Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
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(i) H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) ⊂ F.<br />
Seja {φ 0 , φ 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) . Pelo Teorema 2.7, a solução fraca φ de (3.6) satisfaz a<br />
desigual<strong>da</strong>de<br />
<br />
Σ0<br />
2 ∂φ<br />
∂ν<br />
A inequação anterior é conheci<strong>da</strong> por Desigual<strong>da</strong>de Direta.<br />
<br />
dΓdt ≤ C0 φ 0 , φ 1 2<br />
H1 0 (Ω)×L2 . (3.20)<br />
(Ω)<br />
Como F é o completamento de D (Ω) × D (Ω) com respeito à norma defini<strong>da</strong> em (3.17) ,<br />
obtemos {φ 0 , φ 1 } ∈ F.<br />
(ii) F ⊂ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) .<br />
Seja {φ0 , φ1 } ∈ F. Consideremos x0 algum ponto de Rn , R (x0 ) = sup x − x<br />
x∈Ω<br />
0 e<br />
T (x 0 ) = 2R (x 0 ) . Para T > T (x 0 ), existe C > 0 tal que<br />
C φ 0 , φ 1 2<br />
H 1 0 (Ω)×L2 (Ω) ≤<br />
<br />
Σ0<br />
∂φ<br />
∂ν<br />
2<br />
dΓdt. (3.21)<br />
A inequação (3.21) é denomina<strong>da</strong> Desigual<strong>da</strong>de Inversa ou Desigual<strong>da</strong>de de Observabili<strong>da</strong>de.<br />
A demostração desta desigual<strong>da</strong>de encontra-se feita no Apêndice B (Teorema B.1). Logo,<br />
pela definição de F, temos que {φ 0 , φ 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) .<br />
Por (i) e (ii) concluimos a equivalência <strong>da</strong>s normas · F e · H 1 0 (Ω)×L 2 (Ω)<br />
e identificamos<br />
F e seu dual F ′ com H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) e H −1 (Ω) × L 2 (Ω) , respectivamente. Assim, <strong>da</strong>dos<br />
{y 1 , y 0 } ∈ H −1 (Ω)×L 2 (Ω) , existe um único par de <strong>da</strong>dos iniciais {φ 0 , φ 1 } ∈ H 1 0 (Ω)×L 2 (Ω)<br />
que associa à solução fraca φ de (3.6) . Sendo o controle v = ∂φ<br />
<br />
<br />
∂ν Σ0<br />
escondi<strong>da</strong> <strong>da</strong> solução fraca prova<strong>da</strong> no Teorema 2.7, temos que v ∈ L 2 (Σ0) .<br />
Problema de Minimização<br />
, pela regulari<strong>da</strong>de<br />
No ponto anterior obtivemos o espaço de Hilbert H −1 (Ω) × L 2 (Ω) no qual, para todo<br />
par de <strong>da</strong>dos iniciais {y 1 , y 0 } nele contido, existe um controle v ∈ L 2 (Σ0), tal que a solução<br />
y = y (x, t, v) de (3.1) cumpre a condição de equilíbrio (3.2) .<br />
Vamos agora mostrar como o problema de contrabili<strong>da</strong>de exata na fronteira se reduz a<br />
um problema de minimização.<br />
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