Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Observe que, por (3.24), a controlabilidade exata do sistema (3.1) pode ser remetida à
obtenção de pontos críticos do funcional J : H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) → R, definido por:
J φ 0 , φ 1 = 1
2 Σ0
∂φ
∂ν
2
dΓdt + y 0 , y 1 , φ 1 , φ 0 , (3.25)
onde φ é a solução de (3.6) com dados iniciais {φ 0 , φ 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) .
Consideremos o seguinte resultado de minimização:
Teorema 3.1 Seja T > T (x0 ). Então o funcional J , definido em (3.25) , possui um único
mínimo φ 0 , φ 1
∈ H1 0 (Ω) × L2 (Ω) .
Prova: Pelo Teorema (1.11) , para afimar a existência do um único mínimo, devemos provar
que o funcional J é semicontínuo inferiormente, estritamente convexo e coercivo.
• J é semicontínuo inferiormente.
Pela desigualdade direta (3.20) , sabemos que
J φ 0 , φ 1 ≤ C
2
φ 0 , φ 1 2
H 1 0 (Ω)×L2 (Ω) + y 0 , y 1 , φ 1 , φ 0
e, aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, segue que
J φ 0 , φ 1 ≤ C
2
φ 0 , φ 1 2
H1 0 (Ω)×L2 (Ω) + φ 0 , φ 1 H1 0 (Ω)×L2
(Ω)
y 0 , y 1 L2 (Ω)×H−1 . (Ω)
(3.26)
Assim, deduzimos por (3.26) a continuidade do funcional J e, portanto, sua
semicontínuidade inferior.
• J é estritamente convexo.
Sejam {φ 0 , φ 1 } , {ψ 0 , ψ 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) e λ ∈ (0, 1) . Logo
J (λ {φ 0 , φ 1 } + (1 − λ) {ψ 0 , ψ 1 }) = λJ {φ 0 , φ 1 } + (1 − λ) J {ψ 0 , ψ 1 }
−
λ (1 − λ)
2
Σ0
∂φ
∂ν
− ∂ψ
∂ν
2
dΓdt.
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