Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

(3.1) .
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ou seja,
lim Jε
0 ρj, ρ1
j
= lim ε + z 0 , z 1 , ˆρ 0 j, ˆρ 1 j ≥ ε,
ρ 0 j , ρ1 j
0 1
Jε ρ , ρ → ∞, quando ρ 0 , ρ 1 → ∞.
Assim, em ambos os casos (i) e (ii) , Jε é coercivo.
Dessa forma, podemos garantir que Jε atinge um mínimo {ˆρ 0 , ˆρ 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω).
Enunciaremos agora o teorema que garante a controlabilidade aproximada do sistema
Teorema 3.5 Seja T > T0 = 2δ (Ω, Γ0) . Então para todo ε > 0 e dados {y 0 , y 1 } , {z 0 , z 1 } ∈
L2 (Ω)×H −1 (Ω) , existe um controle v ∈ L2 (Σ0) , tal que a solução y de (3.1) satisfaz (3.55) .
∂ ˆρ
Além disso, v =
Σ0 , onde ˆρ é a solução de (3.62) com dados {ˆρ0 , ˆρ 1 } ∈ H1 0 (Ω) × L2 (Ω)
∂ν
minimizando o funcional Jε definido em (3.64) .
Prova: Mostramos anteriormente a existência de um mínimo {ˆρ 0 , ˆρ 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω)
para o funcional Jε. Seja ˆρ a única solução fraca de (3.62) com dados iniciais {ˆρ 0 , ˆρ 1 }. Temos
∂ ˆρ
∂ν ∈ L2 ∂ ˆρ
(Σ) . Mostremos que v =
∂ν Σ0
(3.55) . De fato, para h > 0 e {ρ0 , ρ1 } ∈ H1 0 (Ω) × L2 (Ω) , temos
0 ≤ 1
h
≤
0 1
Jε ˆρ , ˆρ + h ρ 0 , ρ 1 0 1
− Jε ˆρ , ˆρ
Σ0
∂ ˆρ ∂ρ h
dΣ +
∂ν ∂ν 2 Σ0
é o controle de modo que a solução y de (3.1) satisfaça
2 ∂ρ
dΣ +
∂ν
ρ 1 , z 0 − z 1 , ρ 0
H−1 (Ω),H1 0 (Ω) + ε ρ 0 , ρ 1 H1 0 (Ω)×L2 (Ω) ,
onde ρ é solução de (3.62) com dados {ρ 0 , ρ 1 } . Fazendo h → 0 na inequação anterior,
deduzimos que
−ε ρ 0 , ρ 1 H 1 0 (Ω)×L 2 (Ω) ≤
Analogamente, para h < 0, obtemos
Σ0
∂ ˆρ
∂ν
Σ0
∂ ˆρ
∂ν
∂ρ
∂ν dΣ + ρ 1 , z 0 − z 1 , ρ 0
H−1 (Ω),H1 .
0 (Ω)
∂ρ
∂ν dΣ + ρ 1 , z 0 − z 1 , ρ 0
H −1 (Ω),H 1 0 (Ω) ≤ ε ρ 0 , ρ 1 H 1 0 (Ω)×L 2 (Ω) .
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