Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
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Definição 3.1 Dizemos que (3.1) é aproxima<strong>da</strong>mente controlável se, para todo ε > 0 e<br />
{z 0 , z 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) , existe v ∈ L 2 (Σ0) , tal que a solução y = y (x, t, v) do sistema<br />
(3.1) com <strong>da</strong>dos iniciais {y 0 , y 1 } = {0, 0}, satisfaz<br />
<br />
{y(T ), y ′ (T )} − z 0 , z 1 L 2 (Ω)×H −1 (Ω) ≤ ε. (3.55)<br />
Consideremos {z 0 , z 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) e definamos B0 como sendo a bola unitária<br />
de L 2 (Ω) e B1 a bola unitária de H −1 (Ω) . Provar que o sistema (3.1) é aproxima<strong>da</strong>mente<br />
controlável é equivalente a mostrar que para quaisquer α0, α1 > 0, existe v ∈ L 2 (Σ0) , tal<br />
que a solução y de (3.1) satisfaz<br />
y(T ) ∈ z 0 + α0B0 e y ′ (T ) ∈ z 1 + α1B1. (3.56)<br />
Além de querermos provar a existência de um controle v ∈ L 2 (Σ0) de modo que a<br />
solução y de (3.1) satisfaça (3.55) , queremos também mostrar que esse controle é de norma<br />
mínima. Assim, antes de enunciamos o teorema que garante a controlabili<strong>da</strong>de aproxima<strong>da</strong><br />
para (3.1) , no sentido <strong>da</strong> Definição 3.1, formularemos um problema de minimização, de<br />
forma que apareça naturalmente um funcional custo que nos forneça o controle desejado.<br />
Aqui seguiremos os mesmos argumentos usados em Lions [20].<br />
1. Formulação do Problema de Minimização<br />
Seja δ (Ω, Γ0) = supdist<br />
{x, Γ0} . Consideremos o problema de minimização:<br />
x∈Ω<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Dados {z 0 , z 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) , α0, α1 > 0, T > T0 = 2δ (Ω, Γ0) ,<br />
achar inf 1<br />
2<br />
<br />
Σ0<br />
Observação 3.4 Notemos que:<br />
v 2 dΣ entre todos os v ′ s que acarretam (3.56) .<br />
(i) Se α0 = α1 = 0, o problema (3.57) é igual ao problema de controlabili<strong>da</strong>de exata.<br />
75<br />
(3.57)