Algoritmos Heurísticos de Cobertura de Arcos

II – Problemas de Roteamento de Arcos
2.1 Origens
Possivelmente o registro mais antigo de algum problema relacionado com o
roteamento de arcos é o famoso enigma das pontes de Konigsberg. Esta cidade, atualmente
chamada de Kaliningrad, é construída em ambas as margens do rio Pregel e sobre duas
ilhas situadas no rio. As margens do rio e as duas ilhas são conectadas por sete pontes,
como mostra a figura 2.1. O problema posto no século XVIII era determinar se existe um
roteiro fechado, de modo que alguém pudesse atravessar todas as pontes exatamente uma
vez. O problema foi resolvido em 1736 pelo matemático suíço Leonhard Euler que
demonstrou a inexistência de tal roteiro [Eul36].
Figura 2.1. As pontes de Konigsberg
De fato, a figura 2.1 pode ser sintetizada pelo grafo mostrado na figura 2.2, no qual os
territórios marginais do rio e as ilhas são representados pelos nós, e as pontes pelas arestas.
Conforme a argumentação de Euler, num roteiro viável, cada vez que se entra num nó, por
meio de qualquer aresta, tem que sair do mesmo, usando uma outra aresta. Logo, o número
de arestas incidentes em cada nó deve ser par. Ele concluiu que esta condição, além de ser
necessária, é também suficiente.
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