Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Seja ρ0 j, ρ1
j
(3.62) tal que ρ 0 j, ρ 1 j
onde ρ é solução de (3.62). Logo
0
Jε ρj, ρ1
j
= 1
2
ρ 0 j , ρ1 j
j≥1 uma sequência de dados iniciais em H1 0 (Ω) × L2 (Ω) para o sistema
H
1
0 (Ω)×L2 → ∞. Normalizando temos
(Ω)
0
ˆρ j, ˆρ 1 j =
ρ 0 j, ρ 1
j
Σ0
onde ˆρj é solução de (3.62) com dados ˆρ 0 j, ˆρ 1 j
(i) Se lim
Σ0
2 ∂ ˆρj
dΣ > 0, então
∂ν
0 ρj, ρ1
j
ρ0 j , ρ1
H
j 1
0 (Ω)×L2 ,
(Ω)
2 ∂ ˆρj
dΣ +
∂ν
z 0 , z 1 , ˆρ 0 j, ˆρ 1 j + ε,
0
Jε ρj, ρ1
j
ρ0 j , ρ1j . Notemos que dois casos podem ocorrer:
→ ∞.
2 ∂ ˆρj
(ii) Se lim
dΣ = 0. Sendo
Σ0 ∂ν
ˆρ 0 j, ˆρ 1
j
extraindo uma subsequência, podemos garantir que ˆρ 0 j, ˆρ 1
j
j≥1 limitada em H1 0 (Ω) × L 2 (Ω) , então,
j≥1
coverge fracamente
para {ψ 0 , ψ 1 } em H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) . Além disso, se ψ é a solução de (3.62) com dado
inicial {ψ (T ) , ψ ′ (T )} = {ψ 0 , ψ 1 }, então ˆρj, ˆρ ′ j
em L 2 (0, T ; H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω)) ∩ H 1 (0, T ; L 2 (Ω) × H −1 (Ω)) . Assim
converge fracamente a
Assim ∂ψ
∂ν
= 0 em Σ0.
∂ψ
∂ν
Σ0
, ∂ψ′
∂ν
e
2
∂ψ
dΣ ≤ lim
∂ν
Σ0
∂ ˆρj
∂ν , ∂ ˆρ′ j
∂ν
j≥1 converge fracamente a {ψ, ψ′ }
2 ∂ ˆρj
dΣ = 0.
∂ν
Para T > T0 = 2δ (Ω, Γ0), existe uma constante C > 0, tal que cumpre-se a
desigualdade inversa (3.21) para todo {ψ 0 , ψ 1 } em H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) (ver Apêndice B).
Logo {ψ 0 , ψ 1 } = {0, 0} e, portanto,
0
ˆρ j, ˆρ 1 1
j → {0, 0} fraco em H0 (Ω) × L 2 (Ω) .
80
j≥1