Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Pela desigualdade inversa (3.47) obtemos
J {φ0 , φ1 } ≥ C
2 {φ0 , φ1 } 2
L2 (Ω)×H−1 1
(Ω) −
2 {φ0 , φ1 }L2 (Ω)×H−1 (Ω) {y0 , y1 }H1 0 (Ω)×L2 (Ω)
1
≥
2 {φ0 , φ1
}L2 (Ω)×H−1 (Ω) C {φ0 , φ1 }L2 (Ω)×H−1 (Ω) − {y0 , y1
}L2 (Ω)×H−1 (Ω) ,
ou seja,
e, portanto, J é coercivo.
Dessa forma tem J um único mínimo
lim
(φ0 ,φ1 J
)L2 (Ω)×H−1 (Ω) →∞
φ 0 , φ 1 = ∞.
φ 0 , φ 1
∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω).
Mostremos agora que o mínimo do funcional encontrado no teorema anterior nos fornece
o controle de norma mínima desejado.
Teorema 3.4 Seja
φ 0 , φ 1
a solução de (3.32) com dados iniciais
∈ L 2 (Ω)×H −1 (Ω) o mínimo do funcional J . Se φ corresponde
φ 0 , φ 1
, então h = φ ω é um controle tal que para
dados iniciais {y 0 , y 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω), a solução y de (3.30), satisfaz (3.31).
Prova: Se
Logo,
φ 0 , φ 1
∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) é um mínimo do funcional J , então
J φ
lim
h→0
0 , φ 1
+ h {φ0 , φ1
} − J φ 0 , φ 1
h
T
0
ω
= 0.
φφdxdt + + y
Ω
1 φ 0 dx − φ 1 , y 0
H−1 (Ω),H1 = 0,
0 (Ω)
para algum {φ 0 , φ 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω), onde φ é solução de (3.32) . Assim pelo Lema 3.4,
temos que h = φ ω é um controle tal que para dados iniciais {y 0 , y 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω), a
solução y de (3.30) satisfaz (3.31).
A seguinte proposição mostra que o controle h obtido pela minimização do funcional é
de norma mínima.
Proposição 3.2 Seja h = φ o controle tal que φ é a solução do sistema (3.32), cujos
ω
dados iniciais φ 0 , φ 1
correspondem ao mínimo do funcional J . Se g ∈ L2 (ω × (0, T )) é
73