Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Para cada n ∈ N, seja ρn a solução de (3.79) associada aos dados {ρn(·, T ), ρ ′ n(·, T )} =
{ρ0 n, ρ1 n} ∈ L2 (Ω) × H−1 (Ω) . Assim, ψn = ρn − ρ é solução do seguinte sistema:
ψ
′′
n − ∆ψn = 0
ψn = 0 sobre
em
Σ,
Q,
ψn (·, T ) = ρ 0 n − ρ 0 , ψ ′ n (·, T ) = ρ 1 n − ρ 1 em Ω.
(3.82)
Sabemos por (2.136) que a solução ψn de (3.82) satisfaz a seguinte desigualdade:
|ψn| 2 dxdt ≤ C
, (3.83)
Q
à qual juntamente com (3.81) implicam que
ρ 0 n − ρ 0 L 2 (Ω) + ρ 1 n − ρ 1 H −1 (Ω)
ω×(0,T ) |ρn (x, t) − ρ (x, t)| 2 dxdt → 0, quando
n → ∞, o que prova a continuidade do funcional Jε e, portanto, sua semicontinuidade
inferior.
• Jε é estritamente convexo
Seja λ ∈ (0, 1) e {ρ 0 , ρ 1 } , {q 0 , q 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) , seguindo o mesmo argumento
utilizado na Subseção 3.2.2, temos
0 1
Jε λ ρ , ρ + (1 − λ) q 0 , q 1 0 1
< λJε ρ , ρ 0 1
+ (1 − λ) Jε q , q .
• Jε é coercivo.
Seja ρ0 j, ρ1
j j≥1 uma sequência em L2 (Ω)×H −1 (Ω) tal que ρ0 j, ρ1 j
∞. Normalizando temos
Logo
0
Jε ρj, ρ1
j
ρ 0 j , ρ1 j
= 1
2
0
ˆρ j, ˆρ 1 j =
0 ρj, ρ1
j
ρ0 j , ρ1 .
L
j 2 (Ω)×H−1 (Ω)
ρ 0 j, ρ 1
j ˆρ
ω×(0,T )
2 jdxdt + z 0 , z 1 , ˆρ 0 j, ˆρ 1 j + ε,
onde ˆρj é solução de (3.79) com dados iniciais ˆρ 0 j, ˆρ 1 j
casos:
86
L 2 (Ω)×H −1 (Ω) →
. Notemos que podem ocorrer dois