Avaliação de Heurísticas de Melhoramento e da Metaheurística ...

Avaliação de Heurísticas de Melhoramento e
da Metaheurística Busca Tabu para Solução de PRV
Eliseu Celestino Schopf 1 , Claudio Schepke 1 , Marcus Lucas da Silva 1 ,
Pablo Furlan da Silva 1
1 Centro de Eletrônica e Tecnologia - Universidade Federal de Santa Maria (UFSM)
Faixa de Camobi, km 9 - Santa Maria - RS - Brasil
{eliseu, schepke, marc, pablof}@inf.ufsm.br
Resumo. O roteamento de veículos é um problema de otimização combinatória,
que consiste em arranjar o conjunto ótimo de rotas para determinada frota de
veículos, de maneira a servir a um dado conjunto de clientes. O interesse no
problema de roteamento de veículos é motivado pela sua relevância prática e
pela sua considerável dificuldade. Na resolução desse problema, tratada neste
artigo, são feitas comparações entre as heurísticas construtivas do “Vizinho Mais
Próximo”, do “Vizinho Mais Próximo Dá Chance” e do de Savings. Também, as
heurísticas de Melhoramento 2-OPT Intra-rotas, 2-OPT Inter-rotas e algoritmo
de Swap, bem como a metaheurística Busca Tabu são comparadas a partir da
execução sobre as soluções resultantes da melhor heurística construtiva. Dessa
forma, conseguiu-se quantificar, neste estudo de caso, as melhorias definidas por
cada heurística.
1. Introdução
Uma classe de problemas que desperta interesse, por parte de pesquisadores, devido a sua
complexidade, são os problemas não determinísticos em tempo polinomial (NP). Esses
problemas não apresentam soluções viáveis através de algoritmos tradicionais, devido à alta
exigência de tempo para a sua resolução. Uma alternativa normalmente adotada, é fazer uso
de métodos heurísticos.
Os métodos heurísticos visam encontrar uma solução, não necessariamente a
melhor, em um tempo computacional aceitável. Estes são aplicados a problemas cuja
obtenção da solução ótima é computacionalmente dispendiosa quando calculada por
métodos exatos. As heurísticas analisadas neste artigo podem ser subdivididas em:
Heurísticas Construtivas: Utilizam técnicas de adição na construção da solução do
problema. A cada iteração vão sendo agregados pontos as rotas parciais. Esta construção é
um processo contínuo e gradativo;
Heurísticas de Melhoramento: A partir de uma solução inicial, são feitas trocas com
o objetivo de melhorá-la. A cada passo são feitas trocas a fim de diminuir o custo original
da rota. Estas tentativas de troca são feitas até um critério de parada, pré-estabelecidos,
como o tempo, um determinado número de iterações ou a não existência de soluções
aprimorantes no espaço de trocas definido.
Outra definição utilizada que visa buscar um resultado viável para problemas da
classe NP, em um tempo computacional, aceitável é a de metaheurística. Esta consiste em
uma forma de controlar técnicas heurísticas a fim de permitir a inserção de pioras,
buscando evitar encontrar soluções ótimas locais. Desta forma, é possível obter uma melhor

