Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Logo para qualquer {ρ 0 , ρ 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) , temos
Σ0
∂ ˆρ ∂ρ
∂ν ∂ν dΣ + ρ 1 , z 0 − z 1 , ρ 0
H−1 (Ω),H1 0 (Ω) ≤ ε ρ 0 , ρ 1 H1 0 (Ω)×L2 (Ω)
. (3.69)
Sendo y solução ultra fraca de (3.1) , no sentido da Definição 2.2, então, para ρ solução
de (3.62) , segue a seguinte identidade:
Tendo em conta que y| Σ0
− y (T ) , ρ 1 + y ′ (T ) , ρ 0
−
∂ ˆρ
= v =
∂ν Σ0
Σ0
Σ
, concluimos que
∂ρ
ydΓdt = 0. (3.70)
∂ν
∂ ˆρ ∂ρ
∂ν ∂ν dΓdt = y ′ (T ) , ρ 0 − y (T ) , ρ 1 . (3.71)
Dessa forma, substituindo (3.71) em (3.69) , deduzimos que
y ′ (T ) , ρ 0 − y (T ) , ρ 1 + ρ 1 , z 0 − z 1 , ρ 0
e, assim,
H−1 (Ω),H1 0 (Ω) ≤ ε ρ 0 , ρ 1 H1 0 (Ω)×L2 (Ω)
ρ 0 , ρ 1 , z 0 , z 1 − {y (T ) , y ′ (T )} ≤ ε ρ 0 , ρ 1 H 1 0 (Ω)×L 2 (Ω) .
Logo (3.55) se cumpre.
3.2.2 Controlabilidade Aproximada Interna
Nosso objetivo nesta seção é estudar o problema de controlabilidade aproximada para
o sistema (3.30) . Sendo o sistema linear, vamos a considerar, sem perda de generalidade, os
dados iniciais nulos.
Definição 3.2 Dizemos que (3.30) é aproximadamente controlável se, para todo ε > 0 e
{z 0 , z 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) , existe h ∈ L 2 (ω × (0, T )) tal que a solução y = y (x, t, h) do
sistema (3.30) , com dados iniciais {y 0 , y 1 } = {0, 0} , satisfaz
′ 0 1
{y(T ), y (T )} − z , z
H1 0 (Ω)×L2 ≤ ε. (3.72)
(Ω)
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