
4
1
M M
ε
2ε 2ε
ε
M M
6
3
5
45