solução geral para o problema. A metaheurística de Busca Tabu é analisada neste artigo.
Um dos problemas da classe NP é Problema do Roteamento de Veículos (PRV). O
PRV é o nome genérico dado a uma classe de problemas, no qual é preciso determinar as
rotas que minimizem o custo das mesmas de todos os pontos em uma dispersão geográfica.
Ele pode ser utilizado em uma série de situações práticas tanto em âmbito local (centros
distribuidores de produtos), quanto nacional (indústria automotiva) [GALBIER,2004].
O presente artigo tem como principal objetivo quantificar, conforme os estudos
realizados e apresentados ao longo deste, as melhorias definidas pelas heurísticas de
melhoramento e metaheurística Busca Tabu no Problema de Roteamento de Veículos. A
seção 2 descreve as heurísticas codificadas e aplicadas. A seção 3 apresenta a análise das
heurísticas de melhoramento e da metaheurística Busca Tabu sobre o construtivo de
melhor resultado, e a seção seguinte conclui o presente trabalho.
2. Descrição das Heurísticas Aplicadas
Para resolução do Problema de Roteamento de Veículos, foram empregadas heurísticas
construtivas, de melhoramento e metaheurística, que seguem abaixo descritas.
2.1 Heurísticas Construtivas
Algoritmo “Vizinho Mais Próximo”
A heurística do Vizinho Mais Próximo, descrita por Solomon [SOLOMON,1987], utiliza
uma matriz para definir a distância entre os pontos. O percurso é construído com base na
distância entre estes pontos, sendo o ponto mais próximo da origem adicionado primeiro e
os demais pontos adicionados posteriormente conforme a necessidade da criação de novas
rotas. Um ponto é adicionado a uma rota, segundo a sua proximidade em relação ao último
ponto adicionado. Este processo se repete enquanto o limite da capacidade da rota é
respeitado.
Algoritmo “Vizinho Mais Próximo Dá Chance”
Este método é semelhante ao método de busca do Mais Próximo, porém, em vez de
encerrar a rota quando a demanda é extrapolada, ele escolhe o ponto mais próximo seguinte
ao atual. Porém, se a demanda deste for maior que o espaço ainda existente para a rota,
repete-se este passo sucessivamente, até encontrar um elemento que respeite a demanda
ainda disponível da rota. Caso não for encontrado nenhum, encerra-se rota. O objetivo desta
modificação sobre o Vizinho Mais Próximo é diminuir o número total de rotas.
Algoritmo de Savings
O Algoritmo de Savings, ou Algoritmos das Economias, proposto por Clarke e Wright
[CLARKE,1964], baseia-se na noção de economias, que pode ser definido como o custo da
combinação, ou união, de duas sub-rotas existentes. Trata-se de uma heurística iterativa de
construção baseada numa função gulosa de inserção. Um algoritmo de Savings inicia com
um processo iterativo que visa percorrer todas as cidades duas a duas, de maneira a calcular
as economias, ou seja, sendo i e j cidades distintas, Cij o custo entre as duas cidades, e 0 o
depósito, tem-se as economias Sij:
Sij = C0i + Cj0 - Cij

Esta fórmula permite, então, ter o conhecimento das cidades com distâncias mais
próximas. Em segunda instância, um outro processo iterativo busca o maior Savings, toma
as duas cidades mais próximas e as roteia em relação à cidade-base. Segundo a definição de
[LIU, 1999], duas rotas contendo os clientes i e j podem ser combinadas, desde que i e j
estejam ou na primeira ou na última posição de suas respectivas rotas e que a demanda total
das rotas combinadas não ultrapasse a capacidade do veículo. Por ser sempre escolhida a
maior economia dentre as possíveis, a função de escolha é dita gulosa.
2.2 Heurísticas de Melhoramento
Heurística 2-OPT Intra-rotas
O método de melhoramento 2-OPT intra-rotas proposto por [LINS,1973], consiste na
possível troca de dois arcos, não consecutivos, de uma rota e refazer as conexões, criando
uma nova rota. Se o custo da nova rota for menor que o custo da rota original, a nova é
mantida. O processo termina através de um critério de parada. Como pode ocorrer inversão
de sentido em parte da rota, pressupõe-se simetria de distâncias.
Heurística 2-OPT Inter-rotas
O método de melhoramento 2-OPT inter-rotas proposto por [LINS,1973], consiste na
possível troca de dois arcos de duas rotas diferentes, um de cada rota e refazer as conexões,
criando duas rotas novas. As novas rotas serão mantidas se o custo delas forem menores
que o custo das rotas originais e se a capacidade dos veículos não for ultrapassada. O
processo termina através de um critério de parada. Como pode ocorrer inversão de sentido
em parte da rota, pressupõe-se simetria de distâncias.
Swap
O algoritmo de Swap, descrito em [CORBERAN,2000], consiste de trocas simples entre
cidades das rotas. Duas cidades diferentes são escolhidas aleatoriamente e, se a troca delas
diminui o custo total das rotas, essas cidades são trocadas de posição. O processo termina
através de um critério de parada podendo este ser um número de iterações pré-estabelecido.
2.3 Metaheurística
Busca Tabu
O método de Busca Tabu, proposto por Glover e Laguna [GLOVER,1997], consiste num
procedimento adaptativo que guia um algoritmo de busca local na exploração contínua do
espaço de busca, sem ser confundido pela ausência de vizinhos aprimorantes, retornando a
um ótimo local previamente visitado (condição desejada, mas não necessária). O método de
Busca Tabu parte de uma solução inicial e, a cada iteração, move-se para a melhor solução
na vizinhança, não aceitando movimentos que levem a soluções já visitadas armazenadas
em uma lista tabu. Esta lista permanece na memória guardando as soluções já visitadas
(tabu) durante um espaço de tempo ou durante um certo número de iterações (prazo tabu).
Ao contrário de algoritmos como o GRASP [FEO,1995], que não usa memória para
armazenar conhecimento sobre os espaços percorridos, a Busca Tabu utiliza estruturas
flexíveis de memória para esta finalidade. Graças ao uso intensivo de memória adaptativa,
o método de Busca Tabu consegue ter boas soluções. Além disso, a solução final tem pouca
dependência com a inicial pelo fato de os mecanismos que o método implementa fugir de
ótimos locais.

