Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

(i) Se lim
ω×(0,T ) ρ2 dxdt > 0, então
0
Jε ρj, ρ1
j
ρ0 j , ρ1j → ∞
)j≥1 é limitado em L 2 (Ω) × H −1 (Ω) , então,
(ii) Se lim
ω×(0,T ) ρ2dxdt = 0. Sendo ( ˆρ 0 j, ˆρ 1 j
extraindo uma subsequência, podemos garantir que ( ˆρ 0 j, ˆρ 1
j )j≥1 coverge fracamente
para {ψ 0 , ψ 1 } em L 2 (Ω) × H −1 (Ω) . Além disso, se ψ é a solução de (3.79) com
{ψ (T ) , ψ ′ (T )} = {ψ 0 , ψ 1 }, então ˆρj, ˆρ ′ j
j≥1 converge fracamente para {ψ, ψ′ }
em L 2 (0, T ; L 2 (Ω) × H −1 (Ω))∩H 1 0, T ; H −1 (Ω × [H 2 ∩ H 1 0 (Ω)] ′ . Pela convergência
fraca, temos
ω×(0,T )
Assim ψ = 0 em ω × (0, T ) .
ρ 2
dxdt ≤ lim
ω×(0,T )
ρ 2 jdxdt = 0.
Para T > T0 = 2δ (Ω, ω), existe C > 0 tal que cumpre-se a desigualdade inversa (3.47) ,
para todo {ρ 0 , ρ 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) (ver Apêndice B). Logo {ψ 0 , ψ 1 } = {0, 0} e,
portanto,
Dessa forma,
ou seja,
0
ˆρ j, ˆρ 1 2 −1
j → {0, 0} fraco em L (Ω) × H (Ω) .
lim Jε
0 ρj, ρ1
j
≥ lim ε + z 0 , z 1 , ˆρ 0 j, ˆρ 1 j = ε,
ρ 0 j , ρ1 j
0 1
Jε ρ , ρ → ∞ quando ρ 0 , ρ 1 → ∞.
Portanto, nos dois casos (i) e (ii) temos a coercividade de Jε.
Dessa maneira, em visto do Teorema 1.11, temos que Jε atinge um mínimo {ˆρ 0 , ˆρ 1 } ∈
L 2 (Ω) × H −1 (Ω).
(3.30) .
Enunciaremos agora o teorema que garante a controlabilidade aproximada do sistema
Teorema 3.6 Seja T > T0 = 2δ (Ω, ω). Então para todo ε > 0 e dados {y 0 , y 1 } ,
{z 0 , z 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) , existe um controle h ∈ L 2 (ω × (0, T )), tal que a solução y
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