Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Por outra parte, como ψ = 0 e φ = 0 sobre Σ, obtemos, pela fórmula de Green, que
T
T
∆φψdxdt = φ∆ψdxdt. (3.39)
0
Substitiundo (3.39) e (3.38) em (3.35), temos
− φ 1 , ψ (0) + φ 0 , ψ ′ (0) T
+ (φ, ψ ′′ T
) dt −
ou seja,
pois ψ ′′ − ∆ψ = φ1ω em Q.
Ω
0
0
Ω
0
ω
0
Ω
φ∆ψdxdt = 0, (3.40)
− φ 1 , ψ (0) + (φ (0) , ψ ′ T
(0)) + φ 2 dxdt = 0, (3.41)
Por (3.34) e (3.41) resulta que
0 1
Λ φ , φ , φ 0 , φ 1 = {ψ ′ (0) , −ψ (0)} , φ 0 , φ 1 T
= φ 2 dxdt. (3.42)
Definamos em D (Ω) × D (Ω) a seminorma
φ 0 , φ 1 2
F =
T
φ 2 dxdt. (3.43)
Pelo Teorema de Unicidade de Holmgren (ver [16]), existe T0 = T0 (ω) > 0, tal que para todo
T > T0 a única solução φ de (3.32) tal que φ ≡ 0 em ω × (0, T ) é φ ≡ 0. Logo, para T > T0,
a forma quadrática (3.43) é uma norma em D (Ω) × D (Ω) .
0
Representaremos por F o espaço de Hilbert dado pelo completamento de D (Ω) × D (Ω)
com respeito à norma definida em (3.43) .
A norma (3.43) induz em D (Ω) × D (Ω) o produto interno
0 1
φ , φ , r 0 , r 1
F =
T
φrdxdt,
onde r é a solução de (3.32) correspondente ao dado inicial {r 0 , r 1 } ∈ D (Ω) × D (Ω) .
Consideremos a forma bilinear
0 1
Λ φ , φ , r 0 , r 1 T
= φrdxdt,
definida em D (Ω) × D (Ω), a qual é contínua e coerciva em D (Ω) × D (Ω) . Então essa
extensão, por continuidade ao completamento F também é contínua e coerciva em F. Dessa
68
ω
0
0
ω
ω
0
ω