Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
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outro controle tal que para <strong>da</strong>dos iniciais {y 0 , y 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω), a solução y de (3.30)<br />
satisfaz (3.31). Então<br />
Prova: Seja<br />
temos<br />
hL2 (Σ0) ≤ gL2 (Σ0) . (3.52)<br />
<br />
φ 0 , φ 1<br />
<br />
o mínimo do funcional J . Considerando φ 0 , φ 1<br />
∈ D(Ω) × D(Ω),<br />
h 2<br />
L 2 (ω×(0,T )) =<br />
T <br />
Pelo Lema 3.4, para g ∈ L2 (ω × (0, T )) obtemos<br />
T <br />
<br />
gφdxdt = − φ 0 , φ 1<br />
, y 1 , y 0<br />
<br />
= −<br />
0<br />
ω<br />
Assim, por (3.53) e (3.54) , obtemos<br />
h 2<br />
L2 (ω×(0,T )) =<br />
T <br />
gφdxdt<br />
≤ g L 2 (ω×(0,T ))<br />
o que mostra (3.52). <br />
0<br />
<br />
0<br />
ω<br />
<br />
2 φ dxdt = φ 1 , y 0<br />
<br />
H−1 (Ω)H1 0 (Ω),<br />
<br />
− φ<br />
Ω<br />
0 y 1 dx. (3.53)<br />
ω<br />
φ<br />
Ω<br />
0 y 1 dx +<br />
<br />
φ 1 , y 0<br />
<br />
H −1 (Ω),H 1 0 (Ω)<br />
φ L 2 (ω×(0,T )) = g L 2 (ω×(0,T )) h L 2 (ω×(0,T )) ,<br />
3.2 <strong>Controlabili<strong>da</strong>de</strong> <strong>Aproxima<strong>da</strong></strong><br />
. (3.54)<br />
Outro tipo de controlabili<strong>da</strong>de que podemos analisar para a equação linear <strong>da</strong> on<strong>da</strong><br />
é a controlabili<strong>da</strong>de aproxima<strong>da</strong>, à qual é uma consequência <strong>da</strong> controlabili<strong>da</strong>de exata.<br />
Na presente seção estu<strong>da</strong>remos quando os sistemas (3.1) e (3.30) são aproxima<strong>da</strong>mente<br />
controláveis. Inicialmente, formularemos os problemas de minimização que serão abor<strong>da</strong>dos<br />
fazendo uso do método de duali<strong>da</strong>de no sentido de Fenchel e, em segui<strong>da</strong>, enunciaremos os<br />
teoremas que nos garantem a controlabili<strong>da</strong>de aproxima<strong>da</strong> dos sistemas.<br />
3.2.1 <strong>Controlabili<strong>da</strong>de</strong> <strong>Aproxima<strong>da</strong></strong> na Fronteira<br />
Nosso objetivo nesta seção é estu<strong>da</strong>r o problema de controlabili<strong>da</strong>de aproxima<strong>da</strong> para<br />
o sistema (3.1) . Aqui vamos considerar os <strong>da</strong>dos iniciais nulos, ou seja, {y 0 , y 1 } = {0, 0} .<br />
Notemos que não perdemos a generali<strong>da</strong>de, visto que o sistema é linear.<br />
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