Algoritmos Heurísticos de Cobertura de Arcos

A suficiência da condição poderá ser estabelecida, usando uma prova construtiva. É
fácil verificar que se G é fortemente conexo e todos os seus nós são de grau par, nele se
pode construir um circuito euleriano.
Uma forma de construir um circuito euleriano é começar o traçado em qualquer nó
arbitrário xi, percorrer uma aresta não utilizada para chegar a um outro nó xj, e a partir
deste prosseguir para um outro nó, repetindo o processo. Como o grau de todos os nós é
par, então cada vez que se entra num nó, deve haver uma aresta não utilizada, disponível
para sair. Portanto, o processo terminaria forçosamente no mesmo nó de partida xi, quando
se completa um circuito C. Se C contiver todas as arestas, então um circuito euleriano é
obtido; caso contrário, identifica-se o grafo parcial de Gp, formado pelas arestas não
utilizadas do grafo G. Pode-se verificar que todos os nós de Gp também seriam de grau par.
Escolhe-se um nó xk que é terminal de uma aresta de Gp, tal que xk esteja contido em C. Tal
nó existe, pois se não, G não seria conexo. A partir de xk será construído um novo circuito
C’, o qual será aninhado a C, a partir de xk, formando um único circuito. Este procedimento
será continuado, até a obtenção de um circuito euleriano completo no grafo G.
Edmonds [Edm73] utilizou uma abordagem diferente, baseada em construção de uma
arborescência, para construir um circuito euleriano. Seja qual for o método, quando o grafo
é euleriano, a obtenção de um circuito euleriano é uma tarefa trivial.
Uma propriedade notável de um grafo, quando não é euleriano, é a de possuir um
número par de nós de grau ímpar. Este fato pode ser explicado pelo número total de
incidências nos nós do grafo: se o grafo possui m arestas e cada aresta está em contato com
dois nós, então a soma de graus de todos os nós é 2m, que é um número par. Seja gp a soma
de graus dos nós de grau par, e gi a soma para os nós de grau ímpar. Portanto:
gp + gi =2m
Obviamente gp é um número par, logo gi deve ser um número par. Se a soma de alguns
números ímpares é par, é porque a quantidade dos números ímpares é par.
Logo, pode-se afirmar que em qualquer grafo há um número par de nós de grau ímpar.
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