Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Lema 3.1 Seja φ a solução de (3.6) com dados iniciais {φ 0 , φ 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) . Então
para dados iniciais {y 0 , y 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) , a solução y de (3.1) satisfaz (3.2) se, e
somente se, existe v ∈ L2 (Σ0) tal que
∂φ
Σ0
∂ν vdΓdt = y 1 , φ 0
H −1 (Ω),H 1 0 (Ω) − y 0 , φ 1 .
Prova: Suponhamos {y 0 , y 1 } , {φ 0 , φ 1 } ∈ D(Ω) × D(Ω) e v ∈ D(Σ0). Multiplicando (3.1) 1
por φ e integrando em Q, obtemos
T
φ (y ′′ − ∆y) dtdx = 0.
Assim
T
0 = φ (y ′′
− ∆y) dtdx =
=
Σ0
Ω
0
∂φ
ydΓdt +
∂ν
Ω
0
(φy
Ω
′ − φ ′ T
y) dx
0
[φ (T ) y
Ω
′ (T ) − φ ′ (T ) y (T )] dx −
+ −
Σ
∂y ∂φ
φ +
∂ν ∂ν y
dΓdt
[φ (0) y
Ω
1 − φ ′ (0) y0 ] dx.
Logo, para {y 0 , y 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) e {φ 0 , φ 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) , temos
Σ0
∂φ
ydΓdt =
∂ν
y (T ) φ
Ω
′ (T ) dx − 〈y ′ (T ) , φ (T )〉 −
Portanto, segue de (3.22) que y satisfaz (3.2) se, e somente se,
∂φ
Σ0
o que mostra o resultado.
∂ν vdΓdt = y 1 , φ 0
H−1 (Ω),H1 −
0 (Ω)
Ω
y 0 φ 1 dx + y 1 , φ 0
H−1 (Ω),H1 . (3.22)
0 (Ω)
y
Ω
0 φ 1 dx,
Definamos a dualidade entre L 2 (Ω) × H −1 (Ω) e L 2 (Ω) × H 1 0 (Ω) por
0 1
y , y , φ 1 , φ 0 = y 0 , φ 1 − y 1 , φ 0
H−1 (Ω),H1 . (3.23)
0 (Ω)
Logo o lema anterior pode ser reformulado da seguinte maneira:
Lema 3.2 Seja φ a solução de (3.6) com dados iniciais {φ 0 , φ 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω). Então,
para dados iniciais {y 0 , y 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) , a solução y de (3.1) satisfaz (3.2) se, e
somente se, existe v ∈ L2 (Σ0) tal que
∂φ
∂ν vdΓdt + y 0 , y 1 , φ 1 , φ 0 = 0. (3.24)
Σ0
62