Funções Hiperbólicas:
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Disciplina de Cálculo II, Prof. Jaime E. Muñoz Rivera IM-UFRJ<br />
<strong>Funções</strong> <strong>Hiperbólicas</strong>:<br />
Estas funções são parecidas as funções trigonométricas e possuem muitas<br />
aplicações como veremos ao longo da disciplina. Definiremos primeiro as<br />
funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico:
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Propriedades das <strong>Funções</strong> <strong>Hiperbólicas</strong>:<br />
Usando a definição, verifique cada uma das propriedades anteriores.
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Aplicação: Posição de Equlibrio<br />
Uma das aplicações importantes das equações diferenciais ordinárias é para<br />
encontrar posição de equilibrio dos corpos. No seguinte exemplo consideraremos<br />
o caso de uma corda que se encontra entre dois postes.<br />
Problema 1.-<br />
Encontrar a posição de equilíbrio de um cabo preso no seus extremos que<br />
pasa pelos pontos (0,0) e (0,2). Assuma que a componente horizontal da<br />
tensão do cabo é igual a h=1 Newton e o peso específico é de ρ =1 N/m.<br />
Suporemos que o extremo inicial<br />
do cabo está configurado no<br />
origen de coordenadas e que o<br />
eixo das abscissas coincide com<br />
a posição inicial do cabo
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Fazendo um diagrama de forças e lembrando<br />
que a tensão horizontal é constante e igual a<br />
h, temos as seguintes equações<br />
A primeira equação corresponde ao equilíbrio das componentes<br />
horizontais e a segunda o equilíbrio das forças verticais. Note que T segue<br />
a direção da reta tangente, portanto teremos que<br />
Onde s é o cumprimento de arco da corda. Note que si derivamos uma vez<br />
mais obtemos
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Lembrando que o comprimento de arco verifica<br />
De onde finalmente obtemos y verifica a equação.<br />
Que é uma equação diferencial de segunda ordem não linear. Para resolver<br />
esta equação fazemos y'=p. Assim obtemos
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Integrando e fazendo a substituição<br />
Encontramos<br />
Assim temos que
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Para voltar a variavel original, construímos nosso triângulo retângulo<br />
Assim temos<br />
Resolvendo esta equação segue
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Lembrando que y'=p<br />
Encontramos que<br />
Lembrando as condições de contorno do problema y(0)=y(2)=0 obtemos<br />
que a solução y do problema é dada por:
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Problema de Valor Inicial e de Contorno.<br />
Quando resolvemos uma equação diferencial de primeira ordem obtemos como<br />
solução uma função com uma constante arbitraria que aparece pelo processo de<br />
integração que elaboramos ao calcular a solução.<br />
De forma análoga quando resolvemos uma equação deferencial de segunda<br />
ordem, aparecem duas constantes de integração. Isto significa que teremos infinitas<br />
soluções. Pois as constantes são arbitrárias. Assim podemos resolver uma equação<br />
diferencial de primeira ordem inserindo uma condição extra. Por exemplo que a<br />
solução no ponto t=0, tenha um determinado valor.<br />
Na primeira equação estamos exigindo que a solução no ponto zero seja igual a<br />
três. As equações acima são exemplos de problemas de valor inicial.
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Exercício:<br />
Encontrar a solução dos seguintes problemas de valor inicial<br />
Aplicando a condição inicial temos<br />
Logo a solução é dada por<br />
Na primeira equação temos que a solução geral é dada por
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Para o segundo problema, consideramos o polinômio caraterístico:<br />
Portanto a solução geral é dada por<br />
Aplicando as condições iniciais obtemos<br />
De onde a solução é dada por
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Exercício:<br />
Encontrar a solução do seguinte problema de contorno<br />
Como vimos no exercício anterior a solução geral é dada por<br />
Nosso próximo passo é encontrar A e B que verifique a condição de contorno.<br />
Portanto a solução é dada por