Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

de (3.30) satisfaz (3.72) . Além disso, h = ˆρ| ω×(0,T ) onde ˆρ é a solução (3.79) com dados
{ˆρ 0 , ˆρ 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω), minimizando o funcional Jε definido em (3.80) .
Prova: Mostramos anteriormente a existência de um mínimo {ˆρ 0 , ˆρ 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω)
para o funcional Jε. Provemos agora que h = ˆρ| ω×(0,T ) é o controle de modo que a solução
y de (3.30) satisfaça (3.72) . De fato, para h > 0 e {ρ 0 , ρ 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) , temos
0 ≤ 1
≤
h (Jε {{ˆρ 0 , ˆρ 1 } + h {ρ 0 , ρ 1 }} − Jε {ˆρ 0 , ˆρ 1 })
ω×(0,T )
ˆρρdxdt + h
2
ˆρρdxdt + (ρ
ω×(0,T )
0 , z0 ) − 〈ρ1 , z1 〉 H−1 (Ω),H1 0 (Ω) + ε {ρ0 , ρ1 }L2 (Ω)×H−1 (Ω) ,
onde ρ é solução de (3.79) com dados {ρ 0 , ρ 1 } . Fazendo h → 0 na inequação anterior,
deduzimos que
−ε ρ 0 , ρ 1 L 2 (Ω)×H −1 (Ω) ≤
Similarmente, para h < 0, obtemos
ω×(0,T )
ω×(0,T )
ˆρρdxdt + ρ 0 , z 0 − ρ 1 , z 1
H−1 (Ω),H1 .
0 (Ω)
ˆρρdxdt + ρ 0 , z 0 − ρ 1 , z 1
H −1 (Ω),H 1 0 (Ω) ≤ ε ρ 0 , ρ 1 L 2 (Ω)×H −1 (Ω) .
Logo, para qualquer {ρ 0 , ρ 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) , temos
ω×(0,T )
ˆρρdxdt + ρ 0 , z 0 − ρ 1 , z 1
H−1 (Ω),H1 0 (Ω) ≤ ε ρ 0 , ρ 1 L2 (Ω)×H−1 . (3.84)
(Ω)
Sendo ρ solução ultra fraca de (3.79) , no sentido da Definição 2.2, então, para y solução
de (3.30) , obtemos a seguinte identidade:
ρh1ωdxdt = (ρ (T ) , y
Q
′ (T )) − (ρ ′ (T ) , y (T )) . (3.85)
Tendo em conta que h = ˆρ, segue que
T
ρˆρdxdt = ρ 0 , y ′ (T ) − ρ 1 , y (T ) . (3.86)
Por (3.84) e (3.86) temos
0
ω
ρ 0 , ρ 1 , z 0 , z 1 − {y (T ) , y ′ (T )} ≤ ε ρ 0 , ρ 1 L 2 (Ω)×H −1 (Ω) ,
o que implica (3.72).
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