Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

3.1.2 Controlabilidade Exata Interna
Nosso objetivo nesta seção é estudar o problema de controlabilidade exata quando a
ação ocorre no interior do domínio.
problema
Seja ω um subconjunto aberto de Ω e 1ω sua função característica. Consideremos o
y
′′ − ∆y = h1ω em Q,
y = 0 sobre Σ,
y (0) = y 0 , y ′ (0) = y 1 em Ω.
A ação ocorre no cilindro ω × (0, T ) contido em Q = Ω × (0, T ) .
1. Formulação do problema
(3.30)
Dado T > 0 suficientemente grande, achar um espaço de Hilbert H tal que para todo
par de dados iniciais {y 0 , y 1 } ∈ H, exista um controle h ∈ L 2 (ω × (0, T )) tal que a solução
y = y (x, t, h) de (3.30) satisfaça
2. Descrição de HUM
• Primeiro Passo
y (x, T, h) = 0 e y ′ (x, T, h) = 0 em Ω. (3.31)
Dado {φ 0 , φ 1 } ∈ D (Ω) × D (Ω), consideremos o problema
φ
′′ − ∆φ = 0 em Q,
φ = 0 sobre Σ,
φ (0) = φ 0 , φ ′ (0) = φ 1 em Ω.
(3.32)
Sabemos pelos resultados obtidos na Seção 2.1 que este problema tem única solução forte
φ = φ (x, t) .
• Segundo Passo
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