Algoritmos Heurísticos de Cobertura de Arcos
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c) coloque Yij cópias do arco (i, j) e Yji cópias do arco (j, i) em A3;<br />
d) coloque Ykl cópias do arco (k, l) em A3.<br />
Fase III – Recuperação da parida<strong>de</strong> <strong>de</strong> G.<br />
Sejam A’ o conjunto <strong>de</strong> arcos artificiais, gerado na fase II, e E4 = E3. I<strong>de</strong>ntifique<br />
os ciclos em A’ ∪ E4, que consistem <strong>de</strong> caminhos alternados em A’ e E4,<br />
ancorados em cada extremida<strong>de</strong> por um nó <strong>de</strong> grau ímpar <strong>de</strong> G3. Para encontrar<br />
tais ciclos, a orientação <strong>de</strong> arcos nos caminhos em A’ <strong>de</strong>ve ser ignorada. Como os<br />
ciclos cobrem todos os nós ímpares <strong>de</strong> G3, orientações arbitrárias <strong>de</strong>vem ser<br />
atribuídas aos ciclos. Os arcos nos ciclos serão ou duplicados ou <strong>de</strong>letados,<br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ndo se a orientação do ciclo é a mesma da orientação original dos arcos<br />
em A’, ou não. As arestas serão orientadas <strong>de</strong> acordo com a orientação do ciclo.<br />
Conseqüentemente, todos os nós do grafo resultante serão pares, e o grafo<br />
continuará simétrico.<br />
Fre<strong>de</strong>rickson [Fre79] mostrou que a complexida<strong>de</strong> computacional do algoritmo é<br />
O(max{|N| 3 , |A|(max{|A|, |E|}) 2 )}. Ele mostrou, ainda, que o algoritmo é uma 1-<br />
aproximação, o que significa dizer que no pior caso, (solução <strong>de</strong> Mixed 1) / (solução<br />
ótima) ≤ 2, sendo possível atingir este limite.<br />
Consi<strong>de</strong>re o exemplo da figura 3.2 (a), com seis nós, seis arestas e dois arcos. Os custos<br />
associados aos links estão especificados nessa figura, on<strong>de</strong> M > ε > 0. É fácil verificar que<br />
o algoritmo Mixed 1 irá produzir a solução mostrada na figura 3.2 (b), com custo total <strong>de</strong><br />
8M + 8ε, enquanto a solução ótima tem um custo total <strong>de</strong> 4M + 10ε. Portanto, tem-se que:<br />
(solução <strong>de</strong> Mixed 1) / (solução ótima) = (8M + 8ε) / (4M + 10ε) → 2, quando M >> ε<br />
2<br />
4<br />
M<br />
1<br />
ε<br />
M<br />
2ε 2ε<br />
ε<br />
M M<br />
6<br />
(a) (b)<br />
3<br />
5<br />
Figura 3.2<br />
2<br />
4<br />
1<br />
M M<br />
ε<br />
2ε 2ε<br />
ε<br />
M M<br />
6<br />
3<br />
5<br />
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