Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
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Pela desigual<strong>da</strong>de inversa (3.47) obtemos<br />
J {φ0 , φ1 } ≥ C<br />
2 {φ0 , φ1 } 2<br />
L2 (Ω)×H−1 1<br />
(Ω) −<br />
2 {φ0 , φ1 }L2 (Ω)×H−1 (Ω) {y0 , y1 }H1 0 (Ω)×L2 (Ω)<br />
<br />
1<br />
≥<br />
2 {φ0 , φ1 <br />
}L2 (Ω)×H−1 (Ω) C {φ0 , φ1 }L2 (Ω)×H−1 (Ω) − {y0 , y1 <br />
}L2 (Ω)×H−1 (Ω) ,<br />
ou seja,<br />
e, portanto, J é coercivo.<br />
Dessa forma tem J um único mínimo<br />
lim<br />
(φ0 ,φ1 J<br />
)L2 (Ω)×H−1 (Ω) →∞<br />
φ 0 , φ 1 = ∞.<br />
<br />
φ 0 , φ 1<br />
∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω). <br />
Mostremos agora que o mínimo do funcional encontrado no teorema anterior nos fornece<br />
o controle de norma mínima desejado.<br />
Teorema 3.4 Seja<br />
<br />
φ 0 , φ 1<br />
a solução de (3.32) com <strong>da</strong>dos iniciais<br />
∈ L 2 (Ω)×H −1 (Ω) o mínimo do funcional J . Se φ corresponde<br />
<br />
φ 0 , φ 1<br />
, então h = φ ω é um controle tal que para<br />
<strong>da</strong>dos iniciais {y 0 , y 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω), a solução y de (3.30), satisfaz (3.31).<br />
Prova: Se<br />
Logo,<br />
<br />
φ 0 , φ 1<br />
∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) é um mínimo do funcional J , então<br />
<br />
J φ<br />
lim<br />
h→0<br />
0 , φ 1<br />
+ h {φ0 , φ1 <br />
} − J φ 0 , φ 1<br />
h<br />
T <br />
0<br />
ω<br />
= 0.<br />
<br />
φφdxdt + + y<br />
Ω<br />
1 φ 0 dx − φ 1 , y 0<br />
H−1 (Ω),H1 = 0,<br />
0 (Ω)<br />
para algum {φ 0 , φ 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω), onde φ é solução de (3.32) . Assim pelo Lema 3.4,<br />
temos que h = φ ω é um controle tal que para <strong>da</strong>dos iniciais {y 0 , y 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω), a<br />
solução y de (3.30) satisfaz (3.31). <br />
A seguinte proposição mostra que o controle h obtido pela minimização do funcional é<br />
de norma mínima.<br />
Proposição 3.2 Seja h = φ o controle tal que φ é a solução do sistema (3.32), cujos<br />
<br />
ω<br />
<strong>da</strong>dos iniciais φ 0 , φ 1<br />
correspondem ao mínimo do funcional J . Se g ∈ L2 (ω × (0, T )) é<br />
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