Conjuntos invariantes hiperbólicos - Impa

Sistemas Dinâmicos - Dimensões altas
Resumo
Em sistemas unidimensionais, conseguimos estudar algumas funções, por exemplo a Família
Quadrática, usando algumas das técnicas essenciais da Teoria de Sistemas Dinâmicos: dinâmica
simbólica, conjugação topológica, e outras. A idéia é tentarmos expandir estes estudos para
outras dimensões usando as mesmas técnicas.
Neste trabalho, apresentaremos alguns exemplos de sistemas dinâmicos em dimensões altas:
ferradura, automorfismos hiperbólicos. Mostraremos, também, alguns exemplos de atratores
em outras dimensões, veremos o quão complicado pode parecer um “simples” atrator.
Ferradura de Smale.
Para definirmos a função, primeiro consideremos uma região D consistindo de 3 componentes:
Um quadrado central S de lado 1, e dois semi-círculos D1 e D2 nas extremidades. Ou
melhor, D é moldado como um “estádio”.
A função ferradura F leva D no seu interior de acordo com a seguinte descrição: Primeiro
contraímos S na vertical por um fator δ < 1/2, e expandimos este por um fator 1/δ; tal que
S fique comprido e estreito. Então colocamos S de volta no interior de D com o formato de
uma ferradura. A dinâmica da função ferradura é muito interessante. Notemos, apenas, que
um ponto qualquer ou vai para o ponto fixo atrator em D1, ou pertence ao conjunto de cantor
Λ dos pontos que nunca deixam S.
Figura 1: ferradura de Smale
Automorfismos hiperbólicos no Toro.
Estas aplicações são importantes, pois são caóticas em todo lugar que estão definidas. No
entanto, sua dinâmica pode ser descrita completamente.
Denotemos o Toro por T , e seja π a projeção natural de R 2 sobre T , isto é,
π(x, y) = [x, y] = π(x + M, y + N); onde M, N ∈ Z.
Certos sistemas dinâmicos no Toro podem ser descritos mais eficientemente no plano e
depois projetados sobre o Toro. Uma função F no plano, induz uma função bem definida ˆ F no
Toro. ˆ F é definida pelo seguinte diagrama:
R 2
F
−→ R 2
π ↓ π ↓
T
ˆF
−→ T
Definição 1. Seja L(x) = Ax onde A é uma matriz 2 × 2 satisfazendo:
1

1. Todos os elementos de A são inteiros.
2. det(A) = ±1.
3. A é hiperbólica.
A função induzida em T por A é chamada de um automorfismo hiperbólico no Toro e é
denotada por LA.
Atratores
Agora, introduziremos um novo tipo de fenômeno dinâmico que em dimensões mais altas
é natural, o atrator. Rapidamente falando, um atrator é um conjunto invariante para onde
todas as órbitas próximas convergem. Notemos que para funções unidimensionais, atratores
são pontos fixos ou periódicos. Introduziremos dois novos atratores muito mais complicados, o
solenóide e o atrator de Plykin. Estes são exemplos de um tipo especial de atrator conhecido
como atrator transitivo ou hiperbólico.
O solenóide é um atrator que está contido em um toro sólido, D = S1 ×B2 . Para definirmos o
solenóide, consideraremos a função F que leva D estritamente dentro dele mesmo, pela fórmula:
F (θ, p) = 2θ, 1 1
p +
10 2 eiθ
(1)
onde p ∈ B 2 e e iθ = (cos θ, sin θ) ∈ S 1 .
Figura 2: solenóide
Vejamos, agora, um exemplo de atrator sugerido por P lykin. Definiremos a função geometricamente,
exatamente como fizemos para a Ferradura.
Consideremos a região R no plano descrita na figura 3.
Figura 3:
R é uma região com três metades de discos removidas. Muniremos R com uma folhação
cujas folhas são intervalos. Definiremos uma função P : R → R como mostrado na figura 4.
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Requeremos que P preserve e contraia as folhas da folhação. Notemos que P (R) está contida
no interior de R. O conjunto
Λ =
P n (R)
é o atrator de Plykin.
Bibliografia Básica
n≥0
Figura 4:
1. R. L. Devaney. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, 2nd. ed. Addison-Wesley
Publishing Company. (1989)
2. C. Robinson. Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics and Chaos, 2nd. ed.
CRC Press. (1998)
3. K. T. Alligood, T. D. Sauer e J. A. Yorke. Chaos - An Introduction to Dynamical Systems.
Springer. (1996)
4. E. L. Lima. Curso de Análise - Vol. 1. I.M.P.A. 10a. ed. (2002)
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