3. Análise dos Algoritmos de Melhoramento Implementados e da Metaheurística
Busca Tabu
Neste trabalho, foram efetuados estudos relacionados à aplicação e combinação de
heurísticas e metaheurística Busca Tabu para resolução do Problema de Roteamento de
Veículos. Os algoritmos foram implementados na linguagem Java, utilizando o pacote JDK
1.4.1_02. As execuções foram feitas em um computador com processador Pentium 4 de 2.4
Ghz de freqüência, 512 MB de memória física e 512 KB de memória cache.
A ordem dos testes efetuados é descrita conforme a estrutura exposta na figura 1.
Primeiramente, há um módulo de entrada, responsável pela aquisição das instâncias 1 em um
arquivo com formato específico. Este arquivo possui o número total de cidades a serem
percorridas pelos veículos, as capacidades máximas dos veículos, a localização do ponto de
origem, bem como a localização das demais pontos e de suas demandas. Todas as estruturas
de dados são representadas através de inteiros, sendo que a matriz de distâncias é obtida
através do truncamento dos números. Além da matriz de distâncias, o módulo inicial
também disponibiliza o vetor de demandas e outras informações úteis, como o número de
cidades e a capacidade dos veículos.
Figura 1: Passos adotados para análise das heurísticas de melhoramento e da metaheurística.
Em um segundo momento, as informações de entrada são oferecidas às três
heurísticas construtivas. Este bloco de processamento fornece o custo e as rotas formadas
por cada um dos algoritmos. Essas informações são analisadas e apenas o melhor resultado
gerado é passado como entrada às heurísticas de melhoramento a metaheurística de Busca
Tabu. Esta última, conforme avaliações prévias realizadas, foi definida com uma lista tabu
de tamanho 11 e efetua 10.000 iterações em busca de uma melhor solução.
1 Foram analisadas três instâncias, intituladas 'DGRVB7XUPD, e , as quais podem ser baixadas em
htttp://www.inf.ufsm.br/~marc/ia.zip

Os resultados gerados, como o número total de rotas, pontos pertencentes a cada
rota, bem como o custo e demanda para cada uma delas, além do custo, demanda e tempo
de execução total, são gravados em um arquivo de saída. Para este artigo serão analisados
somente os custos de formação das rotas.
3.1 Comparação e análise dos custos das Heurísticas Construtivas
Com base na execução sobre diversas instâncias, pode-se concluir que o algoritmo de
Savings é superior em todos os casos analisados. Isto se deve ao ordenamento inicial das
economias, informação utilizada no algoritmo para que cidades muito distantes da origem
sejam ligadas entre si, a fim de diminuir o custo da formação de uma rota. Já o método do
“Vizinho Mais Próximo Dá Chance” apresentou-se superior ao “Vizinho Mais Próximo”
somente em um dos casos. A tabela 1 apresenta o resultado dos custos, enquanto que a
tabela 2 mostra a porcentagem média de melhoria dos métodos “Vizinho Mais Próximo” e
Savings em relação ao “Vizinho Mais Próximo Dá Chance”, o qual apresentou o pior caso.
Tabela 1: Heurísticas construtivas para as quatro instâncias propostas.
Savings VMP VMPDC
Dados_Turma 9788 9983 9958
51 575 693 695
101 855 1104 1129
Tabela 2: Porcentagem de melhoria do método “ Vizinho Mais Próximo” e de Savings em relação
ao “ Vizinho Mais Próximo Dá Chance” .
Heurística Melhoria (porcentagem)
Vizinho Mais Próximo 4.04
Savings 18.62
3.2 Comparação e análise das Heurísticas de Melhoramento e Busca Tabu
As heurísticas de melhoramento e as metaheurísticas sofrem grande influência das soluções
iniciais. Em geral uma solução inicial de boa qualidade apresenta um processo de busca
mais rápido e de melhor qualidade. Por este motivo é que estas execuções foram feitas com
base nos resultados fornecidos pelo Savings.
As comparações de custo entre as heurísticas de melhoramento 2-OPT Intra-rotas,
2-OPT Inter-rotas, de Swap e da metaheurística Busca Tabu, realizadas sobre as instâncias
Dados_Turma, 51 e 101 podem ser visualizadas através das figuras 2, 3 e 4,
respectivamente. Na instância Dados_Turma a metaheurística Busca Tabu obteve o melhor
resultado, sendo 1.78% melhor do que o segundo colocado, assumido pelo 2-OPT Interrotas.
Já na instância 51, a Busca Tabu obteve uma melhora de 4.5% sobre o 2-OPT Interrotas
enquanto que na instância 101 a melhora foi de 0.82%.
A tabela 3 mostra os custos e a porcentagem de melhora para cada uma das
heurísticas de melhoramento e a Busca Tabu, sobre o método de Savings. Os melhores
resultados estão enfatizados em itálico. De uma forma geral, a Busca Tabu obteve uma
significativa melhora em relação aos demais métodos. Entre os de melhoramento o método
2-OPT Inter-rotas obteve os melhores resultados, seguido pelo Swap e o 2-OPT Intra-rotas,
lembrando que o último não se concentra somente no custo da rota.

