Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

e
G f 0 , f 1 ⎧
⎨
=
⎩ ∞, de outro modo.
0, se f 0 ∈ z 0 + α0B0 e f 1 ∈ z 1 + α1B1,
Com estas notações o problema (3.57) pode ser formulado como segue
Achar inf
v {F (v) + G (Lv)} , v ∈ L2 (Σ0) . (3.60)
Aplicaremos agora a teoria de dualidade no sentido de Fenchel.
Pelo Teorema de Fenchel (Teorema 1.12), com f = F, g = G, A = L, temos
inf
v
{F (v) + G (Lv)} = −inf
v
com {a 0 , a 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) , onde
Temos, também que
G ∗ a 1 , −a 0 = sup
F ∗ −L ∗ a 1 , −a 0 + G ∗ a 1 , −a 0 , (3.61)
F ∗
(v) = sup
v
(v, v) L2 (Σ) − F (v) = F (v).
{f 0 ,f 1 }
= sup
{f 0 ,f 1 }
= sup
B 0 ×B 1
a 1 , −a 0 , f 0 , f 1 − G f 0 , f 1
a1 0
, f + f 1 , a 0
H−1 (Ω),H1 0 (Ω) − G f 0 , f 1
a 1 0 1
, z + α0B0 + z + α1B1, a 0
H−1 (Ω),H1 0 (Ω)
= a 1 , z 0 + sup
B 0
= a 1 , z 0
+ α0 1
a
1 0
+ z , a
1 1 0
a , α0B0 + z , a
H−1 (Ω),H1 + sup
0 (Ω)
H −1 (Ω),H 1 0
+ α1 0
a (Ω) .
Fazendo ρ 0 = −a 0 , ρ 1 = a 1 , e considerando ρ a solução do sistema
ρ
′′ − ∆ρ = 0 em Q,
ρ = 0 sobre Σ,
ρ (T ) = ρ 0 , ρ ′ (T ) = ρ 1 em Ω,
77
B 1
α1B1, a 0
(3.62)