Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Consideremos o problema
ψ ′′ − ∆ψ = φ1ω
ψ = 0
ψ (T ) = 0, ψ
em Q,
sobre Σ,
′ (T ) = 0 em Ω.
Para a solução ψ de (3.33), definamos a aplicação
temos
• Terceiro Passo
(3.33)
Λ φ 0 , φ 1 = {ψ ′ (0) , −ψ (0)} . (3.34)
Multiplicando ambos os lados de (3.32) 1 pela solução ψ de (3.33) e integrando em Q,
T
0
Ω
φ ′′ T
ψdxdt −
Como (φ ′ , ψ) ′ = (φ ′′ , ψ) + (φ ′ , ψ ′ ) obtemos:
(φ ′ (T ) , ψ ′ (T )) − (φ ′ (0) , ψ ′ (0)) =
Sendo ψ (T ) = 0, por ψser a solução de (3.33), segue que
− φ 1 , ψ (0) T
−
0
0
Ω
∆φψdxdt = 0. (3.35)
T
(φ ′′ T
, ψ) dt +
0
(φ ′ , ψ ′ ) dt =
0
(φ ′ , ψ ′ ) dt.
T
(φ ′′ , ψ) dt. (3.36)
Como (φ, ψ ′ ) ′ = (φ ′ , ψ ′ ) + (φ, ψ ′′ ) , integrando por partes em (0, T ), obtemos
(φ (T ) , ψ ′ (T )) − (φ (0) , ψ ′ (0)) =
T
Desde que ψ ′ (T ) = 0, segue da última igualdade que
Substituindo (3.37) em (3.36), temos
0
0
(φ ′ , ψ ′ ) dt +
− (φ (0) , ψ ′ T
(0)) − (φ, ψ ′′ T
) dt =
0
0
T
(φ, ψ ′′ ) dt.
0
(φ ′ , ψ ′ ) dt. (3.37)
− φ 1 , ψ (0) + (φ (0) , ψ ′ T
(0)) + (φ, ψ ′′ T
) dt = (φ ′′ , ψ) dt. (3.38)
67
0
0