9800
9750
9700
9650
9600
9550
9500
9450
9400
9350
9300
9250
Custos de Melhoramento e Tabu -
Dados_Turma
Figura 2: Comparação entre os custos obtidos pelas heurísticas de melhoramento e Busca Tabu na
instância Dados_Turma.
560
555
550
545
540
535
530
525
520
515
¢¡¤£¦¥ §©¨ ¤§ ¥ §©¡¦¤
Intr a Rotas
Inter Rotas
Swap
T abu
Intra Rotas
Inter Rotas
Figura 3: Comparação entre os custos obtidos pelas heurísticas de melhoramento e Busca Tabu na
instância 51.
852
850
848
846
844
842
840
838
836
Sw ap
Tabu
Intra Rotas
Inter Rotas
Figura 4: Comparação entre os custos obtidos pelas heurísticas de melhoramento e Busca Tabu na
instância 101.
S wap
T abu

4. Conclusão
Tabela 3: Custos obtidos pelas heurísticas de melhoramento e metaheurística de lista Tabu
e porcentagem de melhora, a partir do algoritmo de Savings.
Dados_Turma 51 101
Gerado pelo Savings 9788 Melhora 575 Melhora 855 Melhora
2-OPT Intra-rotas 9764 0.24% 559 2.78% 852 0.35%
2-OPT Inter-rotas 9622 1.67% 557 3.13% 849 0.7%
Swap 9705 0.85% 559 2.78% 851 0.47%
Tabu (10.000
iterações)
9451 3.44% 532 7.48% 842 1.52%
A solução de problemas de grande porte pode fazer uso da combinação de diversas técnicas
heurísticas. A escolha correta para esta combinação é um fator decisivo para a obtenção de
bons resultados. Desta forma é possível fazer a combinação das características positivas
oferecidas por cada método.
Para este trabalho, a implementação do Savings se apresentou mais eficiente entre
as heurísticas construtivas. A estrutura deste algoritmo busca evitar que os pontos que
ficam longe da origem sejam ligados diretamente a ela. Nas heurísticas de melhoramento, o
número de trocas possíveis interfere na possibilidade de formação de rotas com custos
menores.
Como resultado geral a Busca Tabu conseguiu obter a melhor solução em relação às
demais implementações. A estratégia utilizada em sua implementação foi a de descida mais
rápida, a qual converge rapidamente para ótimos locais. Uma melhoria que poderia ser
incorporada em um trabalho futuro é a implementação da Busca Tabu de forma híbrida com
outras heurísticas de melhoramento.
Referências Bibliográficas
[CLARKE,1964] CLARKE, G. & WRIGHT, J., "Scheduling of vehicles from a central
depot to a number of delivery points", Operations Research, 12 #4, 568-581, 1964.
[CORBERAN,2000] CORBERÁN, A. & FERNÁNDEZ, E. & LAGUNA, M. & MARTÍ,
R. Heuristic Solutions to the Problem of Routing School Buses with Multiple Objectives.
Departament d’Estadística i Investigació Operativa, Universitat de València, Burjassot
46100, Spain.August 7, 2000.
[GALBIER,2004] GALBIER, F & LORENA, L. A. N. Uma Heurística Construtiva
aplicada a Problemas de Roteamento de Veículos. 2004.
[LINS,1973] LINS, S. & B. W. Kernigham. An Effective Heuristic Algorithm for the
Traveling Salesman Problem, Operations Research, v.21, p.498-516, 1973.
[LIU,1999] LIU, Fuh-Hwa & SHEN, Sheng-Yuan, A Metohd for Vehicle Routing Problem
with Multiple Vehicle Types ad Time Windows, Department of Industrial Enginnering and

Management National Chiao Tung University, Hsinchu, Taiwan, Proc. Natl. Sci. Counc.,
vol 23, n. 4, p. 526-536, 1999.
[SOLOMON,1987] SOLOMON, M.M. Algorithms for the Vehicle Routing and Scheduling
Problems with Time Window Constraints. Operations Research, 35(2): p. 254-265. 1987.