Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

(ii) Para ε > 0, o problema (3.57) pode também ser formulado por
achar inf 1
2
Dados {z 0 , z 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) , ε > 0, T > T0 = 2δ (Ω, Γ0) ,
Σ0
2. Método de Dualidade
v 2 dΣ entre todos os v ′ s que acarretam (3.55) .
(3.58)
Consideremos o operador linear e contínuo L : L 2 (Σ0) → L 2 (Ω) × H −1 (Ω) que leva v
em {y(T, v), y ′ (T, v)} e definamos o operador adjunto L ∗ : H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) → L 2 (Σ0) que
leva {a1 , a0 } em ∂ϕ
∂ν Σ0
, onde ϕ é a solução de
ϕ
′′ − ∆ϕ = 0 em Q,
ϕ = 0 sobre Σ,
ϕ (T ) = −a 0 , ϕ ′ (T ) = a 1 em Ω.
(3.59)
Vejamos agora que o operador adjunto L ∗ é bem definido. De fato, se {a 0 , a 1 } ∈
H1 0 (Ω) × L2 (Ω) então ∂ϕ
∂ν ∈ L2 (Σ). Assim {a1 , a0 } ↦→ ∂ϕ
∂ν Σ0
linear e contínuo de H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) em L 2 (Σ0) .
define um operador, o qual é
Multiplicando (3.59) 1 por y (solução de (3.1) com y 0 = y 1 = 0) e integrando formalmente
em Q, obtemos
Ω
y ′
(T ) , ϕ (T ) dx −
Ω
y (T ) , ϕ ′
(T ) dx +
Σ0
∂ϕ
vdΣ = 0.
∂ν
Sendo {a 0 , a 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) e {y(T ), y ′ (T )} ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) , temos por (3.23) que
Σ0
Assim
∂ϕ
∂ν vdΣ = {y(T ), y ′ (T )} , a 1 , −a 0 = Lv, a 1 , −a 0 = v, L ∗ a 1 , −a 0
L 2 (Σ) .
Introduzamos agora dois funcionais:
L ∗ a 1 , −a 0 = ∂ϕ
∂ν .
F (v) = 1
v
2 Σ0
2 dΣ sobre L 2 (Σ0)
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