Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

outro controle tal que para dados iniciais {y 0 , y 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω), a solução y de (3.30)
satisfaz (3.31). Então
Prova: Seja
temos
hL2 (Σ0) ≤ gL2 (Σ0) . (3.52)
φ 0 , φ 1
o mínimo do funcional J . Considerando φ 0 , φ 1
∈ D(Ω) × D(Ω),
h 2
L 2 (ω×(0,T )) =
T
Pelo Lema 3.4, para g ∈ L2 (ω × (0, T )) obtemos
T
gφdxdt = − φ 0 , φ 1
, y 1 , y 0
= −
0
ω
Assim, por (3.53) e (3.54) , obtemos
h 2
L2 (ω×(0,T )) =
T
gφdxdt
≤ g L 2 (ω×(0,T ))
o que mostra (3.52).
0
0
ω
2 φ dxdt = φ 1 , y 0
H−1 (Ω)H1 0 (Ω),
− φ
Ω
0 y 1 dx. (3.53)
ω
φ
Ω
0 y 1 dx +
φ 1 , y 0
H −1 (Ω),H 1 0 (Ω)
φ L 2 (ω×(0,T )) = g L 2 (ω×(0,T )) h L 2 (ω×(0,T )) ,
3.2 Controlabilidade Aproximada
. (3.54)
Outro tipo de controlabilidade que podemos analisar para a equação linear da onda
é a controlabilidade aproximada, à qual é uma consequência da controlabilidade exata.
Na presente seção estudaremos quando os sistemas (3.1) e (3.30) são aproximadamente
controláveis. Inicialmente, formularemos os problemas de minimização que serão abordados
fazendo uso do método de dualidade no sentido de Fenchel e, em seguida, enunciaremos os
teoremas que nos garantem a controlabilidade aproximada dos sistemas.
3.2.1 Controlabilidade Aproximada na Fronteira
Nosso objetivo nesta seção é estudar o problema de controlabilidade aproximada para
o sistema (3.1) . Aqui vamos considerar os dados iniciais nulos, ou seja, {y 0 , y 1 } = {0, 0} .
Notemos que não perdemos a generalidade, visto que o sistema é linear.
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