Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
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forma segue do Lema de Lax Milgram (Lema 1.5) que, <strong>da</strong>do {−y 0 , y 1 } ∈ F ′ , existe um único<br />
{φ 0 , φ 1 } ∈ F tal que<br />
Λ φ 0 , φ 1 , r 0 , r 1 = −y 0 , y 1 , r 0 , r 1<br />
F ′ ×F , ∀ r 0 , r 1 ∈ F. (3.44)<br />
Assim para {−y 0 , y 1 } ∈ F ′ , existe {φ 0 , φ 1 } ∈ F tal que<br />
(3.33) .<br />
Λ φ 0 , φ 1 = −y 0 , y 1 em F ′ . (3.45)<br />
Por (3.45) e (3.34) concluimos que ψ (0) = y 0 e ψ ′ (0) = y 1 , onde ψ é a solução de<br />
Assim, considerando h como sendo a restrição de φ a ω × (0, T ), segue pela unici<strong>da</strong>de<br />
de solução que y satisfaz (3.31) .<br />
Faremos agora a caracterização concreta de F. Na ver<strong>da</strong>de mostraremos que F =<br />
L 2 (Ω) × H −1 (Ω) . De fato,<br />
(i) L 2 (Ω) × H −1 (Ω) ⊂ F.<br />
Considerando φ 0 ∈ L 2 (Ω) e φ 1 ∈ H −1 (Ω) , temos pelo Teorema 2.8, que (3.32) tem<br />
única solução ultra fraca e, além disso, vale a desigual<strong>da</strong>de<br />
T <br />
φ 2 dxdt ≤ C<br />
0<br />
ω<br />
φ 0 2 L2 (Ω) + 1<br />
φ 2 H−1 <br />
= C (Ω)<br />
φ 0 , φ 1 2<br />
L2 (Ω)×H−1 . (3.46)<br />
(Ω)<br />
Como F é o completamento de D (Ω) × D (Ω) com respeito à norma defini<strong>da</strong> em (3.43) ,<br />
segue que {φ 0 , φ 1 } ∈ F .<br />
(ii) F ⊂ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) .<br />
inversa<br />
Consideremos {φ 0 , φ 1 } ∈ F . Para T > T (x 0 ), existe C > 0 tal que a desigual<strong>da</strong>de<br />
C φ 0 , φ 1 2<br />
L 2 (Ω)×H −1 (Ω) ≤<br />
T <br />
φ 2 dxdt (3.47)<br />
é ver<strong>da</strong>deira, ver Apêndice B (Teorema B.2). Logo pela definição de F, temos que<br />
{φ 0 , φ 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) .<br />
69<br />
0<br />
ω