Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Consideremos o operador linear e contínuo L : L 2 (ω × (0, T )) → L 2 (Ω) × H 1 0 (Ω) que
leva h em {y ′ (T, h), y(T, h)} e definamos o operador adjunto L ∗ : L 2 (Ω) × H −1 (Ω) →
L 2 (ω × (0, T )) que leva {a 0 , a 1 } em ϕ| ω×(0,T ) , onde ϕ é a solução de
e
Introduzamos agora dois funcionais:
F (h) = 1
2
ϕ
′′ − ∆ϕ = 0 em Q,
ϕ = 0 sobre Σ,
ϕ (T ) = a 0 , ϕ ′ (T ) = −a 1 em Ω.
h
ω×(0,T )
2 dxdt sobre L 2 (ω × (0, T ))
G f 0 , f 1 ⎧
⎨
=
⎩ ∞, de outro modo.
0, se f 0 ∈ z 0 + α0B0 e f 1 ∈ z 1 + α1B1,
(3.76)
Com estas notações o problema (3.74) pode ser formulado como:
Achar inf {F (h) + G (Lh)} , h ∈ L
h 2 (ω × (0, T )) . (3.77)
Aplicaremos agora a teoria de dualidade no sentido de Fenchel.
Pelo Teorema de Fenchel (Teorema 1.12), com f = F , g = G e A = L, temos
∗
inf {F (h) + G (Lh)} = −inf F
h h
−L ∗ a 0 , −a 1 + G ∗ a 0 , −a 1 , (3.78)
com {a 0 , a 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) , onde
Temos também que
G ∗ a 0 , −a 1 = sup
F ∗ (h) = sup
h
{f 0 ,f 1 }
= sup
{f 0 ,f 1 }
= sup
B 0 ×B 1
(h, h) L 2 (Q) − F (h)
= F (h).
a 0 , −a 1 , f 0 , f 1 − G f 0 , f 1
a0 0
, f + a 1 , f 1
H−1 (Ω),H1 0 (Ω) − G f 0 , f 1
a
0 0 1 1
, z + α0B0 + a , z + α1B1 H−1 (Ω),H1 0 (Ω)
= a 0 , z 0 + sup
B 0
= a 0 , z 0
+ α0 0
a
1 1
+ a , z
0 1 1
a , α0B0 + a , z
H−1 (Ω),H1 + sup
0 (Ω)
84
H −1 (Ω),H 1 0
B 1
+ α1 1
a (Ω)
H−1 . (Ω)
1
a , α1B1