Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Logo para algum {y 0 , y 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) e {φ 0 , φ 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) ,
T
φhdxdt = − 〈φ ′
(T ) , y (T )〉 +
0
ω
Ω
φ (T ) y ′ (T ) dx + φ 1 , y 0
−
Portanto, segue de (3.48) que y satisfaz (3.31) se, e somente se,
T
o que conclui a prova do resultado.
0
ω
φhdxdt = φ 1 , y 0
H−1 (Ω),H1
− φ
0 (Ω)
Ω
0 y 1 dx,
φ
Ω
0 y 1 dx. (3.48)
Considerando a dualidade entre L 2 (Ω) × H −1 (Ω) e L 2 (Ω) × H 1 0 (Ω) definida em (3.23) ,
o lema anterior pode ser reformulado da seguinte maneira:
Lema 3.4 Seja φ solução do sistema (3.32) com dados iniciais {φ 0 , φ 1 } ∈ L 2 (Ω)×H −1 (Ω) .
Então para dados iniciais {y 0 , y 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω), a solução y de (3.30) satisfaz (3.31)
se, e somente se, existe h ∈ L 2 (ω × (0, T )) tal que
T
φhdxdt + φ 0 , φ 1 , y 1 , y 0 = 0. (3.49)
0
ω
Observe que, de acordo com (3.49) , a propriedade da controlabilidade pode ser
transferida a encontrar pontos críticos do funcional J : L 2 (Ω) × H −1 (Ω) → R, definido
por:
J φ 0 , φ 1 = 1
T
2
0
ω
|φ| 2 dxdt + φ 0 , φ 1 , y 1 , y 0 , (3.50)
onde φ é a solução do sistema (3.32) com dados iniciais {φ 0 , φ 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) . Desse
modo, consideremos o seguinte resultado:
Teorema 3.3 Seja T > T (x 0 ) . Então o funcional J possui um único mínimo
L 2 (Ω) × H −1 (Ω) .
φ 0 , φ 1
∈
Prova: Pelo Teorema 1.11, para afimar a existência de um único mínimo para o funcional,
devemos provar que J é semicontínuo inferiormente, estritamente convexo e coercivo.
• J é semicontínuo inferiormente.
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