Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
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Pelo Teorema 2.7, a solução ψn de (3.66) sartisfaz a desigual<strong>da</strong>de direta:<br />
<br />
Σ0<br />
<br />
∂ψn<br />
<br />
<br />
∂ν <br />
Segue de (3.65) e (3.67) que <br />
Σ0<br />
2<br />
dΓdt ≤ C 0<br />
ρn − ρ 0 <br />
+ ρ1 n − ρ 1 . (3.67)<br />
<br />
∂ρn<br />
∂ρ<br />
(x, t) − ∂ν ∂ν (x, t) 2 dxdt → 0, quando n → ∞, provando<br />
assim a continui<strong>da</strong>de do funcional J e, portanto, sua semicontinui<strong>da</strong>de inferior.<br />
• Jε é estritamente convexo.<br />
Sejam λ ∈ (0, 1) e {ρ 0 , ρ 1 } , {q 0 , q 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) .Assim<br />
Jε {λ {ρ0 , ρ1 } + (1 − λ) {q0 , q1 }} = 1<br />
<br />
2 Σ0<br />
∂ (λρ + (1 − λ) q)<br />
− 〈z 1 , λρ 0 + (1 − λ) q 0 〉 H −1 (Ω),H 1 0 (Ω) + ε (λρ1 + (1 − λ) q 1 , λρ 0 + (1 − λ) q 0 )<br />
= 1<br />
<br />
2<br />
Σ0<br />
∂ (λρ + (1 − λ) q)<br />
∂ν<br />
+ (1 − λ) [(q 1 , z 0 ) − 〈z 1 , q 0 〉 + ε (q 0 , q 1 )] .<br />
Observemos que<br />
∂ν<br />
2<br />
dΣ + λ [(ρ 1 , z 0 ) − 〈z 1 , ρ 0 〉 + ε (ρ 0 , ρ 1 )]<br />
2<br />
dΣ + (λρ 1 + (1 − λ) q 1 , z 0 )<br />
(3.68)<br />
2 1 ∂ (λρ + (1 − λ) q)<br />
dΣ =<br />
2 Σ0 ∂ν<br />
λ2<br />
2 <br />
∂ρ<br />
∂ρ ∂q<br />
dΣ + λ (1 − λ)<br />
dΣ<br />
2 Σ0 ∂ν<br />
Σ0 ∂ν ∂ν<br />
+ (1 − λ)2<br />
2 ∂q<br />
dΣ ≤<br />
2 Σ0 ∂ν<br />
λ2<br />
2 2 ∂ρ (1 − λ)2 ∂ρ<br />
dΣ + dΣ<br />
2 Σ0 ∂ν<br />
2 Σ0 ∂ν<br />
+ λ2<br />
2 2 ∂q (1 − λ)2 ∂q<br />
dΣ + dΣ ≤<br />
2 Σ0 ∂ν<br />
2 Σ0 ∂ν<br />
λ2<br />
2 2 ∂ρ (1 − λ)2 ∂q<br />
dΣ + dΣ.<br />
2 Σ0 ∂ν<br />
2 Σ0 ∂ν<br />
Logo substituindo em (3.68), obtemos<br />
0 1<br />
Jε λ ρ , ρ + (1 − λ) q 0 , q 1 0 1<br />
< λJε ρ , ρ 0 1<br />
+ (1 − λ) Jε q , q ,<br />
o que garante a convexi<strong>da</strong>de de Jε.<br />
• Jε é coercivo.<br />
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