Algoritmos Heurísticos de Cobertura de Arcos

2.4 Problema de Carteiro Chinês
Dado um grafo não-orientado G=(N, E), conexo, onde a cada aresta e∈E é associado
um custo de, o Problema de Carteiro Chinês – PCC, consiste em achar um circuito de
custo mínimo, contendo todas as arestas, pelo menos uma vez (circuito de carteiro).
Se o circuito de carteiro contiver cada aresta exatamente uma única vez, logicamente o
circuito seria de custo mínimo. Como foi visto, tal circuito apenas existe num grafo
euleriano. Se alguns nós são de grau ímpar, então qualquer circuito que percorre todas as
arestas do grafo pelo menos uma vez, percorrerá algumas delas mais de uma vez. O
problema, nesse caso é minimizar o custo total das passagens adicionais.
A solução consiste em inserir apropriadamente cópias de algumas arestas, de modo
que o grafo aumentado (grafo original, acrescido pelas arestas copiadas) seja euleriano e o
custo total das cópias mínimo.
Guan [Gua62] demonstrou que numa solução ótima de carteiro nenhuma aresta precisa
ser percorrida mais de duas vezes. De fato, se o grafo aumentado contém mais de uma
cópia de algumas arestas, as cópias em excesso associadas a cada aresta podem ser
eliminadas em número par, sem que isso modifique a paridade de grau dos nós afetados,
nem afetar a unicursalidade do grafo.
A estratégia para resolver o PCC num grafo não orientado consiste numa tentativa de
tornar par o grau dos nós que estão na situação ímpar, mantendo inalterado o grau dos
demais nós. A figura 2.3 mostra um grafo originalmente não-euleriano, por conter dois nós
de grau ímpar. A duplicação das arestas num caminho que liga estes dois nós torna o grafo
euleriano. Numa solução ótima, entretanto, tais duplicações devem acontecer ao longo do
caminho mais curto, o que não acontece na solução apresentada na figura 2.3.
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