Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

forma segue do Lema de Lax Milgram (Lema 1.5) que, dado {−y 0 , y 1 } ∈ F ′ , existe um único
{φ 0 , φ 1 } ∈ F tal que
Λ φ 0 , φ 1 , r 0 , r 1 = −y 0 , y 1 , r 0 , r 1
F ′ ×F , ∀ r 0 , r 1 ∈ F. (3.44)
Assim para {−y 0 , y 1 } ∈ F ′ , existe {φ 0 , φ 1 } ∈ F tal que
(3.33) .
Λ φ 0 , φ 1 = −y 0 , y 1 em F ′ . (3.45)
Por (3.45) e (3.34) concluimos que ψ (0) = y 0 e ψ ′ (0) = y 1 , onde ψ é a solução de
Assim, considerando h como sendo a restrição de φ a ω × (0, T ), segue pela unicidade
de solução que y satisfaz (3.31) .
Faremos agora a caracterização concreta de F. Na verdade mostraremos que F =
L 2 (Ω) × H −1 (Ω) . De fato,
(i) L 2 (Ω) × H −1 (Ω) ⊂ F.
Considerando φ 0 ∈ L 2 (Ω) e φ 1 ∈ H −1 (Ω) , temos pelo Teorema 2.8, que (3.32) tem
única solução ultra fraca e, além disso, vale a desigualdade
T
φ 2 dxdt ≤ C
0
ω
φ 0 2 L2 (Ω) + 1
φ 2 H−1
= C (Ω)
φ 0 , φ 1 2
L2 (Ω)×H−1 . (3.46)
(Ω)
Como F é o completamento de D (Ω) × D (Ω) com respeito à norma definida em (3.43) ,
segue que {φ 0 , φ 1 } ∈ F .
(ii) F ⊂ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) .
inversa
Consideremos {φ 0 , φ 1 } ∈ F . Para T > T (x 0 ), existe C > 0 tal que a desigualdade
C φ 0 , φ 1 2
L 2 (Ω)×H −1 (Ω) ≤
T
φ 2 dxdt (3.47)
é verdadeira, ver Apêndice B (Teorema B.2). Logo pela definição de F, temos que
{φ 0 , φ 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) .
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0
ω