Algoritmos Heurísticos de Cobertura de Arcos

um número maior de pseudo-arestas na mesma situação, tornando viável o fluxo em todas
elas, com simples reorientação de fluxo, e sem que isso acarrete em acréscimo de custo.
Os testes computacionais para este método foram feitos com 105 grafos
aleatoriamente gerados, na faixa de 10 ≤ |N| ≤ 100, 20 ≤ |E| ≤ 100, e 20 ≤ |A| ≤ 150.
Soluções exatas foram encontradas em todos os casos tentados. Para os grafos maiores, o
tempo de processamento foi de 54 segundos, em média, num computador IBM 4341.
Um fato relevante relatado pelo autor é a proximidade da primeira solução viável
encontrada no processo da busca binária, com a solução exata encontrada no final. Em
30% dos casos esta primeira solução coincidiu com a otimalidade. Em média, a diferença
foi em torno de 1% para todos os casos gerados. Por esta razão, o autor sugere também a
utilização do método na forma de uma α-aproximação a partir do limite inferior.
3.2.4 Solução de Christofides et al.
Outra formulação de programação linear inteira foi proposta por Christofides et al.
+
−
[Cri84]. Sejam A = { ( v , v ) ∈ A : v = v } , A = { v , v ) ∈ A : v = v }
k
i
j
i
k
k
( i j
j k e k
N o conjunto
de todos os nós ligados a k v por uma aresta. Seja também x ij o número adicional das vezes
que o arco ( v i , v j ) é utilizado na solução ótima, e y ij o número total das vezes que a aresta
( v i , v j ) é percorrido de v i para v j . Considere p k uma constante binária igual a 1 se, e
somente se, o grau do nó v k é ímpar e z k uma variável inteira. Então, a formulação é a
seguinte:
∑ ∈A
Minimizar cij
( 1+
xij
) + ∑cij ( yij
+ y ji )
(11)
( vi,
vj)
( vi,
vj)
∈E
Sujeito a
∑ +
( vi,
vj)
∈Ak
∑ xij
+
( vi,
vj)
∈Ak ( 1+
xij
) − ∑( 1+
xij
) + ∑ −
∈
+
∑ xij
−
( vi,
vj)
∈Ak
( vi,
vj)
∈Ak
+
∑
vj∈N
k
vj
Nk
y kj − ∑
∈
vj
Nk
y = 0 ( vk ∈ N)
(12)
jk
( y kj + y jk −1)
= 2 z k + pk
( vk ∈ N)
(13)
y y ≥1
(( + v ) ∈ E)
(14)
ij + ji
vi j
z , x , y , y ≥ 0 e inteiros (15)
k
ij
ij
ji
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