Algoritmos Heurísticos de Cobertura de Arcos

eulerianos associados ao problema. Ralph [Ral93] mostrou que os pontos extremos do
poliedro de relaxação linear, definido por (2) a (6) são todos meio-inteiros.
3.2.2 Solução de Grötschel e Win
Um exemplo de utilização dessa formulação foi dado por Grötschel e Win [Gro92].
Originalmente, eles desenvolveram um método de solução para o PCCV, baseado numa
descrição parcial do seu poliedro de soluções. O método pode ser adaptado para o PCCM
da seguinte forma:
Seja P o poliedro de vetores x = ( xij
, x ji ) que satisfazem (2), (3), (4), (5) e (6). Então
G é euleriano se, e somente se, cada vértice de P é inteiro. Eles demonstram que os
componentes dos vértices de P são sempre 0, 1 /2, ou um inteiro positivo. Minieka [Min79]
mostrou que em qualquer solução ótima de PCCM, apenas um dos três seguintes casos
ocorre para qualquer aresta (vi, vj):
i) xij = 0 e xji ≥ 1;
ii) xji = 0 e xij ≥ 1;
iii) xij = xji = 1.
Isso sugere um esquema tri-vias de branching numa busca enumerativa. Grötschel e
Win [Gro92] mostram que para qualquer |L(S)| ímpar, as seguintes desigualdades de corte
ímpar são válidas:
∑( xij
( vi,
vj)
∈L(
S )
∑ xij
vi∈S
, vj∉S
∑ x ji
vi∈S
, vj∉S
+ x
≥
≥
ji
1 /2
1 /2
) ≥ L(
S)
+ 1
S ⊂ N
(8)
( L ( S)
+ 1)
S ⊂ N
(9)
( L ( S)
+ 1)
S ⊂ N
(10)
Grötschel e Win resolveram (2), (3), (4), (5) e (6), acrescidas por (8),(9) e (10) por
meio de uma rotina de Programação Linear. O papel de desigualdades de corte ímpar é
fortalecer a relaxação da restrição (7). Com isso, eles resolveram 8 PCCM’s em
otimalidade, dentre 8 tentados, sem nenhum branching. Os problemas ficavam na faixa de
52 ≤ |N| ≤ 172, 37 ≤ |E| ≤ 154, e 31 ≤ |A| ≤ 116. O tempo de processamento ficou entre
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