Algoritmos Heurísticos de Cobertura de Arcos

conexo, então ele é formado por um único componente; um grafo desconexo é formado por
mais de um componente.
Um circuito que passa por todos os nós de um grafo, sem que repita o mesmo nó mais
de uma vez, é denominado de Circuito Hamiltoniano. Nem todo grafo contém um circuito
hamiltoniano; porém quando possui, é chamado de Grafo Hamiltoniano.
Um circuito que passa por todos os links de um grafo, sem que repita o mesmo link
mais de uma vez, é denominado de Circuito Euleriano. Também, nem todo grafo contém
um circuito euleriano, e quando possui, ele é chamado de Grafo Euleriano, ou Grafo
Unicursal. Um circuito que passa por todos os links de um grafo, pelo menos uma vez, é
denominado de Circuito de Carteiro. Todo grafo fortemente conexo contém um circuito de
carteiro.
Uma α-aproximação de um problema é uma solução cujo custo, no pior caso, é (1+α)
vezes a solução ótima.
2.3 Circuitos Eulerianos
Como foi definido acima, dado um grafo não-orientado G=(N, E), fortemente conexo,
um circuito que contém todas as arestas do grafo, sem que repita a mesma aresta mais de
uma vez, é denominado de circuito euleriano. E como foi visto, nem todo grafo contém um
circuito euleriano; quando possui, ele é chamado de grafo euleriano, ou grafo unicursal. O
teorema básico sobre a existência de um circuito euleriano, em um grafo não-orientado, é o
seguinte:
TEOREMA [Eul36] - Um grafo fortemente conexo G=(N, E) contém um circuito
euleriano, se, e somente se, o grafo não tem nenhum nó de grau ímpar.
A necessidade da condição estabelecida nesse teorema pode ser verificada, tendo em
vista que qualquer circuito euleriano deve usar uma aresta para entrar em cada nó, e uma
outra para partir do mesmo. Considerando que todas as arestas devem ser percorridas uma
única vez, então deve haver um número par de arestas incidentes a cada nó. Isso é, o grau
de todo nó deve ser par.
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