Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Definição 3.1 Dizemos que (3.1) é aproximadamente controlável se, para todo ε > 0 e
{z 0 , z 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) , existe v ∈ L 2 (Σ0) , tal que a solução y = y (x, t, v) do sistema
(3.1) com dados iniciais {y 0 , y 1 } = {0, 0}, satisfaz
{y(T ), y ′ (T )} − z 0 , z 1 L 2 (Ω)×H −1 (Ω) ≤ ε. (3.55)
Consideremos {z 0 , z 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) e definamos B0 como sendo a bola unitária
de L 2 (Ω) e B1 a bola unitária de H −1 (Ω) . Provar que o sistema (3.1) é aproximadamente
controlável é equivalente a mostrar que para quaisquer α0, α1 > 0, existe v ∈ L 2 (Σ0) , tal
que a solução y de (3.1) satisfaz
y(T ) ∈ z 0 + α0B0 e y ′ (T ) ∈ z 1 + α1B1. (3.56)
Além de querermos provar a existência de um controle v ∈ L 2 (Σ0) de modo que a
solução y de (3.1) satisfaça (3.55) , queremos também mostrar que esse controle é de norma
mínima. Assim, antes de enunciamos o teorema que garante a controlabilidade aproximada
para (3.1) , no sentido da Definição 3.1, formularemos um problema de minimização, de
forma que apareça naturalmente um funcional custo que nos forneça o controle desejado.
Aqui seguiremos os mesmos argumentos usados em Lions [20].
1. Formulação do Problema de Minimização
Seja δ (Ω, Γ0) = supdist
{x, Γ0} . Consideremos o problema de minimização:
x∈Ω
Dados {z 0 , z 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) , α0, α1 > 0, T > T0 = 2δ (Ω, Γ0) ,
achar inf 1
2
Σ0
Observação 3.4 Notemos que:
v 2 dΣ entre todos os v ′ s que acarretam (3.56) .
(i) Se α0 = α1 = 0, o problema (3.57) é igual ao problema de controlabilidade exata.
75
(3.57)