Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Da desigualdade direta (3.46) obtemos
e, portanto,
J φ 0 , φ 1 ≤ C
2
J φ 0 , φ 1 ≤ 1
2 C φ 0 , φ 1 2
L 2 (Ω)×H −1 (Ω) + φ 0 , φ 1 , y 1 , y 0
φ 0 , φ 1 2
L2 (Ω)×H−1 (Ω) + φ 0 , φ 1
L2 (Ω)×H−1 (Ω)
y 0 , y 1 H1 0 (Ω)×L2 (Ω) .
(3.51)
Logo de (3.51) , deduzimos a continuidade do funcional J , e, consequentemente, sua
semicontinuidade inferior.
• J é estritamente convexo.
Sejam {φ 0 , φ 1 } , {ψ 0 , ψ 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) e λ ∈ (0, 1) . Logo
J (λ {φ 0 , φ 1 } + (1 − λ) {ψ 0 , ψ 1 })
= λJ {φ 0 , φ 1 } + (1 − λ) J {ψ 0 , ψ 1 } −
Pela desigualdade inversa (3.47) temos
T
Assim para algum {φ 0 , φ 1 } = {ψ 0 , ψ 1 } temos
0
ω
λ (1 − λ)
2
T
|φ − ψ| 2 dxdt ≥ C φ 0 , φ 1 − ψ 0 , ψ 1 2 .
0
ω
|φ − ψ| 2 dxdt.
J λ φ 0 , φ 1 + (1 − λ) ψ 0 , ψ 1 < λJ φ 0 , φ 1 + (1 − λ) J ψ 0 , ψ 1 .
Logo J é estritamente convexo.
• J é coercivo.
De fato, como
J φ 0 , φ 1 ≥ 1
2
T
0
|φ|
ω
2 dxdt − φ 0 , φ 1
L2 (Ω)×H−1 (Ω)
y 0 , y 1 H1 0 (Ω)×L2 (Ω)
72
.