Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Por (i) e (ii) concluimos a equivalência das normas · F e · L 2 (Ω)×H −1 (Ω) e identificamos
F e seu dual F ′ com L 2 (Ω) × H −1 (Ω) e L 2 (Ω) × H 1 0 (Ω) respectivamente. Assim, dados
{y 0 , y 1 } ∈ H 1 0 (Ω)×L 2 (Ω) , existe um único par de dados iniciais {φ 0 , φ 1 } ∈ L 2 (Ω)×H −1 (Ω)
que associa à solução ultra fraca φ do problema (3.32) . Temos ainda que, sendo o controle h
a restrição de φ a ω × (0, T ), a regularidade da solução ultra fraca provada no Teorema 2.9
nos permite dizer que h ∈ L 2 (ω × (0, T )) .
Problema de Minimização
No ponto anterior mostramos que para todo par de dados iniciais {y 0 , y 1 } ∈ H 1 0 (Ω) ×
L 2 (Ω) , existe um controle h ∈ L 2 (ω × (0, T )), tal que a solução y = y (x, t, h) de (3.30)
cumpre a condição do equilíbrio (3.31) .
Vamos agora mostrar como o problema de contrabilidade exata interna se reduz a um
problema de minimização.
Lema 3.3 Seja φ solução do sistema (3.32) com dados iniciais {φ 0 , φ 1 } ∈ L 2 (Ω) × H − (Ω) .
Então para dados iniciais {y 0 , y 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω), a solução y de (3.30), satisfaz (3.31)
se, e somente se, existe h ∈ L 2 (ω × (0, T )) tal que
T
0
ω
φhdxdt = φ 1 , y 0
H 1 0 (Ω),H−1 (Ω) − φ 0 , y 1 .
Prova: Suponhamos {y 0 , y 1 } , {φ 0 , φ 1 } ∈ D(Ω) × D(Ω) e h ∈ D(ω × (0, T )). Multiplicando
(3.30) 1 por φ e integrando em Q temos
Integrando por partes
T
φ (y ′′
− ∆y) dtdx =
Ω
=
0
Ω
T
φ (y ′′ − ∆y) dtdx = 0.
0
(φy
Ω
′ − φ ′ T
y) dx
0
[φ (T ) y
Ω
′ (T ) − φ ′ (T ) y (T )] dx −
70
T
+
0
Ω
y (φ ′′ − ∆φ) dxdt
[φ (0) y
Ω
1 − φ ′ (0) y0 ] dx = 0.