Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
e<br />
G f 0 , f 1 ⎧<br />
⎨<br />
=<br />
⎩ ∞, de outro modo.<br />
0, se f 0 ∈ z 0 + α0B0 e f 1 ∈ z 1 + α1B1,<br />
Com estas notações o problema (3.57) pode ser formulado como segue<br />
<br />
<br />
Achar inf<br />
v {F (v) + G (Lv)} , v ∈ L2 (Σ0) . (3.60)<br />
Aplicaremos agora a teoria de duali<strong>da</strong>de no sentido de Fenchel.<br />
Pelo Teorema de Fenchel (Teorema 1.12), com f = F, g = G, A = L, temos<br />
inf<br />
v<br />
{F (v) + G (Lv)} = −inf<br />
v<br />
com {a 0 , a 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) , onde<br />
Temos, também que<br />
G ∗ a 1 , −a 0 = sup<br />
F ∗ −L ∗ a 1 , −a 0 + G ∗ a 1 , −a 0 , (3.61)<br />
F ∗ <br />
<br />
(v) = sup<br />
v<br />
(v, v) L2 (Σ) − F (v) = F (v).<br />
{f 0 ,f 1 }<br />
= sup<br />
{f 0 ,f 1 }<br />
= sup<br />
B 0 ×B 1<br />
a 1 , −a 0 , f 0 , f 1 − G f 0 , f 1<br />
a1 0<br />
, f + f 1 , a 0<br />
H−1 (Ω),H1 0 (Ω) − G f 0 , f 1<br />
a 1 0 1<br />
, z + α0B0 + z + α1B1, a 0<br />
H−1 (Ω),H1 0 (Ω)<br />
<br />
= a 1 , z 0 + sup<br />
B 0<br />
= a 1 , z 0 <br />
+ α0 1<br />
a <br />
1 0<br />
+ z , a <br />
1 1 0<br />
a , α0B0 + z , a <br />
H−1 (Ω),H1 + sup<br />
0 (Ω)<br />
H −1 (Ω),H 1 0<br />
<br />
+ α1 0<br />
a (Ω) .<br />
Fazendo ρ 0 = −a 0 , ρ 1 = a 1 , e considerando ρ a solução do sistema<br />
<br />
<br />
ρ<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
′′ − ∆ρ = 0 em Q,<br />
ρ = 0 sobre Σ,<br />
ρ (T ) = ρ 0 , ρ ′ (T ) = ρ 1 em Ω,<br />
77<br />
B 1<br />
α1B1, a 0<br />
(3.62)