Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
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(3.1) .<br />
Logo<br />
ou seja,<br />
lim Jε<br />
<br />
0 ρj, ρ1 <br />
j<br />
<br />
<br />
= lim ε + z 0 , z 1 , ˆρ 0 j, ˆρ 1 j ≥ ε,<br />
ρ 0 j , ρ1 j<br />
0 1<br />
Jε ρ , ρ → ∞, quando ρ 0 , ρ 1 → ∞.<br />
Assim, em ambos os casos (i) e (ii) , Jε é coercivo.<br />
Dessa forma, podemos garantir que Jε atinge um mínimo {ˆρ 0 , ˆρ 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω).<br />
Enunciaremos agora o teorema que garante a controlabili<strong>da</strong>de aproxima<strong>da</strong> do sistema<br />
Teorema 3.5 Seja T > T0 = 2δ (Ω, Γ0) . Então para todo ε > 0 e <strong>da</strong>dos {y 0 , y 1 } , {z 0 , z 1 } ∈<br />
L2 (Ω)×H −1 (Ω) , existe um controle v ∈ L2 (Σ0) , tal que a solução y de (3.1) satisfaz (3.55) .<br />
<br />
∂ ˆρ<br />
Além disso, v = <br />
Σ0 , onde ˆρ é a solução de (3.62) com <strong>da</strong>dos {ˆρ0 , ˆρ 1 } ∈ H1 0 (Ω) × L2 (Ω)<br />
∂ν<br />
minimizando o funcional Jε definido em (3.64) .<br />
Prova: Mostramos anteriormente a existência de um mínimo {ˆρ 0 , ˆρ 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω)<br />
para o funcional Jε. Seja ˆρ a única solução fraca de (3.62) com <strong>da</strong>dos iniciais {ˆρ 0 , ˆρ 1 }. Temos<br />
∂ ˆρ<br />
∂ν ∈ L2 ∂ ˆρ<br />
(Σ) . Mostremos que v = <br />
∂ν Σ0<br />
(3.55) . De fato, para h > 0 e {ρ0 , ρ1 } ∈ H1 0 (Ω) × L2 (Ω) , temos<br />
0 ≤ 1<br />
h<br />
<br />
≤<br />
0 1<br />
Jε ˆρ , ˆρ + h ρ 0 , ρ 1 0 1<br />
− Jε ˆρ , ˆρ <br />
Σ0<br />
<br />
∂ ˆρ ∂ρ h<br />
dΣ +<br />
∂ν ∂ν 2 Σ0<br />
<br />
é o controle de modo que a solução y de (3.1) satisfaça<br />
2 ∂ρ<br />
dΣ +<br />
∂ν<br />
ρ 1 , z 0 − z 1 , ρ 0<br />
H−1 (Ω),H1 0 (Ω) + ε ρ 0 , ρ 1 H1 0 (Ω)×L2 (Ω) ,<br />
onde ρ é solução de (3.62) com <strong>da</strong>dos {ρ 0 , ρ 1 } . Fazendo h → 0 na inequação anterior,<br />
deduzimos que<br />
−ε ρ 0 , ρ 1 H 1 0 (Ω)×L 2 (Ω) ≤<br />
Analogamente, para h < 0, obtemos<br />
<br />
Σ0<br />
∂ ˆρ<br />
∂ν<br />
<br />
Σ0<br />
∂ ˆρ<br />
∂ν<br />
∂ρ<br />
∂ν dΣ + ρ 1 , z 0 − z 1 , ρ 0<br />
H−1 (Ω),H1 .<br />
0 (Ω)<br />
∂ρ<br />
∂ν dΣ + ρ 1 , z 0 − z 1 , ρ 0<br />
H −1 (Ω),H 1 0 (Ω) ≤ ε ρ 0 , ρ 1 H 1 0 (Ω)×L 2 (Ω) .<br />
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