Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Seja {z 0 , z 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) e definamos B0 como sendo a bola unitária de H 1 0 (Ω)
e B1 a bola unitária de L 2 (Ω) . Provar que o sistema (3.30) é aproximadamente controlável
é equivalente a mostrar que para quaisquer α0, α1 > 0, existe h ∈ L 2 (ω × (0, T )) tal que a
solução y de (3.30) satisfaz
y(T ) ∈ z 0 + α0B0 e y ′ (T ) ∈ z 1 + α1B1. (3.73)
Seguindo os mesmos argumentos usados em Lions [20], provaremos a existência de um
controle h ∈ L 2 (ω × (0, T )) de modo que a solução y de (3.30) satisfaça (3.72) . Além disso
mostraremos que esse controle é de norma mínima. Com esse objetivo formularemos um
problema de minimização, para mostrar de forma natural a aparição do funcional custo
que nos fornece o controle desejado. Em seguida enunciaremos o teorema que garante a
controlabilidade aproximada para (3.30) , no sentido da Definição 3.2.
1. Formulação do Problema
Seja δ (Ω, ω) = supdist
{x, ω} . Consideremos o problema de minimização:
x∈Ω
Dados {z
0 , z1 } ∈ H1 0 (Ω) × L2 (Ω) , α0,α1 > 0, T > T0 = 2δ (Ω, ω) ,
achar inf 1
h
2
2dxdt entre todos os h ′ s que acarretam (3.73) .
ω×(0,T )
Observação 3.5 Notemos que:
(i) Se α0 = α1 = 0, o problema (3.74) é igual ao problema de controlabilidade exata.
(ii) Para ε > 0, o problema (3.74) pode também ser formulado como:
achar inf 1
2
Dados {z 0 , z 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) , ε > 0, T > T0 = 2δ (Ω, ω) ,
2. Método de Dualidade
h
ω×(0,T )
2dxdt entre todos os h ′ s que acarretam (3.72) .
83
(3.74)
(3.75)