Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Para ρ 0 = a 0 , ρ 1 = −a 1 , consideremos ρ a solução do seguinte sistema:
Logo (3.78) se torna
temos
ρ
′′ − ∆ρ = 0 em Q,
ρ = 0 sobre Σ,
ρ (T ) = ρ 0 , ρ ′ (T ) = ρ 1 em Ω.
inf {F (h) + G (Lh)}
h
= − infF
h ∗
− ρ| ω×(0,T )
= − infF
− ρ| ω×(0,T )
h
1
= − inf ρ
h 2
2 dxdt + ρ 0 , z 0 − ρ 1 , z 1
ω×(0,T )
Considerando o funcional
+ ρ 0 , z 0 − ρ 1 , z 1
H −1 (Ω),H 1 0
+ α0 (Ω)
+ ρ 0 , z 0 − ρ 1 , z 1
H−1 (Ω),H1 + α0
0 (Ω)
H−1 (Ω),H1 + α0
0 (Ω)
J ρ 0 , ρ 1 = 1
ρ
2 ω×(0,T )
2 dx + ρ 0 , z 0 − ρ 1 , z 1
H−1 (Ω),H1 0
+ α0 (Ω)
inf {F (h) + G (Lh)} = − inf
h {ρ0 ,ρ1 J
}
ρ 0 , ρ 1 .
Para ε > 0, podemos reescrever o funcional J {ρ 0 , ρ 1 } como
Jε
fato,
(3.79)
0
ρ
+ α1 1
ρ
H−1 (Ω)
0
ρ
+ α1 1
ρ
H−1 (Ω)
0
ρ
+ α1 1
ρ
H−1 . (Ω)
0
ρ
+ α1 1
ρ
H−1 , (Ω)
0 1
ρ , ρ = 1
ρ
2 ω×(0,T )
2 dxdt + ρ 0 , z 0 − ρ 1 , z 1
H−1 (Ω),H1 0 (Ω) + ε ρ 0 , ρ 1 L2 (Ω)×H−1 . (Ω)
(3.80)
Mostraremos que o funcional Jε atinge um mínimo {ˆρ 0 , ˆρ 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω). De
• Jε é semicontínuo inferiormente.
Consideremos uma sequência ({ρ 0 n, ρ 1 n}) em L 2 (Ω) × H −1 (Ω), tal que
0
ρn, ρ 1 0 1
n → ρ , ρ forte em L 2 (Ω) × H −1 (Ω) . (3.81)
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