Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Prova: Se φ 0 , φ 1
∈ H1 0 (Ω) × L2 (Ω) é um mínimo do funcional J , então
Logo,
J φ
lim
h→0
0 , φ 1
+ h {φ0 , φ1
} − J φ 0 , φ 1
h
∂φ ∂φ
Σ0 ∂ν
∂φ ∂φ
= dΓdt +
∂ν ∂ν
∂ν dΓdt + 〈{y0 , y 1 } , {φ 1 , φ 0 }〉
y
Σ0
Ω
0φ1dx − 〈y1 , φ0 〉 H−1 (Ω),H1 0 (Ω) = 0,
para todo {φ0 , φ1 } ∈ H1 0 (Ω) × L2 (Ω), onde φ é solução de (3.6) . Assim, pelo Lema 3.2,
temos que v = ∂φ
∂ν é um controle tal que para dados iniciais {y0 , y 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) , a
solução y de (3.1) satisfaz (3.2).
A seguinte proposição mostra que se o controle v do problema (3.1) é obtido pela
minimização do funcional, v é de norma mínima.
Proposição 3.1 Seja v = ∂φ
o controle, tal que φ é a solução do sistema (3.6), cujos dados
∂ν
iniciais φ 0 , φ 1
correspondem ao mínimo do funcional J . Se g ∈ L2 (Σ0) é outro controle
tal que para dados iniciais {y 1 , y 0 } ∈ H −1 (Ω) × L 2 (Ω) , a solução y de (3.1) satisfaz (3.2),
então
Prova: Considerando
v 2
L2 (Σ0) =
= 0.
vL2 (Σ0) ≤ gL2 (Σ0) . (3.27)
φ 0 , φ 1
∈ D (Ω) × D (Ω), temos
Σ0
∂φ
∂ν
Por outra parte, pelo Lema 3.2, para g ∈ L2 (Σ0) , obtemos
∂φ
y0 1
gdΓdt = − , y
∂ν
, φ 1 , φ 0
= −
Σ0
Assim, por (3.28) e (3.29) , obtemos
v 2
L2 (Σ0) =
∂φ
∂ν gdΓdt ≤ gL2
∂φ
(Σ0) ∂ν
o que mostra (3.27) .
Σ0
2
dΓdt = − y
Ω
0 φ 1
dx + y 1 , φ 0
H−1 (Ω),H1 0 (Ω)
. (3.28)
65
y
Ω
0 φ 1 dx +
y 1 , φ 0
H 1 0 (Ω),H−1 (Ω)
= gL2 (Σ0)
L2 (Σ0)
vL2 (Σ0) ,
. (3.29)