Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
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Observe que, por (3.24), a controlabili<strong>da</strong>de exata do sistema (3.1) pode ser remeti<strong>da</strong> à<br />
obtenção de pontos críticos do funcional J : H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) → R, definido por:<br />
J φ 0 , φ 1 = 1<br />
<br />
2 Σ0<br />
<br />
<br />
<br />
∂φ <br />
<br />
∂ν<br />
<br />
2<br />
dΓdt + y 0 , y 1 , φ 1 , φ 0 , (3.25)<br />
onde φ é a solução de (3.6) com <strong>da</strong>dos iniciais {φ 0 , φ 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) .<br />
Consideremos o seguinte resultado de minimização:<br />
Teorema 3.1 Seja T > T (x0 ). Então o funcional J , definido em (3.25) , possui um único<br />
<br />
mínimo φ 0 , φ 1<br />
∈ H1 0 (Ω) × L2 (Ω) .<br />
Prova: Pelo Teorema (1.11) , para afimar a existência do um único mínimo, devemos provar<br />
que o funcional J é semicontínuo inferiormente, estritamente convexo e coercivo.<br />
• J é semicontínuo inferiormente.<br />
Pela desigual<strong>da</strong>de direta (3.20) , sabemos que<br />
J φ 0 , φ 1 ≤ C<br />
2<br />
<br />
φ 0 , φ 1 2<br />
H 1 0 (Ω)×L2 (Ω) + y 0 , y 1 , φ 1 , φ 0<br />
e, aplicando a desigual<strong>da</strong>de de Cauchy-Schwarz, segue que<br />
J φ 0 , φ 1 ≤ C<br />
2<br />
<br />
φ 0 , φ 1 2<br />
H1 0 (Ω)×L2 (Ω) + φ 0 , φ 1 H1 0 (Ω)×L2 <br />
(Ω)<br />
y 0 , y 1 L2 (Ω)×H−1 . (Ω)<br />
<br />
(3.26)<br />
Assim, deduzimos por (3.26) a continui<strong>da</strong>de do funcional J e, portanto, sua<br />
semicontínui<strong>da</strong>de inferior.<br />
• J é estritamente convexo.<br />
Sejam {φ 0 , φ 1 } , {ψ 0 , ψ 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) e λ ∈ (0, 1) . Logo<br />
J (λ {φ 0 , φ 1 } + (1 − λ) {ψ 0 , ψ 1 }) = λJ {φ 0 , φ 1 } + (1 − λ) J {ψ 0 , ψ 1 }<br />
−<br />
λ (1 − λ)<br />
2<br />
<br />
Σ0<br />
<br />
<br />
<br />
∂φ<br />
∂ν<br />
− ∂ψ<br />
∂ν<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
dΓdt.<br />
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