Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Pela desigualdade inversa (3.21) temos
Σ0
∂φ
∂ν
− ∂ψ
∂ν
Assim, para algum {φ 0 , φ 1 } = {ψ 0 , ψ 1 } , temos
2
dΓdt ≥ C1 φ 0 , φ 1 − ψ 0 , ψ 1 2
H1 0 (Ω)×L2 (Ω) .
J λ φ 0 , φ 1 + (1 − λ) ψ 0 , ψ 1 < λJ φ 0 , φ 1 + (1 − λ) J ψ 0 , ψ 1 .
Portanto J é estritamente convexo.
• J é coercivo.
De fato, sabemos que
J φ 0 , φ 1 ≥ 1
2
Σ0
∂φ
∂ν
2
dΓdt − φ 0 , φ 1 H1 0 (Ω)×L2
(Ω)
y 0 , y 1 L2 (Ω)×H−1 (Ω)
Sendo T > T (x 0 ) , segue pela desigualdade inversa (3.21) , que
− 1
J {φ0 , φ1 } ≥ C
2 {φ0 , φ1 } 2
H1 0 (Ω)×L2 (Ω) 2 {φ0 , φ1 }H1 0 (Ω)×L2 (Ω) {y0 , y1 }L2 (Ω)×H−1 (Ω)
1
≥
2 {φ0 , φ1 }H1 0 (Ω)×L2
(Ω) C {φ0 , φ1 }H1 0 (Ω)×L2 (Ω) − {y0 , y1
}L2 (Ω)×H−1 (Ω) ,
ou seja,
Portanto J é coercivo.
Dessa forma, J tem um único mínimo
lim
{φ0 ,φ1 }H1 0
(Ω)×L2 (Ω) →∞
J φ 0 , φ 1 = ∞.
φ 0 , φ 1
∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) .
Mostremos agora que o mínimo do funcional encontrado no teorema anterior nos fornece
o controle de norma mínima desejado.
Teorema 3.2 Seja {y0 , y1 } ∈ L2 (Ω)×H −1
(Ω) e suponha que φ 0 , φ 1
∈ H1 0 (Ω)×L 2 (Ω) é
o mínimo do funcional J . Se φ corresponde a solução de (3.6) com dados iniciais φ 0 , φ 1
,
então v = ∂φ
é um controle tal que para dados iniciais {y0 , y1 } ∈ L2 (Ω) × H−1 (Ω) , a
∂ν
Σ0
solução y de (3.1) satisfaz (3.2) .
64
.