Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

podemos reescrever (3.61) por
inf {F (v) + G (Lv)} = − inf
v L2 F
(Σ)
∗
= − inf
L2
F −
(Σ)
∂ρ
∂ν
= − inf
L2
1 ∂ρ
(Σ) 2 ∂ν
Σ0
Considerando o funcional
J ρ 0 , ρ 1 = 1
2 Σ0
temos que
− ∂ρ
+ (ρ
∂ν
1 , z0 ) − 〈z1 , ρ0 〉 H−1 (Ω),H1 0 (Ω) + α0 |ρ1 | + α1 ρ0
+ (ρ 1 , z 0 ) − 〈z 1 , ρ 0 〉 H −1 (Ω),H 1 0 (Ω) + α0 |ρ 1 | + α1 ρ 0
2 dΣ + (ρ1 , z0 ) − 〈z1 , ρ0 〉 H−1 (Ω),H1 0 (Ω) + α0 |ρ1 | + α1 ρ0
.
2 ∂ρ
dΣ +
∂ν
ρ 1 , z 0 − z 1 , ρ 0
H−1 (Ω),H1 0
inf
v
+ α0 (Ω)
1
ρ
+ α1 0
ρ ,
{F (v) + G (Lv)} = − inf
{ρ0 ,ρ1 J
}
ρ 0 , ρ 1 . (3.63)
Para ε > 0, reescrevamos o funcional J {ρ 0 , ρ 1 } como sendo
Jε
0 1
ρ , ρ = 1
2 Σ0
2 ∂ρ
dΣ +
∂ν
ρ 1 , z 0 − z 1 , ρ 0
H−1 (Ω),H1 0 (Ω) + ε ρ 0 , ρ 1 H1 0 (Ω)×L2 (Ω) .
(3.64)
Mostremos, por medio do Teorema 1.11, que o funcional Jε atinge um mínimo {ˆρ 0 , ˆρ 1 } ∈
H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω).
• Jε é semicontínuo inferiormente.
De fato, consideremos uma sequência ({ρ 0 n, ρ 1 n}) em H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω), tal que
0
ρn, ρ 1 0 1
n → ρ , ρ forte em H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) . (3.65)
Para cada n ∈ N, seja ρn a solução de (3.62) associada aos dados {ρn (·, T ) , ρ ′ n (·, T )} =
{ρ0 n, ρ1 n} ∈ H1 0 (Ω) × L2 (Ω) . Assim, ψn = ρn − ρ é solução do seguinte sistema:
ψ
′′
n − ∆ψn = 0
ψn = 0 sobre
em
Σ,
Q,
ψn (·, T ) = ρ 0 n − ρ 0 , ψ ′ n (·, T ) = ρ 1 n − ρ 1 em Ω.
78
(3.66)