Algoritmos Heurísticos de Cobertura de Arcos

Sujeito a
−
∑ x ij
( v i , v j ) ∈ A
∑ ij
+
( vi,
vj)
∈A
( S )
+
∑ yij
( vi,
vj)
∈E
x + ∑ x ij
ij ≥ u(
S)
−
+ ∑ y
( vi,
vj)
∈A
( S ) ( vi,
vj)
∈E(
S )
= 2 z + p
( vk ∈ N)
(17)
k
k
( S ⊂ N,
S ≠ φ)
(18)
z , x , y ≥ 0 e inteiros (19)
k
ij
ij
Nessa formulação, as restrições (18) obrigam todos os subconjuntos próprios S de N a
serem balanceados. Isso é feito pela imposição de um número suficiente de arcos e arestas
introduzidos para compensar o desbalanceamento u(S). Além dessas restrições, os autores
introduzem uma forma generalizada das desigualdades florais (blossom inequalities):
∑ ij
+
( vi,
vj)
∈ A ( S )
x + ∑ x ij y ij ≥1
( S ⊂ N,
S ímpar ) (20)
−
+ ∑
( vi,
vj)
∈A
( S ) ( vi,
vj)
∈E( S )
Essas restrições são redundantes, mas ajudam a reforçar a relaxação a ser feita pelo
procedimento. Inicialmente, o programa inclui todas as restrições de não-negatividade,
condições de conjuntos balanceados (18) correspondentes aos nós desbalanceados e a
maioria de conjuntos desbalanceados S de G, e as desigualdades florais generalizadas (20)
associadas aos nós ímpares. O trabalho de Nobert e Picard inclui a descrição de um
procedimento para identificar o subconjunto mais desbalanceado de G.
No decorrer do algoritmo, restrições adicionais de conjuntos balanceados e de
desigualdades florais generalizadas são geradas, na medida que a sua violação é detectada.
Quando isso não é mais possível, um número de cortes de Gomory é acrescentado a fim de
atingir a integralidade no resultado. O procedimento pode terminar numa solução inteira,
ou não-inteira. Se a solução for inteira e satisfaz todas as restrições, um grafo euleriano de
custo mínimo é identificado. Caso contrário, um processo de branching deve se iniciar.
O algoritmo foi aplicado a um grande número de PCCM’s aleatoriamente gerados,
com 16 ≤ |N| ≤ 225, 15 ≤ |E| ≤ 4455, e 2 ≤ |A| ≤ 5569. Dos 440 problemas gerados, 313
foram resolvidos em otimalidade, sem branching. O numero de restrições geradas no
decorrer do algoritmo eram normalmente na ordem de |N|. Disso se pode concluir que o
número de links não é um fator limitante para o algoritmo, mas sim, o número de nós.
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