Algoritmos Heurísticos de Cobertura de Arcos
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um número maior <strong>de</strong> pseudo-arestas na mesma situação, tornando viável o fluxo em todas<br />
elas, com simples reorientação <strong>de</strong> fluxo, e sem que isso acarrete em acréscimo <strong>de</strong> custo.<br />
Os testes computacionais para este método foram feitos com 105 grafos<br />
aleatoriamente gerados, na faixa <strong>de</strong> 10 ≤ |N| ≤ 100, 20 ≤ |E| ≤ 100, e 20 ≤ |A| ≤ 150.<br />
Soluções exatas foram encontradas em todos os casos tentados. Para os grafos maiores, o<br />
tempo <strong>de</strong> processamento foi <strong>de</strong> 54 segundos, em média, num computador IBM 4341.<br />
Um fato relevante relatado pelo autor é a proximida<strong>de</strong> da primeira solução viável<br />
encontrada no processo da busca binária, com a solução exata encontrada no final. Em<br />
30% dos casos esta primeira solução coincidiu com a otimalida<strong>de</strong>. Em média, a diferença<br />
foi em torno <strong>de</strong> 1% para todos os casos gerados. Por esta razão, o autor sugere também a<br />
utilização do método na forma <strong>de</strong> uma α-aproximação a partir do limite inferior.<br />
3.2.4 Solução <strong>de</strong> Christofi<strong>de</strong>s et al.<br />
Outra formulação <strong>de</strong> programação linear inteira foi proposta por Christofi<strong>de</strong>s et al.<br />
+<br />
−<br />
[Cri84]. Sejam A = { ( v , v ) ∈ A : v = v } , A = { v , v ) ∈ A : v = v }<br />
k<br />
i<br />
j<br />
i<br />
k<br />
k<br />
( i j<br />
j k e k<br />
N o conjunto<br />
<strong>de</strong> todos os nós ligados a k v por uma aresta. Seja também x ij o número adicional das vezes<br />
que o arco ( v i , v j ) é utilizado na solução ótima, e y ij o número total das vezes que a aresta<br />
( v i , v j ) é percorrido <strong>de</strong> v i para v j . Consi<strong>de</strong>re p k uma constante binária igual a 1 se, e<br />
somente se, o grau do nó v k é ímpar e z k uma variável inteira. Então, a formulação é a<br />
seguinte:<br />
∑ ∈A<br />
Minimizar cij<br />
( 1+<br />
xij<br />
) + ∑cij ( yij<br />
+ y ji )<br />
(11)<br />
( vi,<br />
vj)<br />
( vi,<br />
vj)<br />
∈E<br />
Sujeito a<br />
∑ +<br />
( vi,<br />
vj)<br />
∈Ak<br />
∑ xij<br />
+<br />
( vi,<br />
vj)<br />
∈Ak ( 1+<br />
xij<br />
) − ∑( 1+<br />
xij<br />
) + ∑ −<br />
∈<br />
+<br />
∑ xij<br />
−<br />
( vi,<br />
vj)<br />
∈Ak<br />
( vi,<br />
vj)<br />
∈Ak<br />
+<br />
∑<br />
vj∈N<br />
k<br />
vj<br />
Nk<br />
y kj − ∑<br />
∈<br />
vj<br />
Nk<br />
y = 0 ( vk ∈ N)<br />
(12)<br />
jk<br />
( y kj + y jk −1)<br />
= 2 z k + pk<br />
( vk ∈ N)<br />
(13)<br />
y y ≥1<br />
(( + v ) ∈ E)<br />
(14)<br />
ij + ji<br />
vi j<br />
z , x , y , y ≥ 0 e inteiros (15)<br />
k<br />
ij<br />
ij<br />
ji<br />
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