Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Pelo Teorema 2.7, a solução ψn de (3.66) sartisfaz a desigualdade direta:
Σ0
∂ψn
∂ν
Segue de (3.65) e (3.67) que
Σ0
2
dΓdt ≤ C 0
ρn − ρ 0
+ ρ1 n − ρ 1 . (3.67)
∂ρn
∂ρ
(x, t) − ∂ν ∂ν (x, t) 2 dxdt → 0, quando n → ∞, provando
assim a continuidade do funcional J e, portanto, sua semicontinuidade inferior.
• Jε é estritamente convexo.
Sejam λ ∈ (0, 1) e {ρ 0 , ρ 1 } , {q 0 , q 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) .Assim
Jε {λ {ρ0 , ρ1 } + (1 − λ) {q0 , q1 }} = 1
2 Σ0
∂ (λρ + (1 − λ) q)
− 〈z 1 , λρ 0 + (1 − λ) q 0 〉 H −1 (Ω),H 1 0 (Ω) + ε (λρ1 + (1 − λ) q 1 , λρ 0 + (1 − λ) q 0 )
= 1
2
Σ0
∂ (λρ + (1 − λ) q)
∂ν
+ (1 − λ) [(q 1 , z 0 ) − 〈z 1 , q 0 〉 + ε (q 0 , q 1 )] .
Observemos que
∂ν
2
dΣ + λ [(ρ 1 , z 0 ) − 〈z 1 , ρ 0 〉 + ε (ρ 0 , ρ 1 )]
2
dΣ + (λρ 1 + (1 − λ) q 1 , z 0 )
(3.68)
2 1 ∂ (λρ + (1 − λ) q)
dΣ =
2 Σ0 ∂ν
λ2
2
∂ρ
∂ρ ∂q
dΣ + λ (1 − λ)
dΣ
2 Σ0 ∂ν
Σ0 ∂ν ∂ν
+ (1 − λ)2
2 ∂q
dΣ ≤
2 Σ0 ∂ν
λ2
2 2 ∂ρ (1 − λ)2 ∂ρ
dΣ + dΣ
2 Σ0 ∂ν
2 Σ0 ∂ν
+ λ2
2 2 ∂q (1 − λ)2 ∂q
dΣ + dΣ ≤
2 Σ0 ∂ν
2 Σ0 ∂ν
λ2
2 2 ∂ρ (1 − λ)2 ∂q
dΣ + dΣ.
2 Σ0 ∂ν
2 Σ0 ∂ν
Logo substituindo em (3.68), obtemos
0 1
Jε λ ρ , ρ + (1 − λ) q 0 , q 1 0 1
< λJε ρ , ρ 0 1
+ (1 − λ) Jε q , q ,
o que garante a convexidade de Jε.
• Jε é coercivo.
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