Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
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Consideremos o problema<br />
<br />
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<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ψ ′′ − ∆ψ = φ1ω<br />
ψ = 0<br />
ψ (T ) = 0, ψ<br />
em Q,<br />
sobre Σ,<br />
′ (T ) = 0 em Ω.<br />
Para a solução ψ de (3.33), definamos a aplicação<br />
temos<br />
• Terceiro Passo<br />
(3.33)<br />
Λ φ 0 , φ 1 = {ψ ′ (0) , −ψ (0)} . (3.34)<br />
Multiplicando ambos os lados de (3.32) 1 pela solução ψ de (3.33) e integrando em Q,<br />
T <br />
0<br />
Ω<br />
φ ′′ T <br />
ψdxdt −<br />
Como (φ ′ , ψ) ′ = (φ ′′ , ψ) + (φ ′ , ψ ′ ) obtemos:<br />
(φ ′ (T ) , ψ ′ (T )) − (φ ′ (0) , ψ ′ (0)) =<br />
Sendo ψ (T ) = 0, por ψser a solução de (3.33), segue que<br />
− φ 1 , ψ (0) T<br />
−<br />
0<br />
0<br />
Ω<br />
∆φψdxdt = 0. (3.35)<br />
T<br />
(φ ′′ T<br />
, ψ) dt +<br />
0<br />
(φ ′ , ψ ′ ) dt =<br />
0<br />
(φ ′ , ψ ′ ) dt.<br />
T<br />
(φ ′′ , ψ) dt. (3.36)<br />
Como (φ, ψ ′ ) ′ = (φ ′ , ψ ′ ) + (φ, ψ ′′ ) , integrando por partes em (0, T ), obtemos<br />
(φ (T ) , ψ ′ (T )) − (φ (0) , ψ ′ (0)) =<br />
T<br />
Desde que ψ ′ (T ) = 0, segue <strong>da</strong> última igual<strong>da</strong>de que<br />
Substituindo (3.37) em (3.36), temos<br />
0<br />
0<br />
(φ ′ , ψ ′ ) dt +<br />
− (φ (0) , ψ ′ T<br />
(0)) − (φ, ψ ′′ T<br />
) dt =<br />
0<br />
0<br />
T<br />
(φ, ψ ′′ ) dt.<br />
0<br />
(φ ′ , ψ ′ ) dt. (3.37)<br />
− φ 1 , ψ (0) + (φ (0) , ψ ′ T<br />
(0)) + (φ, ψ ′′ T<br />
) dt = (φ ′′ , ψ) dt. (3.38)<br />
67<br />
0<br />
0