Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

(i) H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) ⊂ F.
Seja {φ 0 , φ 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) . Pelo Teorema 2.7, a solução fraca φ de (3.6) satisfaz a
desigualdade
Σ0
2 ∂φ
∂ν
A inequação anterior é conhecida por Desigualdade Direta.
dΓdt ≤ C0 φ 0 , φ 1 2
H1 0 (Ω)×L2 . (3.20)
(Ω)
Como F é o completamento de D (Ω) × D (Ω) com respeito à norma definida em (3.17) ,
obtemos {φ 0 , φ 1 } ∈ F.
(ii) F ⊂ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) .
Seja {φ0 , φ1 } ∈ F. Consideremos x0 algum ponto de Rn , R (x0 ) = sup x − x
x∈Ω
0 e
T (x 0 ) = 2R (x 0 ) . Para T > T (x 0 ), existe C > 0 tal que
C φ 0 , φ 1 2
H 1 0 (Ω)×L2 (Ω) ≤
Σ0
∂φ
∂ν
2
dΓdt. (3.21)
A inequação (3.21) é denominada Desigualdade Inversa ou Desigualdade de Observabilidade.
A demostração desta desigualdade encontra-se feita no Apêndice B (Teorema B.1). Logo,
pela definição de F, temos que {φ 0 , φ 1 } ∈ H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) .
Por (i) e (ii) concluimos a equivalência das normas · F e · H 1 0 (Ω)×L 2 (Ω)
e identificamos
F e seu dual F ′ com H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) e H −1 (Ω) × L 2 (Ω) , respectivamente. Assim, dados
{y 1 , y 0 } ∈ H −1 (Ω)×L 2 (Ω) , existe um único par de dados iniciais {φ 0 , φ 1 } ∈ H 1 0 (Ω)×L 2 (Ω)
que associa à solução fraca φ de (3.6) . Sendo o controle v = ∂φ
∂ν Σ0
escondida da solução fraca provada no Teorema 2.7, temos que v ∈ L 2 (Σ0) .
Problema de Minimização
, pela regularidade
No ponto anterior obtivemos o espaço de Hilbert H −1 (Ω) × L 2 (Ω) no qual, para todo
par de dados iniciais {y 1 , y 0 } nele contido, existe um controle v ∈ L 2 (Σ0), tal que a solução
y = y (x, t, v) de (3.1) cumpre a condição de equilíbrio (3.2) .
Vamos agora mostrar como o problema de contrabilidade exata na fronteira se reduz a
um problema de minimização.
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