Esboço de quádricas...Algumas técnicas e exemplos Exemplo O ...

Esboço de quádricas...Algumas técnicas e exemplos
Um esboço de um hiperbolóide de uma folha de equação
x 2
z2
− =1 (a > 0, b > 0, c > 0)
a b2 c2 pode ser obtida desenhando primeiro o traço (elipse) no plano
XOY, depois os traços nos planos z = ±c, eporfimascurvas
hiperbólicas que unem os pontos terminais dos eixos dessas elipses.
Oesboço...
2 + y 2
47
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Exemplo
Esboce o gráfico do hiperbolóide de uma folha de equação
x 2 + y 2 − z2
4 =1
.
Otraço no plano XOY, obtido fazendo z =0naequação, é
x 2 + y 2 =1 (z =0)
que é uma circunferência de raio 1 e centro na origem.
Os traços nos planos z =2ez = −2 são
x 2 + y 2 =2
que são círculos de raio √ 2 e centro no eixo dos zz. Juntando os
pontos extremos dos eixos das circunferências com hipérboles
obtemos o esboço final que se encontra no slide seguinte
Um esboço de um hiperbolóide de duas folhas de equação
z2 x 2 y 2
− − =1 (a > 0, b > 0, c > 0)
c2 a2 b2 pode ser obtida desenhando primeiro as intersecções com o eixo
dos zz, depois os traços (elipses) nos planos z = ±2c, eporfimas
curvas que unem os pontos terminais dos eixos dessas elipses com
os pontos da intersecção com o eixo dos zz.
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Exemplo
Esboce o gráfico do hiperbolóide de duas folhas de equação
z 2 − x 2 y 2
−
4 =1
. As intersecções com o eixo dos zz acontecem em z = ±1. Os
traços nos planos z =2ez = −2 são dados pela equação:
Oesboço...
x 2
3
y 2
+ =1 (z = ±2)
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Desenhando estas elipses e as hipérboles nos planos coordenados
verticais obtemos o esboço do slide seguinte
Um esboço de um parabolóide hiperbólico de equação
y 2 x 2
z = −
b2 a2 (a > 0, b > 0)
pode ser obtida desenhando primeiro os dois traços ( parábolas )
que passam na origem ( um no plano YOZ e outra no plano XOZ
), depois os traços (hipérboles) nos planos z = ±1, e por fim
preencher os lados que faltam.
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Exemplo
Esboce o gráfico do parabolóide hiperbólico de equação
z =
y 2
4
. Fazendo x =0naequação vem:
− x 2
9
y 2
z = (x =0)
4
que éumaparábola no plano YOZ com vértice na origem e a
“abrir”para o lado positivo do eixo dos zz. Fazendo y =0na
equação vem:
x 2
z = − (y =0)
4
que éumaparábola no plano XOZ com vértice na origem e a
“abrir”para o lado negativo do eixo dos zz.
Oesboço...
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Otraço no plano z =1é
y 2
4
− x 2
9
=1 (z =1)
que éumahipérbole que “abre”ao longo de uma linha paralela ao
eixo dos yy. O traço no plano z = −1 é
x 2
9
− y 2
4
=1 (z = −1)
que éumahipérbole que “abre”ao longo de uma linha paralela ao
eixo dos xx.
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